《应用二元一次方程组——增收节支》培优练习
1. 已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包平分给23名学生，最后剩三片，若将此10包平分给23名学生，则最后剩的片数是多少？（用二元一次方程解）
2. 现有5元、2元、1元纸币共有30张（每种都有），面值共100元，试求5元、2元、1元纸币各多少张？
3. 小明参加了四次测验，他的平均分数是低于90分的整数，他又参加了第五次测验，测验后他的平均成绩提高到90分，则小明前四次测验的平均分及他第五次测验的分数各是多少（满分为100分）？
4. 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数字的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数．
5. 为举行名为《经济与环境的关系》的辩论赛，学校购买了一些奖品，已知每支钢笔a元，每本日记本b元，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可购买50份奖品．若用这笔经费全部用来购买钢笔或全部用来购买日记本，能各买多少？
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：最后剩的片数是7片．
解析：解答：设这包饼干有y片，
则y=23x+3（x是大于0的整数），
而10y=230x+30，
30÷23=1（片）…7（片），
故最后剩7片．
答：最后剩的片数是7片．
分析：若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片，则这包饼干有y=23x+3（x是大于0的整数），将此10包饼干平分给23名学生，若每一包饼干还分相同的片数，则可知10包饼干最少剩30片，再平分给23名学生，可求得最少剩的片数．
2. 解：
答案：1元纸币有11张，2元纸币有2张，5元纸币有17张，或1元纸币有8张，2元纸币有6张，5元纸币有16张，或1元纸币有5张，2元纸币有10张，5元纸币有15张，或1元纸币有2张，2元纸币有14张，5元纸币有14张．
解析：解答：设1元纸币有x张，2元纸币有y张，则5元纸币有30-x-y张，
则x+2y+5×（30-x-y）=100，
整理得：150-4x-3y=100，
那么，
∵x是正数，
∴50-3y只能是4的倍数的正整数，
那么y=2，6，10，14时，对应的x为11，8，5，2，
答：1元纸币有11张，2元纸币有2张，5元纸币有17张，或1元纸币有8张，2元纸币有6张，5元纸币有16张，或1元纸币有5张，2元纸币有10张，5元纸币有15张，或1元纸币有2张，2元纸币有14张，5元纸币有14张．
分析：设1元纸币有x张，2元纸币有y张，则5元纸币有30-x-y张，根据面值共100元列方程式即可解题．
3.解：
答案：小明前四次测验的平均分是88分，第5次测验的分数是99分．
解析：解答：设原平均分为x，则第五次分数为90×5-4x，
又因为x＜90，所以把x=89，88，87，…，代入计算第五次的分数，
易发现，当x=89时，第五次分数为94，当x=88时，第五次分数为98，
而当x=87时，第五次分数为102＞100，已知五次测验的满分都是100分，
故后面的数都不用代了，都是不符合条件的，所以，小明前四次测验的平均分是89分，第5次测验的分数是94分，或者小明前四次测验的平均分是88分，第5次测验的分数是99分．
分析：根据已知，可设原平均分为x，表示出第五次得分数，再由x＜90，取x=89，88，87，…计算第五次得分，通过计算和五次测验的满分都是100分确定第五次得分．
4. 解：
答案：243．
解析：解答：设百位数为x；个位数为y；则十位数=x+y-1，
100x+10（x+y-1）+y=27（x+y+x+y-1）（1）
100y+10（x+y-1）+x=100x+10（x+y-1）+y+99 （2）
由（2）得：
99x-99y+99=0
x-y+1=0
y=x+1（3），
代入（1）得：
100x+20x+x+1=27（2x+2x+2-1），
解得：x=2，
故y=3，
所以x+y-1=4，
所以这个三位数为243．
分析：由题意设十位上的数为x，根据新数减去原数等于99建立方程求解．
5. 解：
答案：用这笔经费全部用来购买钢笔100支钢笔或300本日记本．
解析：解答：设购买钢笔每支x元，日记本每本y元，
依题意可得：60（x+2y）=50（x+3y），得x=3y．
所以这笔经费全部用来购买钢笔可买：（支）；
全部用来购买日记本可买：（本）．
答：用这笔经费全部用来购买钢笔100支钢笔或300本日记本．
分析：本题中的等量关系为：（一支钢笔的价格+2本日记本的价格）×60=（一支钢笔的价格+3本日记本的价格）×30；根据等量关系列出方程式，解得钢笔价格与日记本价格的等量关系．
《应用二元一次方程组——增收节支》基础练习
1. 已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
