2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.1 正数和负数&1.2有理数 同步学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.1 正数和负数&1.2有理数 同步学案（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 249.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-22 16:32:26 | ||
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文档简介
2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.1正数和负数&1.2有理数 同步学案
一．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
例1．如果把向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示向西走2km，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
例2．若零上8℃记作+8℃，则零下6℃记作 ﹣6 ℃．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据正数和负数表示相反的意义，可知
如果零上8℃记作+8℃，那么零下6℃记作﹣6℃．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
例3．高新一中新图书馆在“校园书香四溢”活动中迎来了借书高潮，上周借书记录如下表：（超过100册的部分记为正，少于100册的部分记为负）
（1）上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书多少册？
（2）上星期平均每天借出多少册书？
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
+18 ﹣6 +15 0 ﹣12
【分析】（1）找出借书最多的一天和最少的一天，然后求差即可；
（2）利用100加上星期一到星期五超过100册的部分的和的平均数即可．
【解答】解：（1）18+12＝30（册）．
答：上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书30册；
（2）18﹣6+15+0﹣12＝15（册），
15÷5＝3（册），
100+3＝103（册）．
答：上星期平均每天借出103册书．
【点评】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
二．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数{整数{正整数、0、负整数、分数{正分数、负分数}}}；?????????????????
②按正数、负数与0的关系分类：有理数{正数{正整数、正分数}、0、负数{负整数、负分数}}．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
例4．下列各数：﹣，﹣0.7，﹣9，25，π，0，﹣7.3中，分数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分数的定义，进行分类．
【解答】解：下列各数：﹣，﹣0.7，﹣9，25，π，0，﹣7.3中，分数有：﹣，﹣0.7，﹣7.3，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的知识，注意掌握分数的定义．
例5．如图所示，某学习小组整理了“有理数”一章部分知识的结构图，A处应填 数轴 ，B处应填 乘方 ．
【分析】根据提议，结合“有理数”一章的相关内容，我们可得出，在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线就是数轴，故A表示数轴；有理数的运算包括：有理数的加法、减法、乘法、除法以及乘方的相关运算，故B表示乘方．
【解答】解：A处应填数轴；B处应填乘方．
故答案是：数轴；乘方．
【点评】本题考查了有理数．熟练掌握有理数的概念和相关运算是解题的关键．
例6．把下列各数填在相应的大括号里，π，﹣1，0，+6，﹣1.08，10%，0.303003…，﹣，
自然数集合：{ 0，+6， ……}
正数集合：{ ，π，+6，10%，0.303003…，0.， ……}
非正整数集合：{ ﹣1，0，﹣1.08，﹣ ……}
分数集合：{ ，﹣1.08，10%，0.， ……}
【分析】按照正负数的意义，有理数的意义与分类选择数据填空即可．
【解答】解：自然数集合：{0，+6，……}
正数集合：{，π，+6，10%，0.303003…，0.，……}
非正整数集合：{﹣1，0，﹣1.08，﹣，……}
分数集合：{，﹣1.08，10%，0.，……}
故答案为：0，+6；，π，+6，10%，0.303003…，0.，；﹣1，0，﹣1.08，﹣；，﹣1.08，10%，0.，
【点评】本题考查了正数、负数，有理数，掌握①整数包括正整数、0、负整数，②分数包括分数，有限小数，无限循环小数，③非负有理数包括正有理数和0，④有理数包括正有理数、0和负有理数是解决问题的关键．
三．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
??????? ?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
例7．如图，若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等，则点B所表示的数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】到原点距离相等的点所表示的数互为相反数，故可知B点表示的数为﹣2的相反数．
【解答】解：∵A、B两点到原点的距离相等，A为﹣2，
则B为﹣2的相反数，即B表示2．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的意义及相反数的意义，要正确理解到原点距离相等的两个点所表示的数即为相反数．
例8．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段AB是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第一次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 ﹣3.14或3.14 ．（π取3.14）
【分析】利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离即可．
【解答】解：∵把圆片沿数轴向左或右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，
∴滚动的距离＝π＝3.14，
∴点C表示的数是﹣3.14或3.14；
故答案为：﹣3.14或3.14．
【点评】此题主要考查了数轴的应用、圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
例9．某出租车一天上午从A地出发在沿着东西向的大街营运，向东为正，向西为负，行驶里程（单位：km）依先后次序记录如下：+18，﹣5，﹣2，+3，+10，﹣9，+12，﹣3，﹣7，﹣15．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车相对出发地的位置？
（2）不超过3千米时，按起步价收费10元，超过3千米的部分，每千米收费2元，司机上午的营业额是多少？
【分析】（1）利用正负数表示具有相反意义的量即可表示出租车最后的位置，符号表示方向，绝对值表示距离；
（2）将费用分成起步价费用与超出增收费用两个部分，进行整体计算即可．
【解答】解：（1）+18﹣5﹣2+3+10﹣9+12﹣3﹣7﹣15＝43﹣41＝2，
∴将最后一名乘客送到目的地，出租车位于出发地东边2km的位置；
（2）因为每一次营运，起步价都是10元，再计算七次超过3千米超出的收费即可得到
