2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.3 有理数的加减法 同步学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.3 有理数的加减法 同步学案（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 364.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-22 16:25:14 | ||
图片预览
文档简介
2019-2020学年人教版七年级数学上册 1.3有理数的加减法 同步学案
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；? 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
例1．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m+n＝（ ）
m ﹣3 4
3 1
n
A．1 B．2 C．5 D．7
【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，从而求出n值即可
解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2，
则有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5，
∴m+n＝5+2＝7，
故选：D．
【点评】此题主要考查有理数的加法，利用九宫格的形式进行考查，只要根据题中的条件列式子即可解决．
例2．2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 2 和 9 ．
【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8＝a+3+b+11①
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
∴3+6+b+7＝a+4+11+8②
联立①②解得：a＝2，b＝9
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
【点评】此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．
例3．在括号内填入每步运算的依据．
解：（﹣8）+（﹣5）+8
＝（﹣8）+8+（﹣5） 加法交换律
＝[（﹣8）+8]+（﹣5） 加法结合律
＝0+（﹣5） 互为相反数的两个数相加为零
＝﹣5 一个数与零相加仍得这个数
【分析】利用加法运算律计算即可求出值．
解：（﹣8）+（﹣5）+8
＝（﹣8）+8+（﹣5）（加法交换律），
＝[（﹣8）+8]+（﹣5）（加法结合律），
＝0+（﹣5）（互为相反数的两个数相加得零）
＝﹣5（一个数与零相加仍得这个数）．
故答案为：加法交换律，加法结合律，互为相反数的两个数相加得零，一个数与零相加仍得这个数．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）?
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
??减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
例4．2019年3月21日，春分，雪至．哈尔滨市的最低气温是﹣8℃，最高气温是1℃，则这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．7℃ D．﹣7℃
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：由题意可得，这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是：1﹣（﹣8）＝9（℃）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加减，正确掌握运算法则是解题关键．
例5．比﹣1小﹣2的数是 1 ．
【分析】用﹣1减去﹣2，求出比﹣1小﹣2的数是多少即可．
解：（﹣1）﹣（﹣2）＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握有理数减法法则．
例6．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
【点评】本题考查了实数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是3个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的x是否满足题意．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．?
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．?
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
例7．在下列变形中，错误的是（ ）
A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
【分析】在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确；
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3++5，本选项错误；
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确；
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．
例8．计算：﹣的结果是 ﹣ ．
【分析】应用加法交换律、加法结合律以及减法的性质，求出算式的值是多少即可．
解：﹣
＝（+++）﹣（+++）
＝×（﹣+﹣+﹣+﹣）﹣×（1﹣+﹣+﹣+﹣）
＝×﹣×
＝﹣
＝﹣
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法运算定律和减法的性质的应用．
例9．一架无人驾驶的小飞机（无人机）从离地面350米的高度开始变速，先以15米每秒的速度上升30秒，再以20米每秒的速度下降10秒，这时飞机离地面的高度多少？
【分析】记上升为正，下降为负，根据有理数的运算即可得出．
解：记上升为正，下降为负，则有：
350+15×30+（﹣20）×10＝600米
故这时飞机离地面的高度是600米．
【点评】本题为有理数混合运算，要理解正数与负数是表示相反意义的量，为基础题．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣6
2．（3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣2y＝（ ）
x 2y
﹣2 y 6
0
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（3分）计算﹣2+（﹣6）的结果是（ ）
A．12 B． C．﹣8 D．﹣4
4．（3分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
