最新解三角形专题整理
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解三角形专题
三角形共有9个要素，三个顶点，三条边，三个角
? ?? ?基础
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
01 2
sin sin sin
02 cos , = 2 cos
2
1
03 sin
2
04 sin sin ,cos cos , tan tan
ABC
b a c
k R ABC
B A C
a c b
B b a c ac B
ac
S ac B
B A C B A C B A C
?
= = = = ?
+ ?
= + ?
=
= + = ? + = ? +
外接圆半径
? ?加强
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2 2 2
05 : : sin : sin : sin ;
06 sin sin sin 2sin sin cos ;
1 1
07 sin ;
4 2 2 2 4
1
;
2
1
sin sin sin ;
8
08 tan tan tan tan tan tan ;
: tan tan ta
ABC ABC
ABC
ABC
a b c A B C
B A C A C B
abc b abc
S S ac B ac
R R R
S a b c r r
S a b c A B C
A B C A B C
A B
? ?
?
?
=
= + ?
? ?
= = = ? =? ?
? ?
= + +
=
+ + =
+ +
为内切圆半径
证 ( ) ( )( )n tan tan 1 tan tan
tan tan tan
C B C B C B C
A B C
= ? + + + ?
=
? ?? ?特殊
( ) ( )
( )
2 2 2109 cos
2
10 , , ,
2 2sin sin sin 2sin cos
2 2
1
2cos cos tan tan
2 2 2 2 3
: 2sin sin sin
2sin cos ;
2 2
sin sin sin
2 2 2 2 2
BA BC ac B a c b
ABC a b c
B A C
b a c B A C
A C A C A C
B A C
B B
LHS
A C A C A C A C A C
RHS
? = = + ?
?
?
= + ? = + ? =
+ ?
? = ? =
= +
=
+ ? + ? +? ? ? ?
= + + ? =? ? ? ?
? ? ? ?
成等差数列
证
cos cos cos ;
2 2 2
2sin cos .
2 2
A C B A C
B A C
? ?
=
?
? =
解三角形专题
? ? :问题类型
( )
( )
( )
( )
( )
01 :
02 :
03 :
04 : ;
05 :
边长,角度数值计算问题;
三角形形状判断问题;
边长,角度等范围最值问题;
实际问题中高度,长度等表达式问题
三角形唯一性等问题；
解三角形专题
第 001题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题
在 ABC? 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且
3
A
?
= ， 2a = .
( )1 求 ABC? 的周长的取值范围；
( )2 求 2 2b c+ 的取值范围.
( )
( )
( ?
( ?
( ) ( )2 2 2 2 2
2 2
2
1 : sin , sin ,
3
sin sin 4sin
6
2 5
0,
2 sin s
2 4 3
:
sin sin
, , , : 2, 4
3 6 6 6
2, 4,6 .
si
in
2
s
n 3
in ( ) sin
3
3
2
:
ABC
b k B c k C B C
b c k B C C
b c k B
b c a
k
B
C
C C b c
a
k C
C
A
a b
C
c
?
?
? ? ? ?
?
?
+
= = = ?
? ?
? + = + = +? ?
? ?
? ? ? ?
? + ?
=
+ ?? ? ? ?
? ? ? ?
=
?
= +
??
+
= +
= ? +
= = =
?
=
?
正弦定理
易得
析
得 则
解
由 有
又 则
( ?
2
2
2 2 2
1
1 sin 2
2 6
2 7 1 1 1
0, , 2 , , sin 2 ,
3 6 6 6 2 6 4 2
1 3 3
1 sin 2 ,
2 6 4 2
16
, 4,8 .
3
C
k C
C C C
C
k b c
?
? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
= + ?? ?? ?
? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? + ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
= + ?
由 得 则
又 则
类型题:
在 ABC? 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .
( )1 已知 ?=120A ，求 CB sinsin + 的最大值；
( )2 已知 3=a ， ?= 60A ，求bc的最大值；
( )3 已知 222 2cba =+ ，求 Ccos 的最小值；
( )4 已知 CBA sin2sin2sin =+ ，求 Ccos 的最小值.
解三角形专题
第 002题 边长与数列，内角与向量，函数与方程
已知在 ABC? 中，三边长 , ,a b c依次成等差数列．
( )1 若sin :sin 3:5A B = ，求三个内角中最大角的度数；
( )2 若 1b = 且 ( )
22BA BC b a c? = ? ? ，求 ABC? 的面积．
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
1 , , , 2
sin : sin 3:5, : 3 : 5
3 , 5 , 7
1 2
cos , ;
2 1
: cos 2 cos
, 2
, c
2
os
:
2 2 3
a b c b a c
A B a b
a
a b c
C c
b a c
BA BC b a c ac B b a
a b ab
k b k c k C
a b c
C C
C
a
c
b c
a
b
b
a
?
+
= + =
? = ? ? = ? ?
=
?
= = +
+
= +
= =
= =
? ??
=
+ ?
= = ? =
?
?
?
由 依次成等差数列 得
又 则
令 则 即 最大
由 得
又
解
角为
余弦定理
得
由
由 得
析
2 9
2 cos , cos ,
3 10
5 1 3 5
sin sin .
3 2 20
ABC
ac B B ac
B S ac B
= =
? = = =
得
即
第 003题 倍角公式、余弦和角公式、诱导公式、面积公式、余弦定理
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
24sin 4sin sin 2 2
2
A B
A B
?
+ = + .
( )1 求角C的大小；
( )2 已知 4b = ， ABC? 的面积为6，求边长 c的值．
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
1 4sin 4sin sin 2 2 2 1 cos 4sin sin 2 2
2
2cos cos 2sin sin 2
2
cos
1
2 sin , 6, 4, , 3 2
2 4
2 cos ,
2
3
.
1 .
4 4
0
:
ABC ABC
A B
A B A B A B
A B A B
A B
A B C
S ab C S b C a
c a b ab C c
?
? ?
? ?= = = = =
?
+ = + ? ? + = +? ??
?
?
?? + =
? + = ?
? + =
=
=
+ ?
?? ?
=
由 及 得
又
解
则
析
即
即
解三角形专题
第 004题 正弦定理、余弦定理、函数方程与不等式
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,角 B 为锐角，且
22sin sin sinA C B= ，则
a c
b
+
的取值范围为（ ）
( ) ( ) 1 3 2 3. 1, 3 . 2, 3 . , . ,
2 2 2 2
A B C D
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2sin sin sin 2
cos , , 0,1
2 2
4
2 0,1 2,3
2
2, 3 .
:
A C B ac b
a c b a c b
B B
ac ac
a c ac a c a c
ac b b
a c
b
= =
+ ? + ?
= ?
+ ? + +
? = ? ? ?
+
? ?
? ?? ?