10×10+（18+5+10+9+12+7+15﹣7×3）×2＝100+110＝210
答：司机上午的营业额是210元．
【点评】本题考查的是正数与负数在生活中的应用，理解正负数表示具有相反意义的量是关键，在计算中运用整体思想是重点．
四．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
例10．2的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．0
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
例11．如果x的相反数是2019，那么x的值是 ﹣2019 ．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵x的相反数是2019，
∴x的值是：﹣2019．
故答案为：﹣2019
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
例12．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【解答】解：（1）点C表示的数是﹣1；
（2）点C表示的数是0.5，D表示的数是﹣4.5．
【点评】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
五．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
??? ①正数都大于0；?
??? ②负数都小于0；?
??? ③正数大于一切负数；?
??? ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b．
例13．在有理数2，0，﹣1，﹣中，最小的是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜﹣＜0＜2，
故最小的有理数是﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
例14．比较大小：﹣1.2 ＜ ﹣1（用“＜”或“＞”填写）
【分析】根据正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小分别求解．
【解答】解：﹣1.2＜﹣1．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了绝对值．
例15．在数轴上表示下列各数：，+2，﹣0.2，0，3，并用“＜”把这些数连接起来．
【分析】先在数轴上表示出来，再判断大小即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
六．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
?①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
例16．|﹣|的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先把所给的式子化简，再根据相反数的定义得出即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，
∴|﹣|的相反数是﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数和绝对值的求法，先进行正确化简是解题的关键．
例17．若|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的值可以是 2 （写出一个即可）．
【分析】含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若＞等于0，可直接去绝对值；若＜0，去绝对值时原式要乘以﹣1．由此可得2x﹣5≤0，再解此不等式即可．
【解答】解：∵|2x﹣5|＝5﹣2x，
∴2x﹣5≤0，即x≤2.5．
∴x的值可以是2，1，0，﹣1，…
故答案为：2．
【点评】本题考查了绝对值和不等式的性质．含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若大于等于0，可直接去绝对值；若小于0，去绝对值时原式要乘以﹣1．
例18．若|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【分析】根据|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，可以求得x的取值范围，从而可以写出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【解答】解：∵|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，
∴x≥0且x﹣3≤0，
∴0≤x≤3，
∴所有符合条件的整数x的值是0，1，2，3，
∴这些值的和是：0+1+2+3＝6．
【点评】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确题意，求出符合条件的x的值．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，是负整数的是（ ）
A．﹣6 B．3 C．0 D．
3．在数轴上表示﹣1的点与表示2的点之间的距离是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
4．在如图的数轴上，A，B两点表示的数分别是a，b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
5．﹣2019的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
6．﹣（﹣6）等于（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．±6
7．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．﹣4 D．0
8．如图，点A在数轴上表示的数为a，写一个比a小的负整数，可以为（ ）
A．2 B．0.5 C．﹣ D．﹣1
9．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
10．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
C．绝对值越大，这个数越大
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．数学考试成绩以80分为标准，王老师将某4名同学的成绩简记为+10，0，﹣8，+18，则这4名同学实际成绩最高的是 分．
12．在有理数﹣4.2、6、0、﹣11、﹣中，分数有 个．
13．在下列各数中：﹣3，﹣2.5，+2.25，0，+0.1，+3，π，﹣4，﹣x，10，非负整数的个数是 ．
14．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ．
15．﹣16的相反数是 ．
16．如果x的相反数是2019，那么x的值是 ．
17．已知符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围
18．如果|x﹣2|＝x﹣2，那么x的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）现有五袋大米，以每袋60千克为标准，超过的记为正，不足记为负，称重记录如下（单位：千克）：+5.5，﹣3.5，+2.3，﹣2.5，+2.7．
（1）这五袋大米最重为多少千克？
（2）总重量为多少千克？
20．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“＞”连接起来．
3，﹣1，0，﹣2.5，1.5，2．
21．（9分）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；
2016，﹣15%，﹣0.618，7，﹣9，﹣，0，3.14，﹣72
（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