5．（3分）在下列气温的变化中，能够反映温度上升5℃的是（ ）
A．气温由﹣5℃到5℃ B．气温由﹣1℃到﹣6℃
C．气温由5℃到0℃ D．气温由﹣2℃到3℃
6．（3分）比﹣3大5的数是（ ）
A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．8
7．（3分）2019年3月21日，春分，雪至．哈尔滨市的最低气温是﹣8℃，最高气温是1℃，则这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．7℃ D．﹣7℃
8．（3分）比﹣3的相反数小1的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（ ）
星期 一 二 三 四
最高气温 10°C 12°C 11°C 9°C
最低气温 3°C 0°C ﹣2°C ﹣3°C
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
10．（3分）下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
12．（3分）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b＝c+d＝17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
13．（3分）某天最低气温是﹣5℃，最高气温比最低气温高9℃，则这天的最高气温是 ℃．
14．（3分）如图，在3×3的“九宫格”中填数，要使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．则B表示的数是 ．
15．（3分）某地中午的气温是+3℃，晚上气温比中午下降了8℃，则该地晚上的气温是 ℃．
16．（3分）若|a|＝3，|b|＝5且a＞0，则a﹣b＝ ．
17．（3分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆丝（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米饭 3元 2
18．（3分）已知有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C，点A、B在数轴上的位置如图所示，若|b|＝4，AC＝2，则a+b﹣c＝ ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：
（1）43+（﹣77）
（2）（﹣2）﹣（﹣3）
（3）（﹣63）+17+（﹣23）+68
（4）3+（﹣）+（﹣3）+2
20．（6分）若|a|＝3，|b|＝5，求a+b的值．
21．（6分）某同学在计算时﹣3﹣N，误将﹣N看成了+N，从而算得结果是5，请你帮助算出正确结果．
22．（8分）当温度每上升1℃时，某种金属丝伸长0.003mm，反之，当温度每下降1℃时，金属丝缩短0.003mm，把15℃的这种金属丝加热到60℃，再使它冷却降温到10℃，金属丝长度经历了怎样的变化？最后的长度比原来长度伸长多少？
23．（8分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
24．（10分）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
25．（10分）请根据图示的对话解答下列问题．
求：（1）a，b，c的值；
（2）8﹣a+b﹣c的值．
26．（10分）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某登山运动员攀登2km后，
（1）气温有什么变化？
（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：根据题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝1，
则a+b+c＝﹣1+0+1＝0，
故选：C．
2．解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，
∴2y+y+0＝y+6+（﹣2），2y+y+0＝x+（﹣2）+0，
∴3y＝y+4，3y＝x﹣2，
解得y＝2，x＝8，
∴x﹣2y
＝8﹣2×2
＝8﹣4
＝4
故选：B．
3．解：﹣2+（﹣6）
＝﹣（2+6）
＝﹣8
所以计算﹣2+（﹣6）的结果是﹣8．
故选：C．
4．解：∵|a|＝1，b是2的相反数，
∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，
当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；
当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；
综上，a+b的值为﹣1或﹣3，
故选：C．
5．解：A．气温由﹣5℃到5℃，上升了5﹣（﹣5）＝10（℃），不符合题意；
B．气温由﹣1℃到﹣6℃，上升了﹣6﹣（﹣1）＝﹣5（℃），不符合题意；
C．气温由5℃到0℃，上升了0﹣5＝﹣5（℃），不符合题意；
D．气温由﹣2℃到3℃，上升了3﹣（﹣2）＝5（℃），符合题意；
故选：D．
6．解：﹣3+5＝2．
故选：C．
7．解：由题意可得，这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是：1﹣（﹣8）＝9（℃）．
故选：B．
8．解：﹣3的相反数为3，故比﹣3的相反数小1的数是2．
故选：A．
9．解：星期一温差10﹣3＝7℃；
星期二温差12﹣0＝12℃；
星期三温差11﹣（﹣2）＝13℃；
星期四温差9﹣（﹣3）＝12℃；
故选：C．
10．解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：﹣ +＝﹣+＝．
故答案：．
12．解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17﹣y，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是x，x+y，17﹣y，15，
∴x+x+y+17﹣y+15＝34，
∴x＝1；
故答案为1．
13．解：这天的最高气温是﹣5+9＝4（℃），
故答案为：4．
14．解：
设每行每列及每条对角线上的三数之和为a，依题意得：
A＝a﹣4﹣9＝a﹣13
F＝a﹣（a﹣13）﹣2018＝﹣2005
C＝a﹣4﹣（﹣2005）＝a+2001
E＝a﹣9﹣（a﹣2001）＝﹣2010
B＝a﹣（a+2001）﹣2018＝﹣4019
故答案为：﹣4019
15．解：中午的气温是+3℃，晚上气温比中午下降了8℃，则该地晚上的气温是3﹣8＝﹣5（℃）．
故答案为：﹣5．
16．解：∵|a|＝3，|b|＝5，a＞0，
∴a＝3，b＝±5，
当a＝3，b＝5时，a﹣b＝3﹣5＝﹣2；
当a＝3，b＝﹣5时，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝8；
综上，a﹣b的值为﹣2或8，
故答案为：﹣2或8．
17．解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60﹣30+3+30﹣12+3＝54元，
答：他点餐总费用最低可为54元．
故答案为：54．
18．解：由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，