由 及正弦定理,得:
又 且 为锐角则:
即
解析
第 005题 2018届高三广东省惠州市第二次调研考试文数 17题
已知 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c， ( )2cos cos cos 0C a C c A b+ + = .
( )1 求角C的大小； ( )2 若 2b = ， 2 3c = ，求 ABC? 的面积.
? ? ( ) ( ): 1 120 ; 2 3.C S= ? =答案
第 006题 2018届高三上期广雅中学、东华中学、河南名校联考理(文)数 17题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
cos 3 sin
1
2 2
C c A
a
? ?
+ =? ?
? ?
.
( )1 求C； ( )2 若 6c = ，求 ABC? 的面积 S 取到最大值时 a的值.
? ? ( ) ( ) ( )2 3: 1 ; 2 2 .
3 2
C S a b
?
= ? = =答案
第 007题 2018届高三广东省华南师范大学附属中学上期第一次月考理数 17题
已知函数 ( ) 23sin 2 2cos 1,f x x x x R= ? ? ? .
( )1 求函数 ( )f x 的最小正周期和最小值;
( )2 在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 ( )3, 0c f C= = ,
sin 2sinB A= ，求 ,a b的值.
解三角形专题
? ? ( ) ( ) ( )
min
: 1 , 4; 2 1, 2.T f x a b?= = ? = =答案
第 008题 2018届高三山西省太原五中 10月月考文数 18题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 sin cos 3a C c A= = .
( )1 求 c； ( )2 若 ABC? 的面积为
9
2
，求 a .
? ? ( ) ( ): 1 6; 2 15.c a= =答案
第 009题 2018届高三山西省太原五中 10月月考理数 19题
已知 ABC? 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c，且 2A C= .
( )1 若 3a c= ，求角C的大小；
( )2 若 , , ,C B A c b a? ? 是三个连续的正整数，求 ABC? 的面积.
? ? ( ) ( )
15 7
: 1 ; 2 .
6 4
C S
?
= =答案
第 010题 2018届高三四川省绵阳市第一次诊断性测试文数 19题
已知 ABC? 中，
2
3
B
?
? = ，D是边BC上一点，且 2 3AD = ， 2BD = .
( )1 求 ADC? 的大小；
( )2 若 2 13AC = ，求 ABC? 的面积.
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 , cos 2 3, 2,
2 3
2 8 0 2
3
:
cos
2 2
5
;
5
2 , cos , =2 13,
2 6
6 40 0
6
4
6
6
ABC
BD AB AD
ABD B AD BD B
BD AB
AB AB AB
AD DB AB
ADB
AD DB
ADB ADC
AD DC AC
ADC ADC ADC AC
AD DC
DC DC DC
BC
S
?
? ?
?
?
+ ?
? = = = =
?
+ ?
+ ?
? ? = ? =
?
+
= =
+ ?
? =
? ??
? ? = =
?
?? =
=
? =
?
?
?
=
在 中由 及 得
即
解
在
即
即
析
中由 及 ,得
1
sin 3 3.
2
AB BC B= ? =
解三角形专题
第 011题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考文数 15题
在 ABC? 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知
1
8, 2,cos
4
a b c A= ? = = ? ，
则 ABC? 的面积为 _________.
( )
2 22 2 2 2
cos , cos
2 2
1 15
8, 2,cos , : 24,sin
4 4
1
sin 3 15.
2
:
ABC
b c bc ab c a
A A
bc bc
a b c A bc A
S bc A?
? + ?+ ?
= =
= ? = = ? =
?
=
? ?
=
?
?
=
解
由 得
又 则有
析
第 012题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考理数 16题
在斜三角形 ABC 中， D 为 BC 的中点，且 90BAD C? +? = ?，则
B
C
?
?
的值是
_________.
( )
: ,
2 2
, ;
sin sin sin
, ;
sin sin sin
sin sin sin cos
sin sin sin cos
sin 2 sin 2
: , 1;
: 2 2 , ,
2
:
:
:
x c a
ABD
x b a
ADC
B
i ABC
C
ii ABC
AE
? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ? ?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
? =
?
= ? =
?
+ = + = ?
? ?? ?
方法一:
由题意可得
在 中
在 中
即
为等腰三角形,
为直角三角形 与题意不符舍去 .
方法二
如图所示
解析
为
( )
: , , 1
: , 90 ,
ABC
B
i D O AE BC ABC
C
ii D O BC ABC BAC ABC
?
?
⊥ ? =
?
? ? = ? ?
的直径;
与 不重合 则 为等腰三角形, ；
与 重合 则 为 的直径, 为直角三角形
与题意不符舍去 ；
解三角形专题
第 013题 2018届高三湖南省长郡中学上期第三次月考理数 18题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 2,
3
c C
?
= = .
( )1 当 ( )2sin 2 sin 2 sinA B C C+ + = 时,求 ABC? 的面积；
( )2 求 ABC? 周长的最大值.
( ) ( )
2 2 2
1 2sin 2 sin 2 sin ,
4sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin
2sin cos sin cos
4 3 2 3 1 2 3
: cos 0, , , , sin ;
2 3 3 2 3
: cos 0,2sin sin ,2 ,
2 3 4
2 cos , 2, , ,
3 3
:
ABC
A B C C
A A B A B A A B A B
A A B A
i A A a b S ab C
ii A A B a b
c a b ab C c C a b
?
?
?
+ + =
? + = +
? =
= = = = = =
? = =
= +
?
? = =
?
= =
??
由 得
解析
( )
( )
( )
max
2 2 2 2 2
3
,
3
1 2 3 2 3
sin , : .
2 3 3
2 :
sin , sin , sin sin sin
sin sin sin
5
sin sin 3 sin , ,
6 6 6 6
6 , .
3
: 2 cos 4
4
ABC ABC
ABC
ABC
S ab C S
c c c
a A b B C a b c A B C
C C C
A B A A
C A
c a b ab C a b ab
? ? ? ?
?
? ?
?
?
= = =
= = = + + = + +
? ? ? ?
+ = + + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? = =? ?
? ?
= + ? ? = + ?
=
由 得
方法一
周长取得最大值
方法二
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 22 2
max
3 1
3
4 4
4
6 2 , .ABC
a b ab a b ab a b a b a b
a b
C a b?
+ ? = + ? ? + ? + = +
+ ?
= = =
即
当 时 周长取得最大值
解三角形专题
第 014题 2018届高三江苏省苏州市上学期期中考试数学 12题
设 ABC? 的内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，D 为 AB 的中点，若
cos sinb a C c A= + 且 2CD = ，则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
cos sin , , : sin sin cos sin sin
, sin sin
cos sin sin sin
tan 1
4
1
2
, 2, : cos
1
2
2
8
2 2 4 8 4 8 2 2 2
4
:
2 2
1 2
sin
2
ABC
b a C c A B A C C A
B A C B A C
A C C A
A A
b c CD
ADC CD A
b c
bc b c bc bc
S bc A
?
