2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 同步学案（有答案）

2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 同步学案
一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
例1．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+x）+50（1+x）2＝182
D．50+50（1+x）＝182
【分析】设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50（1+x）万个，六月份生产零件50（1+x）（1+x）万个，由此可得出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50（1+x）万个，六月份生产零件50（1+x）（1+x）万个，
故可得：50（1+x）（1+x）＝61，即50（1+x）2＝182．
故选：A．
【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
例2．2017年全国的快递业务量为401亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，若2019年的快递业务量达到620亿件，设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，则可列方程为　401（1+x）2＝620　．
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，由题意得：
401（1+x）2＝620，
故答案是：401（1+x）2＝620．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
例3．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240　．
（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程．
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；

（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
例4．与去年同期相比我国石油进口量增长了a%，而单价增长了%，总费用增长了15.5%，则a＝（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】设去年的石油进口量是“x”、单价是y，则今年我国石油进口量是（1+a%）x，单价是（1+%）y．根据“总费用增长了15.5%”列出方程并解答．
【解答】解：设去年的石油进口量是“x”、单价是y，则今年我国石油进口量是（1+a%）x，单价是（1+%）y，
由题意，知（1+a%）x?（1+%）y＝xy（1+15.5%）
解得a＝10（舍去负值）
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
例5．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了　20　个人．
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有（1+x）人患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）人，然后根据第二次被传染的有420人就可以列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得x（1+x）＝420，
∴x2+x﹣420＝0，
∴（x+21）（x﹣20）＝0
∴x1＝20，x＝﹣21（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，分清题意，准确列式，巧妙利用因式分解法求得方程的解是解题的关键．
例6．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m﹣8）万元，求m的值．
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000﹣x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本＝每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m﹣8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000﹣x）米，
依题意，得：8（2000﹣x）≥×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6﹣m）＝6×（6+8）+11m﹣8，
整理，得：m2﹣8m+16＝0，
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
















同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（　　）

A．（50﹣）x＝900 B．（60﹣x）x＝900
C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900
2．某水果种植基地2016年产量为80吨，截止到2018年底，三年总产量达到300吨，求三年中该基地水果产量的年平均增长率．设水果产量的年平均年增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2＝300
B．80（1+3x）＝300
C．80+80（1+x）+80（1+x）2＝300
D．80（1+x）3＝300
3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　）
A．（1+x）2＝4400 B．（1+x）2＝1.44
C．10000（1+x）2＝4400 D．10000（1+2x）＝14400
4．2018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．2x＝22%+30%
B．（1+x）2＝1+22%+30%
C．1+2x＝（1+22%）（1+30%）
D．（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）
5．人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．100（1+x）＝196 B．100（1+2x）＝196
C．100（1+x2）＝196 D．100（1+x）2＝196
6．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（　　）
A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320
C．500（）2＝320 D．500（1﹣）2＝320
7．制造一种产品，原来的成本是每件200元，由于连续两次降低成本，现在每件产品的成本是162元，则平均每次降低成本（　　）
A．8% B．10% C．15% D．20%
8．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有（　　）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
9．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（　　）
A．40 B．48 C．52 D．56
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为　 　．

12．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．

13．某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是　 　．
14．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
15．某种型号的手机，原售价4000元，经连续两次降价后，现售价为2560元/台，则平均每次降价的百分率为　 　．
16．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是　 　m．

17．李华在淘宝网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20个，每个盈利40元．若每个降价1元，则每天可多销售5个．如果每天要盈利1700元，每个应降价　 　元（要求每个降价幅度不超过15元）
18．“校安工程”关乎生命、关乎未来．目前我省正在强力推进这一重大民生工程.2018年，我市在省财政补助的基础上投人600万元的配套资金用于“校安工程”，计划以后每年以相同的增长率投入配套资金，2020年我市计划投入“校安工程”配套资金1176万元．从2018年到2020年，我市三年共投入“校安工程”配套资金　 　万元．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．

20．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
21．（8分）一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息
（1）列出关于x的方程；
（2）写方程化为ax2+bx+c＝0的形式，并指出a，b，c的值．
22．（10分）某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．

请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
23．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？