∵|b|＝4，AC＝2，
∴b＝﹣4，c﹣a＝2，
∴a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣a）＝﹣4﹣2＝﹣6．
故答案为﹣6．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：（1）原式＝﹣（77﹣43）＝﹣34；
（2）原式＝﹣2+3＝1；
（3）原式＝﹣63﹣23+17+68
＝﹣86+85＝﹣1；
（4）原式＝3﹣3+2﹣＝1．
20．解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5，
则a＝3，b＝5时，a+b＝8．
a＝3，b＝﹣5时，a+b＝﹣2，
a＝﹣3，b＝5时，a+b＝2，
a＝﹣3，b＝﹣5时，a+b＝﹣8，
综上，a+b的值为±2或±8．
21．解：根据题意得：N＝5﹣（﹣3）＝5+3＝9，
则正确的算式为﹣3﹣9＝﹣13．
22．解：把15℃的这种金属丝加热到60℃，金属丝伸长0.003×（60﹣15）＝0.135mm，
再使它冷却降温到10℃，金属丝缩短0.003×（60﹣10）＝0.15mm，
所以金属丝先伸长0.135mm，再缩短0.15mm，
最后的长度比原来长度伸长0.135﹣0.15＝﹣0.015mm．
23．解：（1）2+3+4＝9，
9﹣6﹣4＝﹣1，
9﹣6﹣2＝1，
9﹣2﹣7＝0，
9﹣4﹣0＝5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
﹣2+1+4＝3，
如图所示：
x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，
y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，
x+y＝5+8＝13．
24．解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；
（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），
答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；
（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．
25．解：（1）∵a的相反数是3，b＜a，b的绝对值是6，c+b＝﹣8，
∴a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2；
（2）∵a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）
＝8+3+（﹣6）+2
＝7．
26．解：（1）根据题意，登山运动员攀登2km后，气温下降12℃；
（2）根据题意得：[3﹣（﹣15）]÷6×1＝3（千米），
则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米．
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；? 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
例1．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m+n＝（ ）
m ﹣3 4
3 1
n
A．1 B．2 C．5 D．7
【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，从而求出n值即可
解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2，
则有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5，
∴m+n＝5+2＝7，
故选：D．
【点评】此题主要考查有理数的加法，利用九宫格的形式进行考查，只要根据题中的条件列式子即可解决．
例2．2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 2 和 9 ．
【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8＝a+3+b+11①
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
∴3+6+b+7＝a+4+11+8②
联立①②解得：a＝2，b＝9
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
【点评】此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．
例3．在括号内填入每步运算的依据．
解：（﹣8）+（﹣5）+8
＝（﹣8）+8+（﹣5） 加法交换律
＝[（﹣8）+8]+（﹣5） 加法结合律
＝0+（﹣5） 互为相反数的两个数相加为零
＝﹣5 一个数与零相加仍得这个数
【分析】利用加法运算律计算即可求出值．
解：（﹣8）+（﹣5）+8
＝（﹣8）+8+（﹣5）（加法交换律），
＝[（﹣8）+8]+（﹣5）（加法结合律），
＝0+（﹣5）（互为相反数的两个数相加得零）
＝﹣5（一个数与零相加仍得这个数）．
故答案为：加法交换律，加法结合律，互为相反数的两个数相加得零，一个数与零相加仍得这个数．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）?
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
??减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
例4．2019年3月21日，春分，雪至．哈尔滨市的最低气温是﹣8℃，最高气温是1℃，则这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．7℃ D．﹣7℃
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：由题意可得，这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是：1﹣（﹣8）＝9（℃）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加减，正确掌握运算法则是解题关键．
例5．比﹣1小﹣2的数是 1 ．
【分析】用﹣1减去﹣2，求出比﹣1小﹣2的数是多少即可．
解：（﹣1）﹣（﹣2）＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握有理数减法法则．
例6．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
【点评】本题考查了实数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是3个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的x是否满足题意．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．?
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．?