?
?
= + = +
= ? + = +
? =
? = =
? ?
+ ?? ?
? ?
? = =
?
= + ? ? ? ? = +
?
= =
? ?? ?
?
由 及正弦定理 得
又 则
即
在 中 由余弦定理
即
解
得
析
2 1.
4
bc ? +
第 015题 2018届高三河北省衡水中学上学期第三次月考理数 11题
ABC? 中,若
24ac b= ,sin sin sinA C p B+ = ,且 B 为锐角,则 p 的取值范围是
（ ）
( ) ( )6 6. 1, 2 . , 2 . , 3 . 1, 3
2 2
A B C D
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( )
( )
2
2 22 2 2
2
sin sin sin , , 0
4
cos 1 2 3 0,1
2 2
6
, 2 .
:
2
A C p B a c pb p
ac b B
a c ba c b
B p
ac ac
p
+ = + = ?
=
+ ?+ ?
= = ? = ? ?
? ?
? ?? ??
? ?? ?
?
? ?
由 及正弦定理,得:
又 ,且角 为锐角,则
解析
解三角形专题
第 016题 2018届高三河南省中原名校第四次质检理数 10题
在 ABC? 中, 2 2 2 2a c b ac+ = + . 2 cos cosA C+ 的最大值是（ ）
. 1 . 2 . 3 . 4A B C D
( )
2 2 2
max
2
2 , : cos
2 4
3 3
4 4
2 cos cos
3
2 cos cos
4
2 2
2 cos cos sin
2 2
2 2
cos sin
2 2
sin
4
3
: 0, , ,
4 4 4
2 cos cos 1 ,
:
.
4
a c b ac B B
A C C A
A C
A A
A A A
A A
A
A A
A C A
?
? ?
?
?
? ? ?
?
?
+ = + = =
? + = = ?
? +
? ?
= + ?? ?
? ?
= ? +
= +
? ?
= +? ?
? ?
? ? ? ?
? + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? + = =? ?
? ?? ?
? ?
解
由 得 即
即
易知 则
原式取得最大值
析
解三角形专题
第 017题 2018届高三湖南省长郡中学上期月考四文数 11题
?ABC的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 ( )sin sin sin cos 0B A C C+ ? = ，
2, 2a c= = ，则角C =（ ）
5
. . . .
6 6 4 3
A B C D
? ? ? ?
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
sin sin sin cos 0, :
sin 0
2
2 2
2, 2, sin ,cos
4 4
sin cos 1, 4 2 3
2, 4 2 3 3 1
3
cos .
2 6
:
B A C C
a b c
b a C
ab
b b
a c C C
b b
C C b
b b b
C C
?
+ ? =
? ?+ ?
+ ? =? ?
? ?
? +
= = = =
+ = = ?
? = ?
? ??
= ?
= =
?
?
由 及正余弦定理得
又 则有
又 则
易知 则 即
即
解析
第 018题 2018届高三河南省天一大联考三理数 18题
已知?ABC中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,满足 ( )2 2 2 tana c b B+ ? =
( )2 2 23 b c a+ ? .
( )1 求角 A；
( )2 若 ABC? 的面积为
3
2
，求
( )
2 2
4 3 cos cosbc A ac B
a b
? +
?
的值.
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 1.
3
A
?
=答案
解三角形专题
第 019题 2018届高三四川省达州市一诊理数 16题
在锐角 ABC? 中， A B C、 、 成等差数列， 3AC = ，BA BC? 的取值范围是
_________.
( )2 2
2 2
1
cos 3
2
2
sin sin sin
3 1
2 sin sin sin 2
4 2 6
5
, , : 2 ,
6 2 6 6 6
3
1,
:
.
2
BA BC ac B a c
a c b
A C B
BA BC A C C
C C
BA BC
?
? ? ? ? ?
? = = + ?
= = =
? ? ? ?
? ? = + ? = + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ? ?? ?
? ?
由向量的数量积公式,及余弦定理易得解
又
由 得
析
第 020题 2017届高三江苏省连云港市三调数学 14题
已知?ABC三个内角 , ,A B C 所对的对边分别为 , ,a b c ,且
3
C
?
= , 2c = ,当
AC AB? 取得最大值时
b
a
的值为 _________. ? ? : 2 3.+答案
( )
( )
( )
2 2
2 2
max
1
cos 4
2
4
sin sin sin 3
8 4 3
2 sin sin 2 cos 2
3 3 6
2 7
0, , : 2 ,
3 6 6 6
7 4 3
2 , 2
6 12 3
12
sin
:
AC AB bc A b a
a b c
A B C
AC AB B A B
B B
B B AC AB
A
b
a
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? = = ? +
= = =
? ?
? ? = + ? = ? ?? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? = = ? = +
? =
?
?
??
=
?解析
又
由 得
当 即 时 则有：
sin
4 6
2 3.
sin
sin
4 6
B
A
? ?
? ?
? ?
+? ?
? ?
= = +
? ?
?? ?
? ?
解三角形专题
第 022题 2018届高三河南省八市 12月联考高二文数 20题
在锐角 ABC? 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 ( )
3
sin 2 cos 0.
3
C A B+ + =
( )1 求角C的值;
( )2 若 ABC? 的外接圆的半径为 2 3 ,求 ABC? 的面积的最大值.
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 9 3.
3
ABCS
?
? =答案
第 023题
已知锐角三角形 ABC中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,且
2 2 2
3
tan
cb
A
c b a
=
+ ?
.
( )1 求角 A的大小;
( )2 当 3a = 时,求 2 2c b+ 的最大值,并判断此时得形状.
第 024题 2018届高三河南省中原名校第六次质量考评理数 16题
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c,设 ABC? 的面积为 S ,若
2 2 23 2a b c= + ,
则
2 22
S
b c+
的最大值为 _________.
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 , 2 3 3 3
2 6 cos
1
sin
sin 12 tan
2 2 12 cos 12
2 14
6 cos 2 2 , : cos tan
3 2
14
'' 2 '' , .
2
:
24nax
a b c b c b c a
b c bc A
bc A
S bc A
A
b c b c bc A
bc A bc A A
S
b c
b c
= + + = + ?
? + =
? = = =
+ +
? ? ?
? ?
? = =? ?
+? ?
? ?? ?
由 得:
又 则有 即
当 时
解析
解三角形专题
第 025题 2018届高三黑龙江省哈尔滨市第三中学二模文数 9题
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c,若 2 ,cos cos cos 0B A A B C= ? ,则
sina A
b
的取值范围是（ ）
3 3 3 3 1 3 3 1
. , . , . , . ,
6 2 4 2 2 2 6 2
A B C D
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
( )
cos cos cos 0, : , , 0,
2
2
2
2 , :
6 4
2
2
3
tan ,1
3
sin sin sin 1 3 1
tan , .