22．（9分）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]＝8，求a的相反数．
23．（10分）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
24．（10分）一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达A地，继续向东走25千米到达B地，然后向西走了10千米到达C地，最后回到超市．
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置；
（2）求C地距离A地多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
（4）货车每千米耗油0.5升，这次共耗油多少升？
25．（12分）已知|a|＝﹣a，，|c|＝c．
（1）比较大小：a 0，b 0，c 0；
（2）比较大小：a+b 0，a﹣c 0，b﹣c 0；
（3）根据（1）、（2）问结论，化简．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，
∴﹣0.6最接近标准，
故选：C．
2．【解答】解：A、﹣6为负整数，故选项正确；
B、3为正整数，故选项错误；
C、0不是正数，也不是负数，故选项错误；
D、为正分数，故选项错误．
故选：A．
3．【解答】解：表示﹣1的点与表示2的点间距离为：2﹣（﹣1）＝3．
故选：D．
4．【解答】解：如图，根据数轴上右边的数总是比左边的数大的规律可知答案为a＜b．
故选：C．
5．【解答】解：﹣2019的相反数是2019．
故选：C．
6．【解答】解：﹣（﹣6）＝6．
故选：B．
7．【解答】解：根据题意得：﹣6＜﹣4＜﹣2＜0，
则最大的数是0，
故选：D．
8．【解答】解：点A在数轴上表示的数为a，a是3，
比a小的负整数是﹣1．
故选：D．
9．【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
10．【解答】解：A．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A不合题意；
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B不合题意；
C．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C不合题意；
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小．正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【解答】解：由题意可得，
这四名同学的成绩分别为：80+10＝90（分），80+0＝80（分），80﹣8＝72（分），80+18＝98（分），
即这4名同学实际成绩最高的是98分，
故答案为：98．
12．【解答】解：在有理数﹣4.2、6、0、﹣11、﹣中，分数有﹣4.2，﹣，共2个，
故答案为：2．
13．【解答】解：∵非负整数就是正整数和0，当x是正数时，﹣x就是负数，π是无限不循环小数．
∴非负整数有：0，10共2个．
故答案为：2
14．【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，
∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．
即点C所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1
15．【解答】解：﹣16的相反数是16．
故答案为：16
16．【解答】解：∵x的相反数是2019，
∴x的值是：﹣2019．
故答案为：﹣2019
17．【解答】解：符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围2＜x≤3．
故答案为：2＜x≤3
18．【解答】解：∵|x﹣2|＝x﹣2，
∴x﹣2≥0，即x≥2．
故答案为：x≥2．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：（1）60+5.5＝65.5（千克），
答：这五袋大米最重为65.5千克；
（2）5.5﹣3.5+2.3﹣2.5+2.7+60×5＝304.5（千克）
答：总重量为304.5千克．
20．【解答】解：，
3＞2＞1.5＞0＞﹣1＞﹣2.5．
21．【解答】解：（1）根据题意如图：
（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；
（3）∵最大数是2016，最小数是﹣72，
∴最大的数与最小的数之和2016+（﹣72）＝1944．
22．【解答】解：①∵x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，
∴x＝2，
故4+3a＝5，
解得：a＝；
②∵﹣[﹣（﹣a）]＝8，
∴a＝﹣8，
∴a的相反数是8．
23．【解答】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：
故答案为：B；C．
24．【解答】解：（1）如图：
（2）A对应数字是3，B对应数字是3+25＝28，C对应数字是28﹣10＝18，
所以C地距离A地的距离是18﹣3＝15千米；
（3）3+25+10+18＝56，即货车一共行驶了56千米；
（4）56×0.5＝28，所以共耗油28升．
25．【解答】解：（1）因为|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c．
所以a＜0，b＜0，c＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）因为a＜0，b＜0，c＞0，
所以a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，
故答案为：＜，＜，＜；
（3）因为a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，
所以﹣+
＝﹣+﹣
＝﹣1+1﹣1
＝﹣1．
一．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
例1．如果把向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示向西走2km，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
例2．若零上8℃记作+8℃，则零下6℃记作 ﹣6 ℃．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据正数和负数表示相反的意义，可知
如果零上8℃记作+8℃，那么零下6℃记作﹣6℃．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
例3．高新一中新图书馆在“校园书香四溢”活动中迎来了借书高潮，上周借书记录如下表：（超过100册的部分记为正，少于100册的部分记为负）
（1）上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书多少册？
（2）上星期平均每天借出多少册书？
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
+18 ﹣6 +15 0 ﹣12
【分析】（1）找出借书最多的一天和最少的一天，然后求差即可；
（2）利用100加上星期一到星期五超过100册的部分的和的平均数即可．
【解答】解：（1）18+12＝30（册）．
答：上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书30册；
（2）18﹣6+15+0﹣12＝15（册），
15÷5＝3（册），
100+3＝103（册）．
答：上星期平均每天借出103册书．
【点评】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
二．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数{整数{正整数、0、负整数、分数{正分数、负分数}}}；?????????????????