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
例7．在下列变形中，错误的是（ ）
A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
【分析】在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确；
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3++5，本选项错误；
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确；
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．
例8．计算：﹣的结果是 ﹣ ．
【分析】应用加法交换律、加法结合律以及减法的性质，求出算式的值是多少即可．
解：﹣
＝（+++）﹣（+++）
＝×（﹣+﹣+﹣+﹣）﹣×（1﹣+﹣+﹣+﹣）
＝×﹣×
＝﹣
＝﹣
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法运算定律和减法的性质的应用．
例9．一架无人驾驶的小飞机（无人机）从离地面350米的高度开始变速，先以15米每秒的速度上升30秒，再以20米每秒的速度下降10秒，这时飞机离地面的高度多少？
【分析】记上升为正，下降为负，根据有理数的运算即可得出．
解：记上升为正，下降为负，则有：
350+15×30+（﹣20）×10＝600米
故这时飞机离地面的高度是600米．
【点评】本题为有理数混合运算，要理解正数与负数是表示相反意义的量，为基础题．
同步测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣6
2．（3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣2y＝（ ）
x 2y
﹣2 y 6
0
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（3分）计算﹣2+（﹣6）的结果是（ ）
A．12 B． C．﹣8 D．﹣4
4．（3分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
5．（3分）在下列气温的变化中，能够反映温度上升5℃的是（ ）
A．气温由﹣5℃到5℃ B．气温由﹣1℃到﹣6℃
C．气温由5℃到0℃ D．气温由﹣2℃到3℃
6．（3分）比﹣3大5的数是（ ）
A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．8
7．（3分）2019年3月21日，春分，雪至．哈尔滨市的最低气温是﹣8℃，最高气温是1℃，则这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．7℃ D．﹣7℃
8．（3分）比﹣3的相反数小1的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（ ）
星期 一 二 三 四
最高气温 10°C 12°C 11°C 9°C
最低气温 3°C 0°C ﹣2°C ﹣3°C
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
10．（3分）下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
12．（3分）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b＝c+d＝17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
13．（3分）某天最低气温是﹣5℃，最高气温比最低气温高9℃，则这天的最高气温是 ℃．
14．（3分）如图，在3×3的“九宫格”中填数，要使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．则B表示的数是 ．
15．（3分）某地中午的气温是+3℃，晚上气温比中午下降了8℃，则该地晚上的气温是 ℃．
16．（3分）若|a|＝3，|b|＝5且a＞0，则a﹣b＝ ．
17．（3分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆丝（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米饭 3元 2
18．（3分）已知有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C，点A、B在数轴上的位置如图所示，若|b|＝4，AC＝2，则a+b﹣c＝ ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：
（1）43+（﹣77）
（2）（﹣2）﹣（﹣3）
（3）（﹣63）+17+（﹣23）+68
（4）3+（﹣）+（﹣3）+2
20．（6分）若|a|＝3，|b|＝5，求a+b的值．
21．（6分）某同学在计算时﹣3﹣N，误将﹣N看成了+N，从而算得结果是5，请你帮助算出正确结果．
22．（8分）当温度每上升1℃时，某种金属丝伸长0.003mm，反之，当温度每下降1℃时，金属丝缩短0.003mm，把15℃的这种金属丝加热到60℃，再使它冷却降温到10℃，金属丝长度经历了怎样的变化？最后的长度比原来长度伸长多少？
23．（8分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
24．（10分）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
25．（10分）请根据图示的对话解答下列问题．
求：（1）a，b，c的值；
（2）8﹣a+b﹣c的值．
26．（10分）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某登山运动员攀登2km后，
（1）气温有什么变化？
（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：根据题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝1，
则a+b+c＝﹣1+0+1＝0，
故选：C．
