2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案（同步测试无答案）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案（同步测试无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 145.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-22 16:20:34 | ||
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文档简介
2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案
一．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例1．解方程：（y+2）2﹣6＝0
【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．
【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，
（y+2）2＝12，
y+2＝±2，
y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
二．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例2．解方程：x（x﹣2）＝4．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝4，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝5，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
三．解一元二次方程-公式法
（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例3．解方程：﹣3x2+6x＝1
【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+6x＝1，
﹣3x2+6x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝62﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
四．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例4．解方程：x2﹣3x＝﹣2
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝2；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
五．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
例5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
【分析】设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根．
【解答】解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0
解得：y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x﹣1＝1，解得x＝2，
当y＝4时，x﹣1＝4，解得x＝5，
∴原方程的根是x1＝2，x2＝5．
【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
六．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．
【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，
而b＝a+3，
所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，
所以方程有两个实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
七．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=?，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例7．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1?x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1，
∴实数m的取值范围是m＜1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1?x2＝m，
∵x1﹣x2＝1，
∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝12，
（x1+x2）2﹣4x1?x2＝1，
22﹣4m＝1，
解得：m＝．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
八．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例8．例读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝ 10 ；
（2）若，求的值；
（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；
（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，
∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4+6＝10；
故答案为：10；
（2）把a+＝6两边平方得：（a+）2＝a2++2＝36，
则a2+＝34；
（3）∵（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，
∴1＝[（n﹣2019）+（2018﹣n）]2＝（n﹣2019）2+（2018﹣n）2+2（n﹣2019）（2018﹣n），
则（n﹣2019）（2018﹣n）＝0．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
同步测试
一．选择题（共8小题）
1．下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
3．以x＝为根对的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0 B．x2+3x﹣c＝0 C．x2﹣3x+c＝0 D．x2+3x+c＝0
4．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A． B． C．13 D．5
5．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ）
A．y﹣﹣2＝0 B．y﹣﹣1＝0 C．y2﹣2y﹣1＝0 D．y2﹣y﹣2＝0
6．方程2x2+5＝7x根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
7．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝2x+3 C．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣2x﹣3
8．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（ ）
A．3，0 B．9， C．9， D．，9
二．填空题（共8小题）
9．方程8（x+1）2＝27的解为 ．
10．用配方法解一元二次方程x2﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）2＝n，则m+n的值是 ．
11．观察算式×，则它的计算结果为 ．
12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的第三边长是
13．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为 ．
15．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为 ．
16．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：（y+2）2﹣6＝0
18．解方程：x（x﹣2）＝4．
19．用指定方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0．
（2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
20．按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
21．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．
22．【阅读材料】
解方程：x4﹣3x2+2＝0
解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0
解得，m1＝1，m2＝2．
当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．
当m2＝2，x2＝2解得x＝±．
所以，原方程的解为x1＝1．x1＝﹣1，x3＝，x4＝．
【问题解决】
利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．
23．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．
24．阅读材料并解答问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而解决某些问题．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2
问题：（1）如果，则＝ ．
（2）已知a2+b2＝10，a﹣b＝2，求ab的值．
一．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例1．解方程：（y+2）2﹣6＝0
【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．
【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，
（y+2）2＝12，
y+2＝±2，
y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
二．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例2．解方程：x（x﹣2）＝4．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝4，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝5，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
三．解一元二次方程-公式法
（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例3．解方程：﹣3x2+6x＝1
【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+6x＝1，
﹣3x2+6x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝62﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
四．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例4．解方程：x2﹣3x＝﹣2
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝2；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
五．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
例5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
【分析】设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根．
【解答】解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0
解得：y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x﹣1＝1，解得x＝2，
当y＝4时，x﹣1＝4，解得x＝5，
∴原方程的根是x1＝2，x2＝5．
【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
六．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．
【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，
而b＝a+3，
所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，
所以方程有两个实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
七．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=?，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例7．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1?x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1，
∴实数m的取值范围是m＜1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1?x2＝m，
∵x1﹣x2＝1，
∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝12，
（x1+x2）2﹣4x1?x2＝1，
22﹣4m＝1，
解得：m＝．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
八．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例8．例读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝ 10 ；
（2）若，求的值；
（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；
（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，
∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4+6＝10；
故答案为：10；
（2）把a+＝6两边平方得：（a+）2＝a2++2＝36，
则a2+＝34；
（3）∵（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，
∴1＝[（n﹣2019）+（2018﹣n）]2＝（n﹣2019）2+（2018﹣n）2+2（n﹣2019）（2018﹣n），
则（n﹣2019）（2018﹣n）＝0．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
同步测试
一．选择题（共8小题）
1．下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
3．以x＝为根对的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0 B．x2+3x﹣c＝0 C．x2﹣3x+c＝0 D．x2+3x+c＝0
4．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A． B． C．13 D．5
5．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ）
A．y﹣﹣2＝0 B．y﹣﹣1＝0 C．y2﹣2y﹣1＝0 D．y2﹣y﹣2＝0
6．方程2x2+5＝7x根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
7．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝2x+3 C．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣2x﹣3
8．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（ ）
A．3，0 B．9， C．9， D．，9
二．填空题（共8小题）
9．方程8（x+1）2＝27的解为 ．
10．用配方法解一元二次方程x2﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）2＝n，则m+n的值是 ．
11．观察算式×，则它的计算结果为 ．
12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的第三边长是
13．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为 ．
15．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为 ．
16．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：（y+2）2﹣6＝0
18．解方程：x（x﹣2）＝4．
19．用指定方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0．
（2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
20．按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
21．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．
22．【阅读材料】
解方程：x4﹣3x2+2＝0
解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0
解得，m1＝1，m2＝2．
当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．
当m2＝2，x2＝2解得x＝±．
所以，原方程的解为x1＝1．x1＝﹣1，x3＝，x4＝．
【问题解决】
利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．
23．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．
24．阅读材料并解答问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而解决某些问题．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2
问题：（1）如果，则＝ ．
（2）已知a2+b2＝10，a﹣b＝2，求ab的值．
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