②按正数、负数与0的关系分类：有理数{正数{正整数、正分数}、0、负数{负整数、负分数}}．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
例4．下列各数：﹣，﹣0.7，﹣9，25，π，0，﹣7.3中，分数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分数的定义，进行分类．
【解答】解：下列各数：﹣，﹣0.7，﹣9，25，π，0，﹣7.3中，分数有：﹣，﹣0.7，﹣7.3，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的知识，注意掌握分数的定义．
例5．如图所示，某学习小组整理了“有理数”一章部分知识的结构图，A处应填 数轴 ，B处应填 乘方 ．
【分析】根据提议，结合“有理数”一章的相关内容，我们可得出，在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线就是数轴，故A表示数轴；有理数的运算包括：有理数的加法、减法、乘法、除法以及乘方的相关运算，故B表示乘方．
【解答】解：A处应填数轴；B处应填乘方．
故答案是：数轴；乘方．
【点评】本题考查了有理数．熟练掌握有理数的概念和相关运算是解题的关键．
例6．把下列各数填在相应的大括号里，π，﹣1，0，+6，﹣1.08，10%，0.303003…，﹣，
自然数集合：{ 0，+6， ……}
正数集合：{ ，π，+6，10%，0.303003…，0.， ……}
非正整数集合：{ ﹣1，0，﹣1.08，﹣ ……}
分数集合：{ ，﹣1.08，10%，0.， ……}
【分析】按照正负数的意义，有理数的意义与分类选择数据填空即可．
【解答】解：自然数集合：{0，+6，……}
正数集合：{，π，+6，10%，0.303003…，0.，……}
非正整数集合：{﹣1，0，﹣1.08，﹣，……}
分数集合：{，﹣1.08，10%，0.，……}
故答案为：0，+6；，π，+6，10%，0.303003…，0.，；﹣1，0，﹣1.08，﹣；，﹣1.08，10%，0.，
【点评】本题考查了正数、负数，有理数，掌握①整数包括正整数、0、负整数，②分数包括分数，有限小数，无限循环小数，③非负有理数包括正有理数和0，④有理数包括正有理数、0和负有理数是解决问题的关键．
三．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
??????? ?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
例7．如图，若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等，则点B所表示的数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】到原点距离相等的点所表示的数互为相反数，故可知B点表示的数为﹣2的相反数．
【解答】解：∵A、B两点到原点的距离相等，A为﹣2，
则B为﹣2的相反数，即B表示2．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的意义及相反数的意义，要正确理解到原点距离相等的两个点所表示的数即为相反数．
例8．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段AB是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第一次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 ﹣3.14或3.14 ．（π取3.14）
【分析】利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离即可．
【解答】解：∵把圆片沿数轴向左或右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，
∴滚动的距离＝π＝3.14，
∴点C表示的数是﹣3.14或3.14；
故答案为：﹣3.14或3.14．
【点评】此题主要考查了数轴的应用、圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
例9．某出租车一天上午从A地出发在沿着东西向的大街营运，向东为正，向西为负，行驶里程（单位：km）依先后次序记录如下：+18，﹣5，﹣2，+3，+10，﹣9，+12，﹣3，﹣7，﹣15．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车相对出发地的位置？
（2）不超过3千米时，按起步价收费10元，超过3千米的部分，每千米收费2元，司机上午的营业额是多少？
【分析】（1）利用正负数表示具有相反意义的量即可表示出租车最后的位置，符号表示方向，绝对值表示距离；
（2）将费用分成起步价费用与超出增收费用两个部分，进行整体计算即可．
【解答】解：（1）+18﹣5﹣2+3+10﹣9+12﹣3﹣7﹣15＝43﹣41＝2，
∴将最后一名乘客送到目的地，出租车位于出发地东边2km的位置；
（2）因为每一次营运，起步价都是10元，再计算七次超过3千米超出的收费即可得到
10×10+（18+5+10+9+12+7+15﹣7×3）×2＝100+110＝210
答：司机上午的营业额是210元．
【点评】本题考查的是正数与负数在生活中的应用，理解正负数表示具有相反意义的量是关键，在计算中运用整体思想是重点．
四．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
例10．2的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．0
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
例11．如果x的相反数是2019，那么x的值是 ﹣2019 ．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵x的相反数是2019，
∴x的值是：﹣2019．
故答案为：﹣2019
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
例12．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【解答】解：（1）点C表示的数是﹣1；
（2）点C表示的数是0.5，D表示的数是﹣4.5．