2sin c
:
os 2 6 2
A B C A B C
A
B A A
A A
A
a A A A
A
b A A
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?? ?
? ?
?
???
= ? ??
? ? ? +
??
? ?
? ?? ?? ?
? ?
? ?
? = = ?? ?? ?
? ?
? ?? ?
由
则
解
得
又 有 即
析
, , 0,
2
0 ,0 ,0
2 2 2
3
2 , tan ,1
6 4 3
:
sin sin sin sin sin sin sin 1
tan
sin sin 2 2sin cos 2
sin 3 1
, .
:
6 2
A B C
A B C
B A A A A
a A A A A A A A
A
b B A A A
a A
b
?
? ? ?
? ?
? ?
?? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
= ? ? ?? ??
? ?
?
? ?
= = = =
? ?
? ?
? ?? ?
? ?
注意到此三角形为锐角三角形,则有
由 可得出角 的范围: 即
再由正弦定理容易得出
故 的取值范围是
分析
此题的关 A C键是角 的范围,易错的地方是对角 的范围运用.
解三角形专题
第 026题 2018届高三安徽省皖北协作区联考理数 16题
在?ABC中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .已知 1, 2 cosb c b a B= + = ,当 ABC?
的面积最大时, cos _________.A =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
1, 2 cos cos , 1
2
2 cos , : 2 2cos
1 1 1 2
sin 1 sin 1 2cos sin , 0,
2 2 2 3
1 2 1 33
: 1 2cos sin , 0, , ' 2 cos
2 3 8 64
:
ABC
a c b
b c b a B B a c
ac
a b c bc A a A
S bc A a A A A A
f A A A A f A A
?
?
?
+ ?
= + = = = +
= + ? = +
? ?
? = = ? = + ?? ?
? ?
? ?? ? ? ?
= + ? = + ??? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ???
由 及 可得:
由 得
构造
解
数 则:
析
函
( ) ( )
( ) ( )
33 1
cos , ' 0, ;
8
33 1
cos , ' 0, ;
8
33 1
,cos .
8
A f A f A
A f A f A
ABC A
?
??
?
? = =
? ?
= =
?
? =
取得最大值
取得最小值
故:当 的面积取得最大值时
( ) ( )
( ) ( )
3
2
:
:
: 2 cos , : sin sin 2
sin
, :
sin sin sin
1 1 sin 1 sin3 1 3sin 4sin
sin sin sin sin
2 2 sin 2 sin 2 sin
1 1
3 4sin sin 1 2cos2
2 2
ABC
ABC A
i c b a B B A B A B
b c C
c
B C B
C B B B
S bc A A A A
B B B
B A B
?
? ?? ?
?
+ = = ? =
= =
?
? = = ? ? = ? ? = ? ?
= ? ? ? = ? + ?
分析
容易分析出 的面积是关于角 的函数,注意边角的转
由 得 即
由 得
另解
换
( )
( )
( )
2
1
sin 1 2cos sin
2
: ,
1 33
2 , cos , .
8 64
A A A
ii f A
f u u u A
= ? + ?
? ?? ?
= + ? =? ?? ?
? ?? ?? ?
关于构造的函数 ,在讨论其单调性时可看成二次函数模型,
需要注意复合函数这一点
解三角形专题
第 027题 2018届高三河北省衡水中学十五模文数 16题
在锐角 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,已知 3a = , ( )2 2 3 tanb c A+ ? =
3bc , ( )22cos 2 1 cos
2
A B
C
+
= ? ,则 ABC? 的面积等于 _________.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 3
cos , sin ,
2 2 tan 2 3
2cos 2 1 cos , :1 cos 2 1 cos
2
2
cos ,
2 4
5 6 2
sin sin cos cos sin
12 4
sin
, : 2
sin sin sin
1
:
3 3
sin .
2 4
ABC
b c a bc
A A A
bc bc A
A B
C A B C
C C
B B A C A C
a c C
c a
A C A
S ac B
?
?
?
?
+ ?
= = = =
+
= ? + + = ?
? = =
+
? = = + =
= = ? =
+
? =
? ?? ?
=
由 得:
由 得
即
得
解
由
析
注:多个知识点的综合,难度不大,知识点累加.
第 028题 该题待考虑
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c, AB 边上的高为 h ,若 2c h= ,则
a b
b a
+
的取值范围是 _________.
( )
(
2 2 2 2
2
2 cos
= 2cos
1 1
sin , :
2 2 2sin
2sin 2cos 2 2 sin
4
0, , : ,
4 4 4
0,2
:
2 .
b a a b c ab C c
C
a b ab ab ab
c
ab C ch ab
C
b a
C C C
a b
C C
b a
a b
?
? ? ?
? ?
+ +
+ = = +
= =
? ?
? + = + = +? ?
? ?
? ?
? + ? +? ?
? ?
?? + =?
?
? ?? ?
由 得
由 得
解析
解三角形专题
第 029题
ABC? 中,角 , ,A B C所对的边分别是 , ,a b c, ABC? 的面积
1
2
S = ,且满足
sin cosa B b A= ,则
1
cosC
ab
+ 的取值范围是（ ）
( (
1 2 2
. 0, 2 . , . ,1 . 1, 2
2 2 2
A B C D
? ? ? ?
? ??? ? ?? ??
? ? ? ?
(
sin cos , , : sin sin sin cos
sin 0, : sin cos
4
1
sin , : sin 1
2
1
cos sin cos 2 sin
4
3
0
sin cos
, , ,
4 4 4
:
:
1
cos 0,
, ,
2 .
: si
a B b A A B B A
B A A A
S ab C ab C
C C C C
ab
C C
C
ab
a B b A
?
?
? ? ?
?
= =
? = =
= =
? ?
? + = + = +?
? ??
?
? ?
? ? ? ?
? + ?? ? ? ?
? ? ? ?
?? + ?
=
?
?解析 方法一
方法 由 及正二 弦
由
定
及正弦定理 得
又 则 即
理 得
又 则
( ?
(
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
n sin sin cos
sin 0, : sin cos
4
1 1
sin , , : 2
2 2
: cos 2
2
1
: cos cos
2
1 sin
cos 2 sin
sin
3
0 , : sin 0 1
4
1
cos 0, 2
A B B A
B A A A
S bc A S bc
b c a
A c a b
bc
a b c b
C C
ab ab
b B
C B
ab a A
B B
C
ab
?
?
=
? = =
= = =
+ ?
= = + ?
+ ? ?
= =
? + = = =
? ?
? ?? ?
? ?
?? + ?
?