2．解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，
∴2y+y+0＝y+6+（﹣2），2y+y+0＝x+（﹣2）+0，
∴3y＝y+4，3y＝x﹣2，
解得y＝2，x＝8，
∴x﹣2y
＝8﹣2×2
＝8﹣4
＝4
故选：B．
3．解：﹣2+（﹣6）
＝﹣（2+6）
＝﹣8
所以计算﹣2+（﹣6）的结果是﹣8．
故选：C．
4．解：∵|a|＝1，b是2的相反数，
∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，
当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；
当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；
综上，a+b的值为﹣1或﹣3，
故选：C．
5．解：A．气温由﹣5℃到5℃，上升了5﹣（﹣5）＝10（℃），不符合题意；
B．气温由﹣1℃到﹣6℃，上升了﹣6﹣（﹣1）＝﹣5（℃），不符合题意；
C．气温由5℃到0℃，上升了0﹣5＝﹣5（℃），不符合题意；
D．气温由﹣2℃到3℃，上升了3﹣（﹣2）＝5（℃），符合题意；
故选：D．
6．解：﹣3+5＝2．
故选：C．
7．解：由题意可得，这一天哈尔滨市的最高气温与最低气温的差是：1﹣（﹣8）＝9（℃）．
故选：B．
8．解：﹣3的相反数为3，故比﹣3的相反数小1的数是2．
故选：A．
9．解：星期一温差10﹣3＝7℃；
星期二温差12﹣0＝12℃；
星期三温差11﹣（﹣2）＝13℃；
星期四温差9﹣（﹣3）＝12℃；
故选：C．
10．解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：﹣ +＝﹣+＝．
故答案：．
12．解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17﹣y，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是x，x+y，17﹣y，15，
∴x+x+y+17﹣y+15＝34，
∴x＝1；
故答案为1．
13．解：这天的最高气温是﹣5+9＝4（℃），
故答案为：4．
14．解：
设每行每列及每条对角线上的三数之和为a，依题意得：
A＝a﹣4﹣9＝a﹣13
F＝a﹣（a﹣13）﹣2018＝﹣2005
C＝a﹣4﹣（﹣2005）＝a+2001
E＝a﹣9﹣（a﹣2001）＝﹣2010
B＝a﹣（a+2001）﹣2018＝﹣4019
故答案为：﹣4019
15．解：中午的气温是+3℃，晚上气温比中午下降了8℃，则该地晚上的气温是3﹣8＝﹣5（℃）．
故答案为：﹣5．
16．解：∵|a|＝3，|b|＝5，a＞0，
∴a＝3，b＝±5，
当a＝3，b＝5时，a﹣b＝3﹣5＝﹣2；
当a＝3，b＝﹣5时，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝8；
综上，a﹣b的值为﹣2或8，
故答案为：﹣2或8．
17．解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60﹣30+3+30﹣12+3＝54元，
答：他点餐总费用最低可为54元．
故答案为：54．
18．解：由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，
∵|b|＝4，AC＝2，
∴b＝﹣4，c﹣a＝2，
∴a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣a）＝﹣4﹣2＝﹣6．
故答案为﹣6．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：（1）原式＝﹣（77﹣43）＝﹣34；
（2）原式＝﹣2+3＝1；
（3）原式＝﹣63﹣23+17+68
＝﹣86+85＝﹣1；
（4）原式＝3﹣3+2﹣＝1．
20．解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5，
则a＝3，b＝5时，a+b＝8．
a＝3，b＝﹣5时，a+b＝﹣2，
a＝﹣3，b＝5时，a+b＝2，
a＝﹣3，b＝﹣5时，a+b＝﹣8，
综上，a+b的值为±2或±8．
21．解：根据题意得：N＝5﹣（﹣3）＝5+3＝9，
则正确的算式为﹣3﹣9＝﹣13．
22．解：把15℃的这种金属丝加热到60℃，金属丝伸长0.003×（60﹣15）＝0.135mm，
再使它冷却降温到10℃，金属丝缩短0.003×（60﹣10）＝0.15mm，
所以金属丝先伸长0.135mm，再缩短0.15mm，
最后的长度比原来长度伸长0.135﹣0.15＝﹣0.015mm．
23．解：（1）2+3+4＝9，
9﹣6﹣4＝﹣1，
9﹣6﹣2＝1，
9﹣2﹣7＝0，
9﹣4﹣0＝5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
﹣2+1+4＝3，
如图所示：
x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，
y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，
x+y＝5+8＝13．
24．解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；
（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），
答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；
（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．
25．解：（1）∵a的相反数是3，b＜a，b的绝对值是6，c+b＝﹣8，
∴a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2；
（2）∵a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）
＝8+3+（﹣6）+2
＝7．
26．解：（1）根据题意，登山运动员攀登2km后，气温下降12℃；
（2）根据题意得：[3﹣（﹣15）]÷6×1＝3（千米），
则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米．