【点评】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
五．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
??? ①正数都大于0；?
??? ②负数都小于0；?
??? ③正数大于一切负数；?
??? ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b．
例13．在有理数2，0，﹣1，﹣中，最小的是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜﹣＜0＜2，
故最小的有理数是﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
例14．比较大小：﹣1.2 ＜ ﹣1（用“＜”或“＞”填写）
【分析】根据正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小分别求解．
【解答】解：﹣1.2＜﹣1．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了绝对值．
例15．在数轴上表示下列各数：，+2，﹣0.2，0，3，并用“＜”把这些数连接起来．
【分析】先在数轴上表示出来，再判断大小即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
六．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
?①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
例16．|﹣|的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先把所给的式子化简，再根据相反数的定义得出即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，
∴|﹣|的相反数是﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数和绝对值的求法，先进行正确化简是解题的关键．
例17．若|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的值可以是 2 （写出一个即可）．
【分析】含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若＞等于0，可直接去绝对值；若＜0，去绝对值时原式要乘以﹣1．由此可得2x﹣5≤0，再解此不等式即可．
【解答】解：∵|2x﹣5|＝5﹣2x，
∴2x﹣5≤0，即x≤2.5．
∴x的值可以是2，1，0，﹣1，…
故答案为：2．
【点评】本题考查了绝对值和不等式的性质．含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若大于等于0，可直接去绝对值；若小于0，去绝对值时原式要乘以﹣1．
例18．若|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【分析】根据|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，可以求得x的取值范围，从而可以写出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．
【解答】解：∵|x|＝x，并且|x﹣3|＝3﹣x，
∴x≥0且x﹣3≤0，
∴0≤x≤3，
∴所有符合条件的整数x的值是0，1，2，3，
∴这些值的和是：0+1+2+3＝6．
【点评】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确题意，求出符合条件的x的值．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，是负整数的是（ ）
A．﹣6 B．3 C．0 D．
3．在数轴上表示﹣1的点与表示2的点之间的距离是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
4．在如图的数轴上，A，B两点表示的数分别是a，b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
5．﹣2019的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
6．﹣（﹣6）等于（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．±6
7．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．﹣4 D．0
8．如图，点A在数轴上表示的数为a，写一个比a小的负整数，可以为（ ）
A．2 B．0.5 C．﹣ D．﹣1
9．﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
10．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
C．绝对值越大，这个数越大
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．数学考试成绩以80分为标准，王老师将某4名同学的成绩简记为+10，0，﹣8，+18，则这4名同学实际成绩最高的是 分．
12．在有理数﹣4.2、6、0、﹣11、﹣中，分数有 个．
13．在下列各数中：﹣3，﹣2.5，+2.25，0，+0.1，+3，π，﹣4，﹣x，10，非负整数的个数是 ．
14．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ．
15．﹣16的相反数是 ．
16．如果x的相反数是2019，那么x的值是 ．
17．已知符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围
18．如果|x﹣2|＝x﹣2，那么x的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）现有五袋大米，以每袋60千克为标准，超过的记为正，不足记为负，称重记录如下（单位：千克）：+5.5，﹣3.5，+2.3，﹣2.5，+2.7．
（1）这五袋大米最重为多少千克？
（2）总重量为多少千克？
20．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“＞”连接起来．
3，﹣1，0，﹣2.5，1.5，2．
