2019-2020学年人教版八年级数学上册第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 同步学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年人教版八年级数学上册第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 同步学案（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 237.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-22 16:13:32 | ||
图片预览
文档简介
2019-2020学年人教版八年级数学上册 11.1与三角形有关的线段 同步学案
一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
例1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
例2．如图，共有 6 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
例3．三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边比第一边的2倍少1，求第三边的长．
【分析】三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边比第一边的2倍少1，求第三边的长．
解：由题知：
第一边长为：3a+2b
第二边长为：（3a+2b）2﹣1＝6a+4b﹣1
第三边长为：周长﹣第一边长﹣第二边长
＝48﹣（3a+2b）﹣（6a+4b﹣1）
＝48﹣3a﹣2b﹣6a﹣4b+1
＝49﹣9a﹣6b
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是进行整式的减法计算．
二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
例4．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【分析】根据垂线段最短即可判断．
解：如图，
∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是 9 ．
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，
∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，
故答案为9．
【点评】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
例6．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．
解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，
∴AB＝2AF＝2×3＝6，
AC＝2AE＝2×2＝4，
∵△ABC的周长为15，
∴BC＝15﹣6﹣4＝5．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．
三．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
例7．下列图中不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其理论依据是 三角形具有稳定性 ．
【分析】图形中线段OA、OB、AB构成△AOB，且能将窗户固定，所以其几何原理是三角形具有稳定性．
解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其理论依据是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
四．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
例9．若一个三角形的两边长分别是4、9，则这个三角形的第三边的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．13
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．
解：设第三边长为xcm，
则9﹣4＜x＜9+4，
5＜x＜13，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
例10．在锐角三角形ABC中，已知a＝2，b＝3，那么第三边c的取值范围是 ＜c＜ ．
【分析】题中已知△ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c的变化范围．
解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°，
∴c＜，
∴c＜，
②当∠B是最大角时，有∠B＜90°
∴b2＜a2+c2
∴9＜4+c2
∴c＞，
∴第三边c的变化范围：＜c＜，
故答案为：＜c＜．
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
例11．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）
【分析】延长BP交AC于点D．依据三角形两边之和大于第三边，即可得出结论．
解：如图，延长BP交AC于点D．
∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，
△CDP中，PD+CD＞CP，
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，
即AB+AD+CD＞BP+CP，
∴AB+AC＞BP+CP，
∴B﹣P﹣C路线较近．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是延长BP交AC于点D，利用三角形三边关系进行判断．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（ ）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
4．（3分）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝CD B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC
5．（3分）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（ ）
①BG是△ABD中边AD上的中线；
②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各组线段能构成三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cm
C．2cm，2cm，5cm D．2cm，3cm，6cm
8．（3分）四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm B．26cm C．27cm D．28cm
9．（3分）三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm时，则不同形状的三角形共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，那么边AC的长可能是（ ）
A．12 B．6 C．2 D．1
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
12．（3分）已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为 ．
13．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝ cm．
14．（3分）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为 ．
16．（3分）如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的 ．
17．（3分）若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是 ．
18．（3分）下列各组数：①2，3，4；②2，3，5；③2，3，7；④3，3，3，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用n的代数式表示结论）．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
21．（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
22．（8分）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正偶数解，试求第三边的长x．
23．（10分）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
24．（12分）已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1
（1）试说明b一定大于3；
（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．
25．（12分）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：三角形根据边分类，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