2. 为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3. 为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4. 周末，某团体组织公益活动，16名成员分甲、乙、丙三组到48个单位做宣传，若甲组a人每人负责4个单位，乙组b人每人负责3个单位，丙组每人负责1个单位，则分组方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5. 小明同学到文具店为班级购买圆珠笔和本子，圆珠笔每支0.8元，本子每个1.2元，小明带了10元钱，则可供其选择的购买方案的个数为（两样都必需购买，并把钱用完）（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6. 受尼泊尔地震影响，西藏定日县陈卓布德村已经成为一片废墟，为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则搭建方案共有（ ）
A．8种 B．9种 C．16种 D．17种
7. 小明在商店购买了A，B，C三种商品，恰好用去了150元，其中A，B，C三种商品的单价分别为50元、30元、10元，要求每种商品至少买一件，且A商品最多买两件，则小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8. 假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9. 四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A．4种 B．11种 C．6种 D．9种
10. 小明购买文具一共要付32元，小明钱包里只有2元和5元两种面值若干张钱，他一共有几种不同的付款方案（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
11.七年级部分学生在小会议室开会，若每排座位坐10人，则有2人无处坐；如果每排座位坐11人，则最后一排空3个座儿，则参加会议的学生人数是（ ）
A．52 B．62 C．5 D．6
12. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
13. 一个两位数，十位数字与个位数字和为6，这样的两位数中，是正整数的有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．无数个
14. 王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，钱恰好花完）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
15. 有一个两位数，它的十位数字和个位数字的和为6，则这样的两位数有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：D
解析：解答：设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，
∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，
∴1016-x+y=1028-3x+3y，
整理得：x-y=6，
开学时乙校的人数为：1028-3x+3y=1028-3（x-y）=1028-18=1010（人），
∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028-1010=18（人），
故选：D．
分析：根据题意，分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可得方程1016-x+y=1028-3x+3y，整理得：x-y=6，所以开学时乙校的人数为：1028-3x+3y=1028-3（x-y）=1028-18=1010（人），即可解答．
2. 解：
答案：C
解析：解答：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：
5x+6y=40，
当x=1，则y=（不合题意）；
当x=2，则y=5；
当x=3，则y=（不合题意）；
当x=4，则y=（不合题意）；
当x=5，则y=（不合题意）；
当x=6，则y=（不合题意）；
当x=7，则y=（不合题意）；
当x=8，则y=0；
故有2种分组方案．
故选：C．
分析：根据题意设5人一组的有x个，6人一组的有y个，利用把班级里40名学生分成若干小组，进而得出等式求出即可．
3. 解：
答案：B
解析：解答：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：
3x+5y=35，
y=7-x，
∵x、y都是正整数，
∴x=5时，y=4；
x=10时，y=1；
∴购买方案有2种．
故选B．
分析：设毽子能买x个，跳绳能买y根，依据“某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元”列出方程，并解答．
4. 解：
答案：A
解析：解答：设甲组有x人，乙组有y人，则丙组有（16-x-y）人，则
4x+3y+（16-x-y）=48，
3x+2y=32，
∵x，y，z是正整数，
∴当x=2时，y=13，16-x-y=1，符合题意；
当x=4时，y=10，16-x-y=2，符合题意；
当x=6时，y=7，16-x-y=3，符合题意；
当x=8时，y=4，16-x-y=4，符合题意；
当x=10时，y=1，16-x-y=5，符合题意．
故分组方案有5种．
故选：A．
分析：可设甲组有x人，乙组有y人，则丙组有（16-x-y）人，根据选派16名成员分三组到48个单位可列方程，再根据每组人数为正整数求解即可．
5. 解：
答案：D
解析：解；设购买x支圆珠笔，y本本子，根据题意得出：
0.8x+1.2y=10，
整理得：2x+3y=25，
当x=2时，y=7；
当x=5时，y=5；