又 则 即
由 及 得
由余弦定理得 即
由余弦定理得 即
又 ， 则 ，
解三角形专题
第 030题
在 ABC? 中,若 1, tan 2tanAB B C= = ,则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
22
2
2
2
2 2
2
2 2 2 2
tan 2 tan , : sin cos 2sin cos
: 2 3 3
2 2
1, : 3 1
4 14 4
: cos cos
2 3
4
sin 1 cos
3
1 1
s
:
in , : sin
2 4
ABC ABC
A
B C B C C B
a b c a c b
b c a c b
ab ac
c a b
bb
C C
ab b
b
C C
b
S ab C S a b C
S
? ?
?
= =
+ ? + ?
? = ? ? + =
= = ?
? ??
??
= =
?
? = ? =
= =
?
?
由 得
由正余弦定理可得 即
又 则
由余弦定理得 即
又 则
解析
( ) ( ) ( )
( )
22
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
max
3 4 1 1 5 9
1 1 4
4 3 4 4 2 4
5 1 9 9
, :
2 4 4 16
3
: .
4
BC
ABC ABC
ABC
b
b b b b b
b
b S S
S
? ?
?
? ?? ? ?
= ? ? = ? ? ? = ? ? +? ?? ?
? ?? ?? ?
= = ? =
?
当 时 取得最大值为
的最大值为
解三角形专题
第 031题
如图,在四边形 ABCD中, , 60 , 75AB BC ABC ADC= ? = ? ? = ? ,对角线 2BD = ,则
四边形 ABCD面积的最小值为 _________.
( )
( )
min
,
3
13
:
5 , 90 , 2
2 1
3 2+1.
ABCD ADB DCB EDB CDE
ABCD
EDB ECB DAB
S S S S S CH
DCE DOE DO EO
C DCE CH
S
? ? ? ?
? ? ?
= + = ? = ?
? = ? ? = ? = =
? ?
? = ?
? ?? ?
四边形
四边形
作等边三角形 易证
易
四川成都
知点 在弧
张
上,
强老师解析
第 032题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c 且 2 , 90b a c A C= + ? = ? ,则 cos B =
_________.
( )2 2
, 90 , 90
sin cos ,cos sin ,cos sin 2
2 , : 2sin sin sin
1
2 cos sin cos sin cos sin
2
3
sin 2
4
, 2 90
3
cos sin 2 s
:
co
4
ABC A C C
A C A C B C
b a c B A C
C C C C C C
C
A B C B C
B C B
?
? ?? ? ? = ? ? ?
? = = ? =
= + = +
? ? = + + =
? =
+ + = + = ?
? = =
? 在 中由 可得
由 可得
即
又 则
即
解析
第 033题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
sin sin sin sin cos2 1A B B C B+ + = .若
2
3
C
?
= ,则 _________ .
a
b
=
2 2 2
sin sin sin sin cos 2 1,
sin sin 2sin 2
2 3
, cos , .
3 2 5
:
A B B C B
A C B a c b
a b c a
C C
ab b
?
+ + =
+ = + =
+ ?
?
= =
?
=
? ?解析
由 及倍角公式,整理得得
即
由 及 得
A
D B
C
H
O
E
A
D
B
C
解三角形专题
第 034题
在 ABC? 中,已知 2 ,B A ACB= ? 的平分线把CD三角形分成面积为 :4 3的两部分,
则cos A=（ ）
2 1 1 3
. . . .
3 3 2 4
A B C D
4
:
3
: , 2 ,
sin sin
sin 2 4 2
cos .
sin 3 3
:
AD AC
DB BC
BC AC
B A
A B
A
A
A
? ? = =
= =
= =
? ? 由角平分线定理得
由正弦定理 ：
解
及
即
析
得
第 035题
如图所示的四边形 ABCD中,已知 , 120 , 60 , 27AB AD ABC ACD AD⊥ ? = ? ? = ? = ,
设 ACB ?? = ,C点到 AD 的距离为 h .
( )1 用?表示 h的解析式;
( )2 求 AB BC+ 的最大值.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 :
90 , 30
,sin
cos
,
sin sin
27cos 18 3 cos sin 30
s
2 , 1
in 30 sin 60
9 3
9 3 sin 2 3
8 3 cos
s
0 , 0 60 ;
2
:
in 30
ADC CAD
CG h
Rt CGD ADC CD
CD
CD AD
CAD CAD
h
h
Rt CAG A
h
h
C
ABC
? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
?
? = ? ? ? = ? +
? ? = =
=
? ?
= = ? +
? + ?
? = + + ? ? ? ?
?
?
?
??
=
?
=
? +
由题设条件易得
在 中 即
由正弦定理 可得:
即
解
在 中
在
析
其中
中
( )
( )
36cos
sin sin sin
18sin 2
36cos sin 60 9 3 9 3 cos 2 9sin 2
9 3 18 2 60
0 60
15 , : 9 3 18.
AB BC AC
BAC B
AB
BC
AB BC
AB BC
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
= = =
?
? =
= ? ? = + ?
? + = + + ?
? ? ?
? = ? + +
,
当 时 取得最大值为
D
A B
C
A D
C
B
GA D
C
B
解三角形专题
第 036题 2019届高三河南省八市学评第一次测评文数 17题
已知锐角 ABC? 中内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若
2 5
cos , 3
2 5
A
AB AC= ? = .
( )1 求 ABC? 的面积;
( )2 若 6b c+ = ,求 a的值.
( )
( )
( )
( )
2 22 2 2
2
2
2
2
2 5 3
1 cos , : cos 2cos 1
2 5 2 5
4
sin 1 cos
5
3, cos 3 5
1
2
2 : cos cos
2 2
1 5, 6,
3
sin
6 10
2 5.
5 1
2
0
;
2
:
ABC
A A
b c bc ab c a
A A
bc bc
bc b c
a
A
A A
AB AC cb A bc
b
a
S c A?
+ ? ?+ ?
=
= = ?
=
= + =
=
? = ? =
? = = =
?
? ??
=
? =
=
=
?
?
由余弦定理
由 得
由
得 即
由 知 及 可 :
即
析
得
得 即
解
第 037题 2019届高三天一大联考“顶尖计划”毕业班第一次联考理数 12题
已知D 为 ABC? 的边 AC 上一点,满足 3 , 14, 2
3
AD DC AB ADB DBC
?
= = ? = ? = ,
则 sin ABC? =（ ）
2 7 7 2 5 5
. . . .
7 7 5 5
A B C D
2 2 2 2 2
2
3 3 , 2 , ,
3 6
3 3 16 14
, 14 : cos
2 2 8 3
2
sin
, : sin
sin sin
1
4 2
2 72s
:
in .
714
3AD DC x ADB DBC C
a b c x x
ABC AB C
ab x
x
b AB b C
ABC AB
BC
C
ABC C
x
c
ABC
? ?
= = ? = ? = =
+ ? + ?
? = = =
? =
? = ? =
?
?
? ?