24．（10分）六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？
25．（12分）某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销售额为60万元，“定制游”的销售额为20万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费用少0.1万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算．
（1）求“定制游”的单数为多少？
（2）由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别比上月对应订单数多3a%和a%，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多a%和2a%，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元，且a＞50，求a的值．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，
由题意，得（60﹣x）x＝900．
故选：B．
2．【解答】解：设水果产量的年平均年增长率为x，则可列方程为：
80+80（1+x）+80（1+x）2＝300．
故选：C．
3．【解答】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2＝1.44．
故选：B．
4．【解答】解：设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）．
故选：D．
5．【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝196．
故选：D．
6．【解答】解：设该店春装原本打x折，
依题意，得：500?（）2＝320．
故选：C．
7．【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：
200（1﹣x）（1﹣x）＝162，
解得：x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）
即：x＝10%
故选：B．
8．【解答】解：设参加比赛的球队有x队，
依题意，得： x（x﹣1）＝21，
整理，得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7．
故选：A．
9．【解答】解：设最小数为x，则另外三个数为x+1，x+7，x+8，
根据题意可列方程x（x+8）＝153，
解得x1＝9，x2＝﹣17（不符合题意，舍去），
所以 x＝9，x+1＝10，x+7＝16，x+8＝17，
所以 四个数分别为9，10，16，17．
因为 9+10+16+17＝52，
所以 四个数的和为52．
故选：C．
10．【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：
（120+4x）（40+2x）＝7000．
故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000．
12．【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
13．【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
14．【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得x（1+x）＝420，
∴x2+x﹣420＝0，
∴（x+21）（x﹣20）＝0
∴x1＝20，x＝﹣21（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人．
故答案为：20．
15．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意，得
4000（1﹣x）2＝2560，
解得：x1＝1.8（舍去），x2＝0.2．
故答案为：20%
16．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x1＝2，x2＝44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
17．【解答】解：设每个羽毛球拍降价x元，
由题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1700，
即x2﹣36x+180＝0，
解之得：x＝6或x＝20．
因为 每个降价幅度不超过15元．
所以 x＝6符合题意．
故答案是：6．
18．【解答】解：设投人“校安工程”的年平均增长率是x，根据题意，得
600（1+x）2＝1176，
1+x＝±1.4，
x＝0.4＝40%或﹣2.4（不合题意，应舍去），
则我市三年共投入“校安工程”配套资金是：
600+600（1+40%）+600（1+40%）2＝600+840+1176＝2616（万元）；
故答案为：2616．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）＝5400，
即4x2+160x+4000+100x＝5400，
所以4x2+260x﹣1400＝0．
即x2+65x﹣350＝0．
20．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数，
则有w＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250
即当x＝15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
21．【解答】解：（1）由题意可得：x（x﹣1）＝756；
（2）x（x﹣1）＝756
整理得：x2﹣x﹣756＝0，
则a＝1，b＝﹣1，c＝﹣756．
22．【解答】解：①设道路的宽为x米．依题意得：
（35﹣2x）（20﹣2x）＝600；
②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）＝600；
③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝540．
23．【解答】解：（1）依题意得，BC＝100﹣4x．
则y＝（100﹣4x）x．
（2）设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5，舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：当20为何值时，矩形场地的总面积为400平方米．
24．【解答】解：（1）设销售单价应定为x元，
由题意，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得x1＝60，x2＝80，
∵尽可能让利消费者，
∴x＝60．
答：消费单价应定为60元．
（2）设销售单价定为a元，
由题意，得40[500﹣10（a﹣50）]≤10000，
解得a≥75
答：销售单价至少定为75元．
25．【解答】解：（1）设“定制游”的单数为x，根据题意得
4x×（﹣0.1）＝60
解得：x＝50
经检验，x＝50是原方程的解，也符合问题的实际意义
答：“定制游”的单数为50．
（2）由题意得：
60（1+3a%）（1+a%）+20（1+a%）（1+2a%）＝（20+60）×7a%+40
∴60（100+3a）（100+a）+20（100+a）（100+2a）＝80×7a×100+40×10000
∴3（10000+400a+3a2）+（10000+300a+2a2）＝2800a+20000
化简得：11a2﹣1300a+20000＝0
解得：a1＝100，a2＝
∵a＞50
∴a＝100．