北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 探索三角形相似的条件(基础)（含答案）

探索相似三角形相似的条件(基础)
【学习目标】
1. 相似三角形的概念.
2.相似三角形的三个判定定理.
3.黄金分割.
4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的概念
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即/∽/，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
要点二、相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
/
要点四、黄金分割
1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点诠释：
≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，/是黄金分割的准确值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、相似三角形的概念
/1. 下列能够相似的一组三角形为( ).　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
【答案】C
【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；
B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；
C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.
答案选C.
【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.
举一反三：
【变式】（2018秋?江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有　 　（填序号）．
【答案】①②④⑤.
类型二、相似三角形的三个判定定理
/2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
/
【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；
/
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．
举一反三
【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
/
【答案】
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．
/3、（2018秋?洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
/
【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP
=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从/=/或/=/分析，即可求得答案．
【答案与解析】
解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=xcm，BQ=2xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当/=/，即/=/时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=4；
②当/=/，即/=/时，△QBP∽△ABC，
解得：x=1.6，
∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．
/
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
/4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．
【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．
【答案与解析】
证明：∵AC=，BC=，AB=4，DF=，EF=，ED=8，∴，∴△ABC∽△DEF．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.
举一反三
【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
/
【答案】
（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=；故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=∴．∴△ABC∽△DEF．
类型三、黄金分割
/5. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即/＝/≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
/
【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为/，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明/＝/即可．
【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形．
理由如下：因为/＝/
＝/
所以矩形ABFE也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
举一反三：
【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，
/
（1）求AM，DM的长，
（2）试说明AM2=AD·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，
∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，
∴PD＝/。
∵PF＝PD，
∴AF＝/
，在正方形ABCD中，AM＝AF＝/，MD＝AD－AM＝3－/
（2）由（1）得AD×DM＝2（3－/）＝6－2/，
/
∴AM2=AD·DM．
（3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点．
/6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm，下半身长/与身高/的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）.
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【答案】C.
【解析】利用/=0.618，列方程求解。
设她应穿的高跟鞋的高度为y,则/解得y≈8.
【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.
【巩固练习】
一、选择题1. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：B1C1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（　　）
　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
2．（2019?大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
/
A．/　　B．/　　C．/　D．/
3．）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　）
/
A． P1 B． P2 C． P3 D． P4
4．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（　　）
/
A． ∠ADE=∠C B． ∠AED=∠B C. D.
5．已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　　）.
A. B. C. D.
6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）.
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
/
二、填空题
7.（2019?伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　 　．
/
8．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且点E为AB边中点，则图中有　　对相似三角形．
/
9．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　 　．
/
10．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是　 　的．（填“相似”或者“不相似”）

11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.
/
12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．
/
三、解答题
13. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．
/
14．如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．
/
15.（2018秋?元宝区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB=8，AC=16，点P从点B开始沿边BA向点A以2厘米每秒的速度移动，点Q从点A向点C以4厘米每秒的速度移动，如果点P、Q分别从点B、A同时出发，经过多少秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似？
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3个；
故选：B．
2.【答案】B.
【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为/、2、/、
只有选项B的各边为1、/、/与它的各边对应成比例．故选B．
3.【答案】C；
【解析】解：∵∠BAC=∠PED，而/=/，
∴/=/时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
∴EP=6，
∴点P落在P3处．
故选：C．
4.【答案】C；
【解析】解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、/=/，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；
D、/=/，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．
故选C．
5．【答案】C.
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC=，而AB=10cm，∴AC=×10=（5-5）cm．故选C．
6．【答案】C.
【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：y≈8cm．故选C．
二、填空题
7.【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或?.
【解析】据判定三角形相似的方法来找条件.
8．【答案】；
【解析】解：∵∠A=∠B=∠DEC，
∴∠1+∠2=∠2+∠4，
∴∠1=∠4，
又∵∠A=∠B，
∴△AED∽△BCE，
∴/=/，
∵点E为AB边中点，
∴/=/，
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△EDC，
∴△AED∽△BCE∽△EDC，
故图中有 3对相似三角形．
故答案为：3．
9．【答案】△APB∽△CPA；
【解析】解：△APB∽△CPA，
理由如下：
由题意可知：AP=/=/，PB=1，PC=5，
∴/，/，
∵∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
10．【答案】相似;
【解析】解：如图所示：∵AC=3，AB=5，DE=10，EF=8，
∴BC=/=4，DF=/=6，
∴/=/=/，
∵∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF．
故答案为：相似．
/
11.【答案】6.2或3.8．
【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．
12.【答案】6-2．
【解析】根据题意可知，BC=AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2．故答案为：6-2．
三、解答题
13.【解析】
解：在△ABC中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=79°，
在△ABC和△DEF中，/，
∴△ABC∽△DEF．
14.【解析】
解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：/．
∴△BDE∽△BAC，
∴/，
∴DE=/AC．
又∵F为中点，
∴在Rt△ADC中，DF=/AC，在Rt△ACE中，EF=/AC．
所以DE=DF=EF．
即：△DEF为等边三角形．
15.【解析】解：设经过t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似，则BP=2t，AP=8﹣2t，AQ=4t，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当/=/ 时，△APQ∽△ABC，即/=/，解得t=2（s）；
当/=/ 时，△APQ∽△ACB，即/=/，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似．