2019-2020学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 同步学案含解析
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 同步学案含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 112.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-22 16:14:30 | ||
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文档简介
2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程 同步学案
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣4＝0 B．x＝
C．x2+3x﹣2y＝0 D．x2+2＝（x﹣1）（x+2）
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、x2﹣4＝0是一元二次方程，符合题意；
B、x＝不是整式方程，不符合题意；
C、x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；
D、x2+2＝（x﹣1）（x+2）整理得：x﹣4＝0，是一元一次方程，不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
例2．关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．
【解答】解：∵关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，
∴a﹣1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
例3．方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；
（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，
∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，方程是一元二次方程；
（2）∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，
解得m＝3或m＝±2或m＝±
故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
例1．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2
【分析】将方程化为一般式，
【解答】解：方程x2﹣3＝2x，即x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是1、一次项系数是﹣2、常数项是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
例2．把一元二次方程（﹣x﹣1）2＝3化为一般形式是 x2+2x﹣2＝0 ．
【分析】方程利用完全平方公式化简，整理即可得到结果．
【解答】解：方程整理得：x2+2x+1＝3，即x2+2x﹣2＝0，
故答案为：x2+2x﹣2＝0
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
例1．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴1+m﹣m2＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
例2．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣a2+3a＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣3a＝5，再把8﹣a2+3a变形为8﹣（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：把x＝a代入x2﹣3x﹣5＝0得a2﹣3a﹣5＝0，
所以a2﹣3a＝5，
所以8﹣a2+3a＝8﹣（a2﹣3a）＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
例3．已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝0，然后解此一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得1﹣2a+a2＝0，
解得a1＝a2＝1，
所以a的值为1
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型
同步测试
一．选择题（共8小题）
1．下方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．x+y＝2 C．＝2 D．x2＝1
2．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m＞2 D．m≠0
3．方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，﹣3 D．﹣1，2，3
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+（m﹣1）（m﹣3）＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
5．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
6．关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．2或﹣2 D．﹣2
7．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣1，则a﹣b+c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
8．已知a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一个解，则a2﹣2a＝（ ）
A．2019 B．4038 C． D．
二．填空题（共7小题）
9．请任意写一个一元二次方程： ．
10．已知关于x的方程xk﹣1﹣2x+3＝0是一元二次方程，则k＝ ．
11．当m满足条件 时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．
12．一元二次方程2x＝x2﹣3化成一般形式为 ．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数为 ．
14．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为 ．
15．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，则b与c的关系是 ．（请用含b的代数式表示c）
三．解答题（共5小题）
16．（m﹣2）x+mx2＝7是一元二次方程，m的取值范围？
17．求证：关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
18．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）（x+1）（x﹣3）＝4x2﹣7；
（2）3（x﹣5）＝x（x﹣5）
19．已知一元二次方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，求实数m的值．
20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程属于二元一次方程，故本选项错误．
C、该方程属于分式方程，故本选项错误．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．
故选：C．
【点评】题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
4．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝3．
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．【分析】直接去括号进而移项，得出答案．
【解答】解：x（x+1）＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．
6．【分析】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，
整理得m＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．【分析】直接把x＝﹣1代入方程就看得到a﹣b+c的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣4a﹣2019＝0，变形得到a2﹣2a＝，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一个根，
∴2a2﹣4a﹣2019＝0，
∴a2﹣2a＝，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二．填空题（共7小题）
9．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，x2﹣2x+1＝0符合题意．
故答案是：x2﹣2x+1＝0（答案不唯一）．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
10．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2．
【解答】解：依题意得：k﹣1＝2．
解得k＝3．
故答案是：3．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
11．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出所求．
【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，即m≠±2，
故答案为：m≠±2
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．【分析】移项合并即可得到结果．
【解答】解：方程去括号得：x2﹣2x﹣3＝0．
故答案为：x2﹣2x﹣3＝0．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数为﹣3．
故答案为﹣3
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．
14．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m﹣2019＝2（2m2+3m）﹣2019＝2﹣2019＝﹣2017．
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，将x＝2代入方程，化简即可得到b与c的关系，本题得以解决．
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，
∴22+2b﹣c＝0，
∴4+2b﹣c＝0，
∴c＝2b+4，
故答案为：c＝2b+4．
【点评】本题考查一元二次方程的解、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出b与c的关系．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】讨论：当m﹣2＝0或m2﹣2＝0或m2﹣2＝1或m2﹣2＝2可判断方程为一元二次方程．
【解答】解：当m﹣2＝0时，即m＝2，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝2时，即m＝±2时，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝0时，即m＝±时，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝1时，即m＝±时，方程为一元二次方程．
即：m＝±2或±或±时，方程为一元二次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
17．【分析】根据一元二次方程的定义只要说明二次项系数不为零即可证明结论成立，根据配方法可以说明二次项系数不为零．
【解答】证明：（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，
∵m2﹣8m+17＝（m﹣4）2+1≥1，
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确一元二次方程的定义．
18．【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是3x2+2x﹣4＝0，它的二次项系数是3、一次项系数是2，常数项是﹣4．
（2）一元二次方程的一般形式x2﹣8x+15＝0，它的二次项系数是1、一次项系数是﹣8，常数项是15．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
19．【分析】把x＝0代入方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0得m2+3m﹣4＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