=? ??
=
?
=
设 由 易得
在 中 ,由余弦定理得 即
在 中由正弦定理 即
解
得
析
D
A
B C
解三角形专题
第 038题
ABC? 中角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若
3
cos cos
5
a B b A c? = ,则 ( )tan A B? 的
最大值为（ ）
4 3
. . 1 . . 3
3 4
A B C D
( ) ( )
( )
2
3
cos cos ,
5
3
sin cos sin cos sin
5
3
sin sin , sin cos sin cos sin
5
sin cos 4sin cos tan 4 tan
0
2
tan tan 3tan 3 3
tan
11 tan tan 1 4 tan 4
4 tan
ta
:
n
"ta
a B b A c
A B B A C
C A B A B B A A B
A B B A A B
B A
A B B
A B
A B B
B
B
?
? =
? =
= + ? = +
? = =
? ? ? ?
?
? ? = = = ?
+
+
?
+
? ?? 由 及正弦定理,可得
又 则:
当且仅当
解
即
析
1
n = " " "
2
B =时 成立.
第 039题 2018届高三河南省洛阳市第三次统考文数 16题
在 ABC? 中,D是 AB 的中点, ACD? 与 CBD? 互为余角, 2, 3AD AC= = ,则sin A
的值为 _________.
: , ;
2 2
2 2
, ;
sin sin sin cos
2 2
;
sin sin sin cos
sin cos
sin 2 sin 2
sin cos
5 7
: 2 2 , ,sin ; : 2 2 , ,sin ;
3 2 4
5 7
,sin .
3
:
4
B A
CD CD
ADC
A A B
CD CD
DBC
B B A
B A
A B
A B
i A B A B A ii A B A B A
A
? ?
? ?
?
?
?
?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
= = = + = + = =
? ?? ? 依题意可知
在 中 即
在 中 即
即
综上所述 的值为 或
解析
D
A
B C
解三角形专题
第 040题 2019届高三河南省名校联盟“尖子生”调研考试二理数 16题
在 ABC? 中,若 4, 3 2AB BC BC BA? = ? = ,则 ABC? 面积的最大值为 _____.
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
4, : 4
2
3 2, : 3 2
26
1 1 1 3 17
sin cos 16 .
2 2 2 2 2
3 17
, , : .
2
3 2
: , .
:
2
ABC
a c b
AB BC
BC BA b
a c
a c
S ac B a c a c B
a c ABC
B AC
?
+ ?
? = =
? = =
? + =
? ?+
? = = ? ? ? =? ?
? ?
= ?
? ?? ?
由 得
由 得
故当 时 面积取得最大值为
方法二 数形结合 点在 的中点为圆心半径为
解 方法一
的圆上
析
第 041题
在面积为 2 的 ABC? 中, 2 2 22a b c+ + 的最小值 _________.
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
1
2 2
2
5
2
2
2 5
8 5.
: a b c
x y h b
x y h b
b h
bh
+ +
= + + +
? ? + +
= +
?
? ??
=
?解析
h
yx H
B
A C
解三角形专题
第 042题 2019届高三四川省成都七中上期半期测试理数 16题
设 , ,a b c分别为 ABC? 的内角 , ,A B C 的对边,已知 ( )2 2 23c a b= ? ,且 tan 3C = ,则
B? 的大小为 _________.
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2 2
2 2
2 4 2
2
2
3 , : cos
2 3
3 3 3
tan 3 1, : sin
2
3 2
, : sin sin
sin sin
2 3 2
cos sin 1, : 1
3
2 4
, :10 13 0 10 13 4 0
:
3
a c b c
c a b B
ac a
a b c
C C
ab
b c b a c
B C
B C c ac
c a c
B B
a ac
c
t t t t
a t
t
+ ?
= ? = =
+ ?
= ? =
?
= = =
? ??? ?
+ = + =? ?? ?
?
? ?
? ? ?
= +
?
= + =
?
?
? ?
由余弦解 定理及 得
由 得
又 则
又 则
令 则有 即
析
2 21 4 sin ,
2 5 3
2
cos
2
c
t B
a
B
?? ?
= = =? ?
? ?
? =
或 此时 舍去
解三角形专题
第 043题 2019届高三河南省中原名校第二次教学指导卷理数 16题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ( )sin cos 0A A B? + ? ,且
3
sin sin sin
2
A B C+ = ,则
2
ab
c
的取值范围为 _________.
( )
( )
( )
22 2 2 2 2
22 2
2 2 2
22
3
: 0 cos 1,
2
4
cos 0, :
9
8
,
5
0, 0 , : 2
4
9cos 1, : 1 1
2 2
26
,
5
26
, 2,
5
9 9 1
,
4 4
:
2
C a b c
C a b c a b a b
a b
b a
a b
a b
b a
a b a b
a b c
C
ab ab
a b
b a
a b
b a
ab ab
a bc a b
b a
? ? + =
? + ? + ? +
+ ?
? ? + ?
+ ? +
+ ?
? ? ?
+ ?
? ?
+ ??
? ?
= =
+ + +
? ?? ? 由题意可知
①由 得 即
所以
当 时 有
②由 得 即
所以
所以 的取值范围为:
又
解析
则有:
2
5 9
: , .
16 16
ab
c
? ?
? ?
? ?
得取值范围为
三角形共有9个要素，三个顶点，三条边，三个角
? ?? ?基础
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
01 2
sin sin sin
02 cos , = 2 cos
2
1
03 sin
2
04 sin sin ,cos cos , tan tan
ABC
b a c
k R ABC
B A C
a c b
B b a c ac B
ac
S ac B
B A C B A C B A C
?
= = = = ?
+ ?
= + ?
=
= + = ? + = ? +
外接圆半径
? ?加强
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2 2 2
05 : : sin : sin : sin ;
06 sin sin sin 2sin sin cos ;
1 1
07 sin ;
4 2 2 2 4
1
;
2
1
sin sin sin ;
8
08 tan tan tan tan tan tan ;
: tan tan ta
ABC ABC
ABC
ABC
a b c A B C
B A C A C B
abc b abc
S S ac B ac
R R R
S a b c r r
S a b c A B C
A B C A B C
A B
? ?
?
?
=
= + ?
? ?
= = = ? =? ?
? ?
= + +
=
+ + =
+ +
为内切圆半径
证 ( ) ( )( )n tan tan 1 tan tan
tan tan tan
C B C B C B C
A B C
= ? + + + ?
=
? ?? ?特殊
( ) ( )
( )
2 2 2109 cos
2
10 , , ,
2 2sin sin sin 2sin cos
2 2
1
2cos cos tan tan
2 2 2 2 3
: 2sin sin sin
2sin cos ;
2 2
sin sin sin
2 2 2 2 2
BA BC ac B a c b
ABC a b c
B A C
b a c B A C
A C A C A C
B A C
B B
LHS
A C A C A C A C A C
RHS
? = = + ?
