北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第15讲 相似三角形判定定理的证明(基础)（含答案）

相似三角形判定定理的证明(基础)
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.
【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则
∠ADE=∠B，∠AED=∠C,
过点D作AC的平行线，交BC与点F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
∴AE:AC=DE:CB
∴.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).
∴.
∵ ,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.
要点三、三边成比例的两个三角形相似
已知：在△ABC和△A′B′C′中， .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.
∵，AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又，AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，求证：△ADE∽△ABC．
【思路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．
【答案与解析】
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
而∠EAC=∠DAB，
∴△AEC∽△ADB，
∴=，
∴=，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．
举一反三
【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD?CD=AC?CE.
【答案】
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE， ∴△ABD∽△DCE，∴，∴BD?CD=AB?CE，即BD?CD=AC?CE；
2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．
【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．
【答案与解析】
证明：∵HD⊥AB于D，
∴∠ADH=90°，
∴∠A+∠AHD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠E+∠AHD=90°，
∴∠A=∠E，
∵∠ADH=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△EBD．
【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
举一反三
【变式】（2018?随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
　 A．∠AED=∠B B． ∠ADE=∠C C． = D． =
【答案 】D；
提示：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当=时，△ABC∽△AED．
故选D．

4、（2018秋?揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
【答案与解析】解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴=，
∴则==+1①
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴= 代入①
=+1，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键．
举一反三
【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=　　°，BC=　 ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；
（2）相似；
∵BC=，EC==；
∴，；
∴；
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
类型三、三边成比例的两个三角形相似
5、已知：正方形的边长为1
（1）如图①，可以算出正方形的对角线为　　，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？
（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
【答案与解析】
解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，
第二个图形中，对角线长==，
第三个图形中，对角线长=，
所以第n个图形中，对角线长=；
（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，
在△BED中，BE=，BD=2，ED=，
所以，
∴△BCE∽△BED；
（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.
【巩固练习】
一、选择题1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（　　）
A ∠BAD=∠CAE B ∠B=∠D C D
2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）
A．一定相似 B． 当E是AC中点时相似 C． 不一定相似 D． 无法判断
3．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（　　）
　 A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
4. （2018?荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
　 A．∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =
5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A B C D
6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题
7.（2018春?工业园区期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中
（1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）AC2=AP?AB；（4）AB?CP=AP?CB，
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有　 　（填序号）．
8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：　 　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC　 　△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为　 　，可证明△AOB∽△DOC．
11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　　．
12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有　　对相似三角形．（不添加任何辅助线）

三、解答题
13.（2018秋?射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，
（1）求证：AC2=CE?CF；
（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．

14．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．

15．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】由题意得，∠C=∠E，
A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、若添加=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、若添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选D．
2.【答案】A.
【解析】连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
故选A．
3.【答案】C；
【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，
∵DE=CE，FC=BC，
∴DE：CF=AD：EC=2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，
∴AE：EF=AD：DE，
即AD：AE=DE：EF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠D=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选C．
4.【答案】D.
【解析】A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
5.【答案】B；
【解析】根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
6.【答案】C；
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选C．
二、填空题
7.【答案】 （1）、（2）、（3）.
【解析】∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；
当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；
当=，即AC2=AP?AB时，△ACP∽△APC，所以（3）正确，（4）错误．
故答案为：（1），（2）（3）．
8．【答案】∠C=∠2或∠B=∠1或；
9．【答案】一定相似；
【解析】根据图示知：
AB=2，BC=1，AC=；
DE=2，EF=，DF=5，
∴====，
∴△ABC∽△DEF．
故答案是：一定相似．
10．【答案】∠AOB=∠DOC;
【解析】∵=，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB=∠DOC．
11．【答案】①②;
【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=DC．
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，
∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO
=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD，
∵∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
故答案为：①②．

12．【答案】3
【解析】在△ABC与△DBA中，
∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
在△ABF与△CBE中，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
又∠BAF=∠BCE，
∴△ABF∽△CBE．
同理可证得：△ABE∽△DBF，
所以图形中共有3对相似三角形．
故答案为：3．
三、解答题
13.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CFA=∠BAC，
∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAF∽△CEA，
∴=，
∴CA2=CE?CF；
（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴CA2=CB×CD，
同理可得：CA2=CF×CE，
∴CD?BC=CF?CE，
∴=，
∵∠DCF=∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴∠CFD=∠B，
∵∠B=38°，
∴∠CFD=38°．
14.【解析】
（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵==3，
∴△ABD∽△CAE；
（2）连接BC，
∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，
∴BC=2a．
15.【解析】
（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD﹣DF=CD﹣CE．
∴AF=DE．
在△ABF与△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）．
（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠FBA=∠EAD．
∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠AFM．
∴△ABM∽△FAM．
同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．