2．解：A、点F在AB边上，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合；
B、点F在△ABC外，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合；
C、此选项符合；
D、点D是BC中点，与点D是边AC的中点不符合，所以此选项不符合；
故选：C．
3．解：如图，
∵PA⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：D．
4．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：A．
5．解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；
③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．
故选：C．
6．解：三角形具有稳定性．
故选：A．
7．解：根据三角形的三边关系，得
A、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
C、2+2＜5，不能够组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：B．
8．解：其中的任意三条组合有4cm、5cm、9cm；4cm、5cm、13cm；4cm、9cm、13cm；5cm、9cm、13cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有5cm、9cm、13cm符合，故周长是27cm．
故选：C．
9．解：∵三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm，
∴三角形的三边可以是：3，5，7；3，6，6；共两种情况，
故选：A．
10．解：根据三角形的三边关系定理可得：7﹣5＜AC＜7+5，
即2＜AC＜12，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
12．解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，
∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，
∵△ABC的周长是20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴2AD＝26﹣20＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
13．解：∵AD是△ABC的中线，又△ABD的周长比△ACD的周长多4cm
∴AB﹣AC＝4cm，
∵AB＝16cm，
∴AC＝12cm
故答案为12
14．解：∵AF⊥BC于F，
∴AF是△ABC的高线，
故答案为：AF．
15．解：∵ED是BC边上的中垂线
∴EC＝EB
∵△ABE的周长＝AB+AE+EC＝AB+AC＝5+8＝13cm，
故答案为：13cm．
16．解：自行车的车架做成三角形，这是应用了三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
17．解：由三角形三边关系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0
解得：3＜x＜6，
即x的取值范围是3＜x＜6．
故答案为：3＜x＜6．
18．解：①3+2＞4，能构成三角形．
②2+3＝5，不能构成三角形．
③2+3＜7，不能构成三角形．
④3+3＞3，能构成三角形．
故答案为①④．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
20．解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
21．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
22．解：原不等式可化为5（x+1）＞20﹣4（1﹣x），解得x＜11，
∵x是它的正整数解，
∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，
∵x是正偶数，
∴x＝10．
∴第三边的长为10．
23．解：（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD的长为偶数，
∴CD的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝70°．
24．解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1，
∴b＝a﹣2，b＝c+1，
∴a﹣2＝c+1，
a﹣c＝3，
∴b一定大于3；
（2）∵b＝c+1，
∴c＝b﹣1，
∴b+2+b+b﹣1＝22，
解得b＝7，
∴a＝b+2＝9，
c＝b﹣1＝6．
25．解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B
∴∠B+∠BCD＝90°
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高；
（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°
∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝＝＝．
一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
例1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
例2．如图，共有 6 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
例3．三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边比第一边的2倍少1，求第三边的长．
【分析】三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边比第一边的2倍少1，求第三边的长．
解：由题知：
第一边长为：3a+2b
第二边长为：（3a+2b）2﹣1＝6a+4b﹣1
第三边长为：周长﹣第一边长﹣第二边长
＝48﹣（3a+2b）﹣（6a+4b﹣1）
＝48﹣3a﹣2b﹣6a﹣4b+1
＝49﹣9a﹣6b
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是进行整式的减法计算．
二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
例4．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【分析】根据垂线段最短即可判断．
解：如图，
∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是 9 ．
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，
∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，
故答案为9．
【点评】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
例6．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．
解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，
∴AB＝2AF＝2×3＝6，
AC＝2AE＝2×2＝4，
∵△ABC的周长为15，
∴BC＝15﹣6﹣4＝5．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．
三．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
例7．下列图中不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其理论依据是 三角形具有稳定性 ．
【分析】图形中线段OA、OB、AB构成△AOB，且能将窗户固定，所以其几何原理是三角形具有稳定性．
解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其理论依据是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
四．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
例9．若一个三角形的两边长分别是4、9，则这个三角形的第三边的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．13
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．
解：设第三边长为xcm，
则9﹣4＜x＜9+4，
5＜x＜13，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
例10．在锐角三角形ABC中，已知a＝2，b＝3，那么第三边c的取值范围是 ＜c＜ ．
【分析】题中已知△ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c的变化范围．
解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°，
∴c＜，
∴c＜，
②当∠B是最大角时，有∠B＜90°
∴b2＜a2+c2
∴9＜4+c2
∴c＞，
∴第三边c的变化范围：＜c＜，
故答案为：＜c＜．
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
例11．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）