当x=8时，y=3；
当x=11时，y=1；
综上所述，共有4种购买方案．
故选：D．
分析：设购买购买x支圆珠笔，y本本子，根据题意得出：0.8x+1.2y=10，进而求出即可．
6. 解：
答案：A
解析：解答：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，
依题意，有：6x+4y=100，整理得y=25-1.5x，
因为x、y均为非负整数，所以25-1.5x≥0，解得0≤x≤16，
从0到16的偶数共有9个，
所以x的取值共有9种可能，由于需同时搭建两种帐篷，x不能为0（舍去）
即共有8种搭建方案．
故选A．
分析：可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶．根据两种帐篷容纳的总人数为100人，可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值．根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案．
7. 解：
答案：B
解析：解答：设B种商品买a件，C种商品买b件．
第一种情况：商品A买1件，则
50+30a+10b=150，即3a+b=10．
因为a、b都是正整数，
所以当a=1时，b=7；
当a=2时，b=4；
当a=3时，b=1；
第二种情况：商品A买2件．则
50×2+30a+10b=150，即3a+b=5．
因为a、b都是正整数，
所以当a=1时，b=2；
综上所述，购买方案是共有4种．
故选：B．
分析：需要分类讨论：商品A买1件和商品A买2件两种情况．设B种商品买a件，C种商品买b件，则根据“购买A，B，C三种商品恰好用去150元”列出方程并解答．
8. 解：
答案：A
解析：解答：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，
3x+2y=17，
因为，2y是偶数，17是奇数，
所以，3x只能是奇数，即x必须是奇数，
当x=1时，y=7，
当x=3时，y=4，
当x=5时，y=1，
综合以上得知，第一种是：1间住3人的，7间住2人的，
第二种是：3间住3人的，4间住2人的，
第三种是：5间住3人的，1间住2人的，
所以有3种不同的安排．
故选A．
分析：设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是17人，列出不定方程，解答即可．
9. 解：
答案：C
解析：解答：设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，
根据题意得：6x+4y=60，即，
当x=0时，y=15；
当x=2时，y=12；
当x=4时，y=9；
当x=6，y=6；
当x=8时，y=3；
当x=10时，y=0；
则不同的搭建方案有6种．
故选：C．
分析：设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
10. 解：
答案：A
解析：解答：设付出2元钱的张数为x，付出5元钱的张数为y，且x，y的取值均为自然数，
依题意可得方程：2x+5y=32．
则，
解不等式组，
解得：0≤y≤．
又∵y是整数．
∴y=0或1或2或3或4或5或6．
又∵x是整数．
∴y=1或3或5．
从而此方程的解为：共有3种不同的付款方案．
故选：A．
分析：根据题意可列出一个整式方程，但要分情况讨论结果要符合“只有2元和5元两种面值的人民币”和“无需找零钱”两个条件，注意不要漏解．
11. 解：
答案：A
解析：解答：设参加会议的学生人数为x人，有y排座位，根据题意可得：
解得：，
故选：A．
分析：设参加会议的学生人数为x人，有y排座位，利用总人数不变得出等式求出即可．
12. 解：
答案：B
解析：解答：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，
根据题意得：x+y=5，
当x=1时，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1；x=0，y=5；
则符合条件的两位数有5个，
故选B
分析：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，确定出关于x与y的二元一次方程，找出方程的正整数解个数即可．
13. 解：
答案：A
解析：解答：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：
x+y=6，
∵xy都是整数，
∴当x=0时，y=6，两位数为60；
当x=1时，y=5，两位数为51；
当x=2时，y=4，两位数为42；
当x=3时，y=3，两位数为33；
当x=4时，y=2，两位数为24；
当x=5时，y=1，两位数为15；
则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，
故选：A．
分析：可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为6，且xy为整数，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解．
14. 解：
答案：C
解析：解；设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：
0.8x+1.2y=20，
整理得：2x+3y=50，
当x=1时，y=16；
当x=4时，y=14；
当x=7时，y=12；?