?
?
= + ? = + ? =
+ ?
? = ? =
= +
=
+ ? + ? +? ? ? ?
= + + ? =? ? ? ?
? ? ? ?
成等差数列
证
cos cos cos ;
2 2 2
2sin cos .
2 2
A C B A C
B A C
? ?
=
?
? =
解三角形专题
? ? :问题类型
( )
( )
( )
( )
( )
01 :
02 :
03 :
04 : ;
05 :
边长,角度数值计算问题;
三角形形状判断问题;
边长,角度等范围最值问题;
实际问题中高度,长度等表达式问题
三角形唯一性等问题；
解三角形专题
第 001题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题
在 ABC? 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且
3
A
?
= ， 2a = .
( )1 求 ABC? 的周长的取值范围；
( )2 求 2 2b c+ 的取值范围.
( )
( )
( ?
( ?
( ) ( )2 2 2 2 2
2 2
2
1 : sin , sin ,
3
sin sin 4sin
6
2 5
0,
2 sin s
2 4 3
:
sin sin
, , , : 2, 4
3 6 6 6
2, 4,6 .
si
in
2
s
n 3
in ( ) sin
3
3
2
:
ABC
b k B c k C B C
b c k B C C
b c k B
b c a
k
B
C
C C b c
a
k C
C
A
a b
C
c
?
?
? ? ? ?
?
?
+
= = = ?
? ?
? + = + = +? ?
? ?
? ? ? ?
? + ?
=
+ ?? ? ? ?
? ? ? ?
=
?
= +
??
+
= +
= ? +
= = =
?
=
?
正弦定理
易得
析
得 则
解
由 有
又 则
( ?
2
2
2 2 2
1
1 sin 2
2 6
2 7 1 1 1
0, , 2 , , sin 2 ,
3 6 6 6 2 6 4 2
1 3 3
1 sin 2 ,
2 6 4 2
16
, 4,8 .
3
C
k C
C C C
C
k b c
?
? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?? ?
= + ?? ?? ?
? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? + ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
= + ?
由 得 则
又 则
类型题:
在 ABC? 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .
( )1 已知 ?=120A ，求 CB sinsin + 的最大值；
( )2 已知 3=a ， ?= 60A ，求bc的最大值；
( )3 已知 222 2cba =+ ，求 Ccos 的最小值；
( )4 已知 CBA sin2sin2sin =+ ，求 Ccos 的最小值.
解三角形专题
第 002题 边长与数列，内角与向量，函数与方程
已知在 ABC? 中，三边长 , ,a b c依次成等差数列．
( )1 若sin :sin 3:5A B = ，求三个内角中最大角的度数；
( )2 若 1b = 且 ( )
22BA BC b a c? = ? ? ，求 ABC? 的面积．
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
1 , , , 2
sin : sin 3:5, : 3 : 5
3 , 5 , 7
1 2
cos , ;
2 1
: cos 2 cos
, 2
, c
2
os
:
2 2 3
a b c b a c
A B a b
a
a b c
C c
b a c
BA BC b a c ac B b a
a b ab
k b k c k C
a b c
C C
C
a
c
b c
a
b
b
a
?
+
= + =
? = ? ? = ? ?
=
?
= = +
+
= +
= =
= =
? ??
=
+ ?
= = ? =
?
?
?
由 依次成等差数列 得
又 则
令 则 即 最大
由 得
又
解
角为
余弦定理
得
由
由 得
析
2 9
2 cos , cos ,
3 10
5 1 3 5
sin sin .
3 2 20
ABC
ac B B ac
B S ac B
= =
? = = =
得
即
第 003题 倍角公式、余弦和角公式、诱导公式、面积公式、余弦定理
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
24sin 4sin sin 2 2
2
A B
A B
?
+ = + .
( )1 求角C的大小；
( )2 已知 4b = ， ABC? 的面积为6，求边长 c的值．
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
1 4sin 4sin sin 2 2 2 1 cos 4sin sin 2 2
2
2cos cos 2sin sin 2
2
cos
1
2 sin , 6, 4, , 3 2
2 4
2 cos ,
2
3
.
1 .
4 4
0
:
ABC ABC
A B
A B A B A B
A B A B
A B
A B C
S ab C S b C a
c a b ab C c
?
? ?
? ?= = = = =
?
+ = + ? ? + = +? ??
?
?
?? + =
? + = ?
? + =
=
=
+ ?
?? ?
=
由 及 得
又
解
则
析
即
即
解三角形专题
第 004题 正弦定理、余弦定理、函数方程与不等式
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,角 B 为锐角，且
22sin sin sinA C B= ，则
a c
b
+
的取值范围为（ ）
( ) ( ) 1 3 2 3. 1, 3 . 2, 3 . , . ,
2 2 2 2
A B C D
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2sin sin sin 2
cos , , 0,1
2 2
4
2 0,1 2,3
2
2, 3 .
:
A C B ac b
a c b a c b
B B
ac ac
a c ac a c a c
ac b b
a c
b
= =
+ ? + ?
= ?
+ ? + +
? = ? ? ?
+
? ?
? ?? ?
由 及正弦定理,得:
又 且 为锐角则:
即
解析
第 005题 2018届高三广东省惠州市第二次调研考试文数 17题
已知 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c， ( )2cos cos cos 0C a C c A b+ + = .
( )1 求角C的大小； ( )2 若 2b = ， 2 3c = ，求 ABC? 的面积.
? ? ( ) ( ): 1 120 ; 2 3.C S= ? =答案
第 006题 2018届高三上期广雅中学、东华中学、河南名校联考理(文)数 17题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
cos 3 sin
1
2 2
C c A
a
? ?
+ =? ?
? ?
.
( )1 求C； ( )2 若 6c = ，求 ABC? 的面积 S 取到最大值时 a的值.
? ? ( ) ( ) ( )2 3: 1 ; 2 2 .
3 2
C S a b
?
= ? = =答案
第 007题 2018届高三广东省华南师范大学附属中学上期第一次月考理数 17题
已知函数 ( ) 23sin 2 2cos 1,f x x x x R= ? ? ? .
( )1 求函数 ( )f x 的最小正周期和最小值;
( )2 在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 ( )3, 0c f C= = ,
sin 2sinB A= ，求 ,a b的值.
解三角形专题
? ? ( ) ( ) ( )
min
: 1 , 4; 2 1, 2.T f x a b?= = ? = =答案
第 008题 2018届高三山西省太原五中 10月月考文数 18题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 sin cos 3a C c A= = .
( )1 求 c； ( )2 若 ABC? 的面积为
9
2
，求 a .
? ? ( ) ( ): 1 6; 2 15.c a= =答案
第 009题 2018届高三山西省太原五中 10月月考理数 19题
已知 ABC? 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c，且 2A C= .