【分析】延长BP交AC于点D．依据三角形两边之和大于第三边，即可得出结论．
解：如图，延长BP交AC于点D．
∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，
△CDP中，PD+CD＞CP，
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，
即AB+AD+CD＞BP+CP，
∴AB+AC＞BP+CP，
∴B﹣P﹣C路线较近．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是延长BP交AC于点D，利用三角形三边关系进行判断．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（ ）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
4．（3分）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝CD B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC
5．（3分）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（ ）
①BG是△ABD中边AD上的中线；
②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各组线段能构成三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cm
C．2cm，2cm，5cm D．2cm，3cm，6cm
8．（3分）四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm B．26cm C．27cm D．28cm
9．（3分）三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm时，则不同形状的三角形共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，那么边AC的长可能是（ ）
A．12 B．6 C．2 D．1
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
12．（3分）已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为 ．
13．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝ cm．
14．（3分）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为 ．
16．（3分）如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的 ．
17．（3分）若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是 ．
18．（3分）下列各组数：①2，3，4；②2，3，5；③2，3，7；④3，3，3，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用n的代数式表示结论）．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
21．（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
22．（8分）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正偶数解，试求第三边的长x．
23．（10分）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
24．（12分）已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1
（1）试说明b一定大于3；
（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．
25．（12分）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：三角形根据边分类，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
2．解：A、点F在AB边上，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合；
B、点F在△ABC外，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合；
C、此选项符合；
D、点D是BC中点，与点D是边AC的中点不符合，所以此选项不符合；
故选：C．
3．解：如图，
∵PA⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：D．
4．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：A．
5．解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；
③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．
故选：C．
6．解：三角形具有稳定性．
故选：A．
7．解：根据三角形的三边关系，得
A、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
C、2+2＜5，不能够组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：B．
8．解：其中的任意三条组合有4cm、5cm、9cm；4cm、5cm、13cm；4cm、9cm、13cm；5cm、9cm、13cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有5cm、9cm、13cm符合，故周长是27cm．
故选：C．
9．解：∵三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm，
∴三角形的三边可以是：3，5，7；3，6，6；共两种情况，
故选：A．
10．解：根据三角形的三边关系定理可得：7﹣5＜AC＜7+5，
即2＜AC＜12，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
12．解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，
∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，
∵△ABC的周长是20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴2AD＝26﹣20＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
13．解：∵AD是△ABC的中线，又△ABD的周长比△ACD的周长多4cm
∴AB﹣AC＝4cm，
∵AB＝16cm，
∴AC＝12cm
故答案为12
14．解：∵AF⊥BC于F，
∴AF是△ABC的高线，
故答案为：AF．
15．解：∵ED是BC边上的中垂线
∴EC＝EB
∵△ABE的周长＝AB+AE+EC＝AB+AC＝5+8＝13cm，
故答案为：13cm．
16．解：自行车的车架做成三角形，这是应用了三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
17．解：由三角形三边关系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0
解得：3＜x＜6，
即x的取值范围是3＜x＜6．
故答案为：3＜x＜6．
18．解：①3+2＞4，能构成三角形．
②2+3＝5，不能构成三角形．
③2+3＜7，不能构成三角形．
④3+3＞3，能构成三角形．
故答案为①④．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
20．解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
21．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
22．解：原不等式可化为5（x+1）＞20﹣4（1﹣x），解得x＜11，
∵x是它的正整数解，
∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，
∵x是正偶数，
∴x＝10．
∴第三边的长为10．
23．解：（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD的长为偶数，
∴CD的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝70°．
24．解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1，
∴b＝a﹣2，b＝c+1，
∴a﹣2＝c+1，
a﹣c＝3，
∴b一定大于3；
（2）∵b＝c+1，
∴c＝b﹣1，
∴b+2+b+b﹣1＝22，
解得b＝7，
∴a＝b+2＝9，
c＝b﹣1＝6．
25．解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B
∴∠B+∠BCD＝90°
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高；
（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°
∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝＝＝．