当x=10时，y=10；
当x=13时，y=8；
当x=16时，y=6；
当x=19时，y=4；
当x=22时，y=2．
综上所述，共有8种购买方案．
故选：C．
分析：设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：0.8x+1.2y=20，进而求出即可．
15. 解：
答案：C
解析：解答：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：
x+y=6，
∵xy都是整数，
∴当x=0时，y=6，两位数为60；
当x=1时，y=5，两位数为51；
当x=2时，y=4，两位数为42；
当x=3时，y=3，两位数为33；
当x=4时，y=2，两位数为24；
当x=5时，y=1，两位数为15；
则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，
故选：C．
分析：可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为6，且xy为整数，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解．
《应用二元一次方程组——增收节支》提高练习
1.七年级部分学生在小会议室开会，若每排座位坐10人，则有2人无处坐；如果每排座位坐11人，则最后一排空3个座儿，则参加会议的学生人数是（ ）
A．52 B．62 C．5 D．6
2. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3. 一个两位数，十位数字与个位数字和为6，这样的两位数中，是正整数的有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．无数个
4. 王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，钱恰好花完）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5. 有一个两位数，它的十位数字和个位数字的和为6，则这样的两位数有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 甲、乙两人到某特价商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有10元和12元两种．若两人购买商品一共花费了134元，则两人购买的商品单价为12元的商品有 件．
7. 一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了 道题．
8. 小明郊游，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4千米，爬山时每小时走3千米，下山时每小时走6千米，小明从下车到山顶走了 千米（途中休息时间不计）．
9. 小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐．据了解餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐桌刚好坐满，则订餐方案共有 种．
10. 一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有 名．
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：A
解析：解答：设参加会议的学生人数为x人，有y排座位，根据题意可得：
解得：，
故选：A．
分析：设参加会议的学生人数为x人，有y排座位，利用总人数不变得出等式求出即可．
2. 解：
答案：B
解析：解答：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，
根据题意得：x+y=5，
当x=1时，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1；x=0，y=5；
则符合条件的两位数有5个，
故选B
分析：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，确定出关于x与y的二元一次方程，找出方程的正整数解个数即可．
3. 解： 答案：A
解析：解答：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：
x+y=6，
∵xy都是整数，
∴当x=0时，y=6，两位数为60；
当x=1时，y=5，两位数为51；
当x=2时，y=4，两位数为42；
当x=3时，y=3，两位数为33；
当x=4时，y=2，两位数为24；
当x=5时，y=1，两位数为15；
则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，
故选：A．
分析：可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为6，且xy为整数，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解．
4. 解： 答案：C
解析：解；设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：
0.8x+1.2y=20，
整理得：2x+3y=50，
当x=1时，y=16；
当x=4时，y=14；
当x=7时，y=12；?
当x=10时，y=10；
当x=13时，y=8；
当x=16时，y=6；
当x=19时，y=4；
当x=22时，y=2．
综上所述，共有8种购买方案．
故选：C．
分析：设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：0.8x+1.2y=20，进而求出即可．
5. 解：
答案：C
解析：解答：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：
x+y=6，
∵xy都是整数，
∴当x=0时，y=6，两位数为60；
当x=1时，y=5，两位数为51；
当x=2时，y=4，两位数为42；
当x=3时，y=3，两位数为33；
当x=4时，y=2，两位数为24；
当x=5时，y=1，两位数为15；
则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，
故选：C．
分析：可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为6，且xy为整数，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解．
6. 解：
答案：4
解析：解答：设单价10的元商品共买了x件，单价12元商品买了y件，依题意得，
解得或，
∵两人购买商品的件数相同，
∴x、y都必是偶数，
∴．
即：单价10的元商品共买了8件，单价12元商品买了4件．
故答案是：4．
分析：设单价10的元商品共买了x件，单价12元商品买了y件，根据总价钱的关系式找到x与y的和为偶数的正数即可．
7. 解：
答案：5
解析：解答：设答对x道题，答错了y道题，根据题意可得：，
解得：，
故他答错了5道题．
故答案为：5．
分析：设答对x道题，答错了y道题，根据对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，总分为65分和有20题选择题可分别列等式求解．
8. 解： 答案：20
解析：解解答：设平路有xkm，山路有ykm．
则
解得x+y=10，
∴2（x+y）=20．
故答案是：20．
分析：本题是求小明从上午到下午一共走的路程，也就是山路和平路往返各一次．在这些路程里有山路，有平路，都是未知的，所以要设它们未知数．本题只包含一个等量关系：走山路时间+走平路时间=2+12-9．（走山路时间包括上山所用时间和下山所用时间，走平路时间包括往返两次平路时间）．
9. 解：
答案：3
解析：解答：设10人桌x张，8人桌y张，根据题意得：10x+8y=80
∵x、y均为整数，
∴共三种方案．
故答案为：3．
分析：根据题意列出二元一次方程，根据方程的解为整数讨论得到订餐方案即可．
10. 解：
答案：200
解析：解答：设军官有x人，士兵y人．根据题意，得，
解得．
答：军官有200名．
分析：设军官有x人，士兵y人．根据共有1000人，得方程x+y=1000；根据共有1000尺布，得方程，联立解方程组即可．