21．（9分）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；
2016，﹣15%，﹣0.618，7，﹣9，﹣，0，3.14，﹣72
（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
22．（9分）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]＝8，求a的相反数．
23．（10分）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
24．（10分）一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达A地，继续向东走25千米到达B地，然后向西走了10千米到达C地，最后回到超市．
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置；
（2）求C地距离A地多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
（4）货车每千米耗油0.5升，这次共耗油多少升？
25．（12分）已知|a|＝﹣a，，|c|＝c．
（1）比较大小：a 0，b 0，c 0；
（2）比较大小：a+b 0，a﹣c 0，b﹣c 0；
（3）根据（1）、（2）问结论，化简．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，
∴﹣0.6最接近标准，
故选：C．
2．【解答】解：A、﹣6为负整数，故选项正确；
B、3为正整数，故选项错误；
C、0不是正数，也不是负数，故选项错误；
D、为正分数，故选项错误．
故选：A．
3．【解答】解：表示﹣1的点与表示2的点间距离为：2﹣（﹣1）＝3．
故选：D．
4．【解答】解：如图，根据数轴上右边的数总是比左边的数大的规律可知答案为a＜b．
故选：C．
5．【解答】解：﹣2019的相反数是2019．
故选：C．
6．【解答】解：﹣（﹣6）＝6．
故选：B．
7．【解答】解：根据题意得：﹣6＜﹣4＜﹣2＜0，
则最大的数是0，
故选：D．
8．【解答】解：点A在数轴上表示的数为a，a是3，
比a小的负整数是﹣1．
故选：D．
9．【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
10．【解答】解：A．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A不合题意；
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B不合题意；
C．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C不合题意；
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小．正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【解答】解：由题意可得，
这四名同学的成绩分别为：80+10＝90（分），80+0＝80（分），80﹣8＝72（分），80+18＝98（分），
即这4名同学实际成绩最高的是98分，
故答案为：98．
12．【解答】解：在有理数﹣4.2、6、0、﹣11、﹣中，分数有﹣4.2，﹣，共2个，
故答案为：2．
13．【解答】解：∵非负整数就是正整数和0，当x是正数时，﹣x就是负数，π是无限不循环小数．
∴非负整数有：0，10共2个．
故答案为：2
14．【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，
∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．
即点C所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1
15．【解答】解：﹣16的相反数是16．
故答案为：16
16．【解答】解：∵x的相反数是2019，
∴x的值是：﹣2019．
故答案为：﹣2019
17．【解答】解：符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围2＜x≤3．
故答案为：2＜x≤3
18．【解答】解：∵|x﹣2|＝x﹣2，
∴x﹣2≥0，即x≥2．
故答案为：x≥2．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：（1）60+5.5＝65.5（千克），
答：这五袋大米最重为65.5千克；
（2）5.5﹣3.5+2.3﹣2.5+2.7+60×5＝304.5（千克）
答：总重量为304.5千克．
20．【解答】解：，
3＞2＞1.5＞0＞﹣1＞﹣2.5．
21．【解答】解：（1）根据题意如图：
（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；
（3）∵最大数是2016，最小数是﹣72，
∴最大的数与最小的数之和2016+（﹣72）＝1944．
22．【解答】解：①∵x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，
∴x＝2，
故4+3a＝5，
解得：a＝；
②∵﹣[﹣（﹣a）]＝8，
∴a＝﹣8，
∴a的相反数是8．
23．【解答】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：
故答案为：B；C．
24．【解答】解：（1）如图：
（2）A对应数字是3，B对应数字是3+25＝28，C对应数字是28﹣10＝18，
所以C地距离A地的距离是18﹣3＝15千米；
（3）3+25+10+18＝56，即货车一共行驶了56千米；
（4）56×0.5＝28，所以共耗油28升．
25．【解答】解：（1）因为|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c．
所以a＜0，b＜0，c＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）因为a＜0，b＜0，c＞0，
所以a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，
故答案为：＜，＜，＜；
（3）因为a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，
所以﹣+
＝﹣+﹣
＝﹣1+1﹣1
＝﹣1．