北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 相似三角形的性质及应用(基础)（含答案）

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）

【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.　　/
要点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
要点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
/∽/，则/
由比例性质可得： /
/
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
/∽/，则/分别作出/与/的高/和/，则/
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【典型例题】
类型一、相似三角形的应用
/1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？　　　　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　　 /
【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？　　 ∵AB⊥BC，CD⊥BC,　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°.　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC,　　　　∴△AOB∽△DOC.　　　　∴/.　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,　　　　∴AB=85m.　　 即河宽为85m．
【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比 相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
/2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．　　/【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.
【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE . (2)由(1)得△ABC∽△ADE, ∴/. ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， ∴/. ∴DE=16m, 即古塔的高度为16m.
【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.
举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？
【答案】
　

如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,
根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，
∠BAP=∠DCP=90°，
∴ △ABP∽△CDP,
∴/,
即/,
∴DC=6.3米.
即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.
类型二、相似三角形的性质
/3. （2019?随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
/
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【思路点拨】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到/=/，/=/=/，结合图形得到/=/，得到答案．
【答案】B．
【解析】
解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴/=/，
∵DE∥AC，
∴/=/=/，
∴/=/，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
举一反三
【变式】（2018?铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
/
　 A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1
【答案】B．
提示：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=1=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
/4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.　　　　　　　　/
【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.
【答案与解析】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴ △AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，
∴ AD⊥EH，MD=EF.∵ 矩形两邻边之比为1：2，
设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得/，∴ /，
∴ /，
∴/.∴ EF=6cm，EH=12cm..∴/.
【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
举一反三：
【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.　　　　∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2　　　　且/，/，　　　　∴/，　　　　∴/.
相似三角形的性质及应用--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018?酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
/
　 A．/ B． / C． / D．/
2. （2019?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（　　）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．
A．24米　 B．54米 　　C．24米或54米 　D．36米或54米
4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).
?A．3 　　　B．7 　　　C．12 　　　D．15?　　　　　　　/
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）.
　 A．6米 　　 B．8米 　 　 C．18米 　 　D．24米
6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（　　）倍.
　A.2　　 B.4　 　 C.2/　 　D.64
二、填空题/
7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m． /
8. 已知两个相似三角形的相似比为/，面积之差为25/，则较大三角形的面积为______/.?9．（2018?吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　 　m．
/
10. （2019?徐州）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为　 　．
/
11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则/________________.
/
12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的/倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？
/
14.（2018?蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
/
15. 在正方形/中，/是/上一动点，(与/不重合)，使/为直角，/交正方形一边所在直线于点/.(1)找出与/相似的三角形.(2)当/位于/的中点时，与/相似的三角形周长为/，则/的周长为多少？ /
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D．
【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，
∴/=/，∴S△DOE：S△AOC=/=/，
故选D．
2.【答案】D．
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2.
3．【答案】C.
4．【答案】B.
5．【答案】B.
【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．
6．【答案】C．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
二．填空题
7．【答案】3.
8．【答案】45cm2.
9．【答案】12．
10.【答案】1：4．
【解析】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=/BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴/=（/）2=/.
11.【答案】4:10:25
【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴/∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴/∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴//
12．【答案】/.
三.综合题
13．【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，
∵ 长为1m的竹竿影长0.9m
∴ /
即 x＝4.2m
/
14．【解析】解：如图，
∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴/；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴/；
∴AB=12.8
答：大楼AB的高为12.8米．
15．【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则/
∵ △PDE∽△BCP
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则/，
∵ △PCE∽△BCP
∴ △PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴ /
∵ △BPE∽△BCP
∴ △BPE与△BCP的周长比是/:2，
∴ △BCP的周长是/．
/