所以m的值为﹣4或1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
代入已知等式得：5+m＝6，
解得：m＝1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣4＝0 B．x＝
C．x2+3x﹣2y＝0 D．x2+2＝（x﹣1）（x+2）
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、x2﹣4＝0是一元二次方程，符合题意；
B、x＝不是整式方程，不符合题意；
C、x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；
D、x2+2＝（x﹣1）（x+2）整理得：x﹣4＝0，是一元一次方程，不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
例2．关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．
【解答】解：∵关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，
∴a﹣1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
例3．方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；
（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，
∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，方程是一元二次方程；
（2）∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，
解得m＝3或m＝±2或m＝±
故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
例1．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2
【分析】将方程化为一般式，
【解答】解：方程x2﹣3＝2x，即x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是1、一次项系数是﹣2、常数项是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
例2．把一元二次方程（﹣x﹣1）2＝3化为一般形式是 x2+2x﹣2＝0 ．
【分析】方程利用完全平方公式化简，整理即可得到结果．
【解答】解：方程整理得：x2+2x+1＝3，即x2+2x﹣2＝0，
故答案为：x2+2x﹣2＝0
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
例1．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴1+m﹣m2＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
例2．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣a2+3a＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣3a＝5，再把8﹣a2+3a变形为8﹣（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：把x＝a代入x2﹣3x﹣5＝0得a2﹣3a﹣5＝0，
所以a2﹣3a＝5，
所以8﹣a2+3a＝8﹣（a2﹣3a）＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
例3．已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝0，然后解此一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得1﹣2a+a2＝0，
解得a1＝a2＝1，
所以a的值为1
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型
同步测试
一．选择题（共8小题）
1．下方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．x+y＝2 C．＝2 D．x2＝1
2．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m＞2 D．m≠0
3．方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，﹣3 D．﹣1，2，3
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+（m﹣1）（m﹣3）＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
5．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
6．关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．2或﹣2 D．﹣2
7．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣1，则a﹣b+c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
8．已知a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一个解，则a2﹣2a＝（ ）
A．2019 B．4038 C． D．
二．填空题（共7小题）
9．请任意写一个一元二次方程： ．
10．已知关于x的方程xk﹣1﹣2x+3＝0是一元二次方程，则k＝ ．
11．当m满足条件 时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．
12．一元二次方程2x＝x2﹣3化成一般形式为 ．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数为 ．
14．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为 ．
15．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，则b与c的关系是 ．（请用含b的代数式表示c）
三．解答题（共5小题）
16．（m﹣2）x+mx2＝7是一元二次方程，m的取值范围？
17．求证：关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
18．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）（x+1）（x﹣3）＝4x2﹣7；
（2）3（x﹣5）＝x（x﹣5）
19．已知一元二次方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，求实数m的值．
20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程属于二元一次方程，故本选项错误．
C、该方程属于分式方程，故本选项错误．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．
故选：C．
【点评】题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
4．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝3．
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．【分析】直接去括号进而移项，得出答案．
【解答】解：x（x+1）＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．
6．【分析】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，
整理得m＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．【分析】直接把x＝﹣1代入方程就看得到a﹣b+c的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣4a﹣2019＝0，变形得到a2﹣2a＝，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一个根，
∴2a2﹣4a﹣2019＝0，
∴a2﹣2a＝，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二．填空题（共7小题）
9．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，x2﹣2x+1＝0符合题意．
故答案是：x2﹣2x+1＝0（答案不唯一）．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
10．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2．
【解答】解：依题意得：k﹣1＝2．
解得k＝3．
故答案是：3．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
11．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出所求．
【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，即m≠±2，
故答案为：m≠±2
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．【分析】移项合并即可得到结果．
【解答】解：方程去括号得：x2﹣2x﹣3＝0．
故答案为：x2﹣2x﹣3＝0．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数为﹣3．
故答案为﹣3
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．
14．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m﹣2019＝2（2m2+3m）﹣2019＝2﹣2019＝﹣2017．
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，将x＝2代入方程，化简即可得到b与c的关系，本题得以解决．
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，
∴22+2b﹣c＝0，
∴4+2b﹣c＝0，
∴c＝2b+4，
故答案为：c＝2b+4．
【点评】本题考查一元二次方程的解、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出b与c的关系．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】讨论：当m﹣2＝0或m2﹣2＝0或m2﹣2＝1或m2﹣2＝2可判断方程为一元二次方程．
【解答】解：当m﹣2＝0时，即m＝2，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝2时，即m＝±2时，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝0时，即m＝±时，方程为一元二次方程；
当m2﹣2＝1时，即m＝±时，方程为一元二次方程．
即：m＝±2或±或±时，方程为一元二次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
17．【分析】根据一元二次方程的定义只要说明二次项系数不为零即可证明结论成立，根据配方法可以说明二次项系数不为零．
【解答】证明：（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，
∵m2﹣8m+17＝（m﹣4）2+1≥1，
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确一元二次方程的定义．
18．【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是3x2+2x﹣4＝0，它的二次项系数是3、一次项系数是2，常数项是﹣4．
（2）一元二次方程的一般形式x2﹣8x+15＝0，它的二次项系数是1、一次项系数是﹣8，常数项是15．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
19．【分析】把x＝0代入方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0得m2+3m﹣4＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入方程x2+7mx+m2+3m﹣4＝0得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
所以m的值为﹣4或1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
代入已知等式得：5+m＝6，
解得：m＝1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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