( )1 若 3a c= ，求角C的大小；
( )2 若 , , ,C B A c b a? ? 是三个连续的正整数，求 ABC? 的面积.
? ? ( ) ( )
15 7
: 1 ; 2 .
6 4
C S
?
= =答案
第 010题 2018届高三四川省绵阳市第一次诊断性测试文数 19题
已知 ABC? 中，
2
3
B
?
? = ，D是边BC上一点，且 2 3AD = ， 2BD = .
( )1 求 ADC? 的大小；
( )2 若 2 13AC = ，求 ABC? 的面积.
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 , cos 2 3, 2,
2 3
2 8 0 2
3
:
cos
2 2
5
;
5
2 , cos , =2 13,
2 6
6 40 0
6
4
6
6
ABC
BD AB AD
ABD B AD BD B
BD AB
AB AB AB
AD DB AB
ADB
AD DB
ADB ADC
AD DC AC
ADC ADC ADC AC
AD DC
DC DC DC
BC
S
?
? ?
?
?
+ ?
? = = = =
?
+ ?
+ ?
? ? = ? =
?
+
= =
+ ?
? =
? ??
? ? = =
?
?? =
=
? =
?
?
?
=
在 中由 及 得
即
解
在
即
即
析
中由 及 ,得
1
sin 3 3.
2
AB BC B= ? =
解三角形专题
第 011题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考文数 15题
在 ABC? 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知
1
8, 2,cos
4
a b c A= ? = = ? ，
则 ABC? 的面积为 _________.
( )
2 22 2 2 2
cos , cos
2 2
1 15
8, 2,cos , : 24,sin
4 4
1
sin 3 15.
2
:
ABC
b c bc ab c a
A A
bc bc
a b c A bc A
S bc A?
? + ?+ ?
= =
= ? = = ? =
?
=
? ?
=
?
?
=
解
由 得
又 则有
析
第 012题 2018届高三河南省郑州一中上期第二次月考理数 16题
在斜三角形 ABC 中， D 为 BC 的中点，且 90BAD C? +? = ?，则
B
C
?
?
的值是
_________.
( )
: ,
2 2
, ;
sin sin sin
, ;
sin sin sin
sin sin sin cos
sin sin sin cos
sin 2 sin 2
: , 1;
: 2 2 , ,
2
:
:
:
x c a
ABD
x b a
ADC
B
i ABC
C
ii ABC
AE
? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ? ?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
? =
?
= ? =
?
+ = + = ?
? ?? ?
方法一:
由题意可得
在 中
在 中
即
为等腰三角形,
为直角三角形 与题意不符舍去 .
方法二
如图所示
解析
为
( )
: , , 1
: , 90 ,
ABC
B
i D O AE BC ABC
C
ii D O BC ABC BAC ABC
?
?
⊥ ? =
?
? ? = ? ?
的直径;
与 不重合 则 为等腰三角形, ；
与 重合 则 为 的直径, 为直角三角形
与题意不符舍去 ；
解三角形专题
第 013题 2018届高三湖南省长郡中学上期第三次月考理数 18题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 2,
3
c C
?
= = .
( )1 当 ( )2sin 2 sin 2 sinA B C C+ + = 时,求 ABC? 的面积；
( )2 求 ABC? 周长的最大值.
( ) ( )
2 2 2
1 2sin 2 sin 2 sin ,
4sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin
2sin cos sin cos
4 3 2 3 1 2 3
: cos 0, , , , sin ;
2 3 3 2 3
: cos 0,2sin sin ,2 ,
2 3 4
2 cos , 2, , ,
3 3
:
ABC
A B C C
A A B A B A A B A B
A A B A
i A A a b S ab C
ii A A B a b
c a b ab C c C a b
?
?
?
+ + =
? + = +
? =
= = = = = =
? = =
= +
?
? = =
?
= =
??
由 得
解析
( )
( )
( )
max
2 2 2 2 2
3
,
3
1 2 3 2 3
sin , : .
2 3 3
2 :
sin , sin , sin sin sin
sin sin sin
5
sin sin 3 sin , ,
6 6 6 6
6 , .
3
: 2 cos 4
4
ABC ABC
ABC
ABC
S ab C S
c c c
a A b B C a b c A B C
C C C
A B A A
C A
c a b ab C a b ab
? ? ? ?
?
? ?
?
?
= = =
= = = + + = + +
? ? ? ?
+ = + + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? = =? ?
? ?
= + ? ? = + ?
=
由 得
方法一
周长取得最大值
方法二
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 22 2
max
3 1
3
4 4
4
6 2 , .ABC
a b ab a b ab a b a b a b
a b
C a b?
+ ? = + ? ? + ? + = +
+ ?
= = =
即
当 时 周长取得最大值
解三角形专题
第 014题 2018届高三江苏省苏州市上学期期中考试数学 12题
设 ABC? 的内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，D 为 AB 的中点，若
cos sinb a C c A= + 且 2CD = ，则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
cos sin , , : sin sin cos sin sin
, sin sin
cos sin sin sin
tan 1
4
1
2
, 2, : cos
1
2
2
8
2 2 4 8 4 8 2 2 2
4
:
2 2
1 2
sin
2
ABC
b a C c A B A C C A
B A C B A C
A C C A
A A
b c CD
ADC CD A
b c
bc b c bc bc
S bc A
?
?
?
= + = +
= ? + = +
? =
? = =
? ?
+ ?? ?
? ?
? = =
?
= + ? ? ? ? = +
?
= =
? ?? ?
?
由 及正弦定理 得
又 则
即
在 中 由余弦定理
即
解
得
析
2 1.
4
bc ? +
第 015题 2018届高三河北省衡水中学上学期第三次月考理数 11题
ABC? 中,若
24ac b= ,sin sin sinA C p B+ = ,且 B 为锐角,则 p 的取值范围是
（ ）
( ) ( )6 6. 1, 2 . , 2 . , 3 . 1, 3
2 2
A B C D
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( )
( )
2
2 22 2 2
2
sin sin sin , , 0
4
cos 1 2 3 0,1
2 2
6
, 2 .
:
2
A C p B a c pb p
ac b B
a c ba c b
B p
ac ac
p
+ = + = ?
=
+ ?+ ?
= = ? = ? ?
? ?
? ?? ??
? ?? ?
?
? ?
由 及正弦定理,得:
又 ,且角 为锐角,则
解析
解三角形专题
第 016题 2018届高三河南省中原名校第四次质检理数 10题
在 ABC? 中, 2 2 2 2a c b ac+ = + . 2 cos cosA C+ 的最大值是（ ）
. 1 . 2 . 3 . 4A B C D
( )
2 2 2
max
2
2 , : cos
2 4
3 3
4 4
2 cos cos
3
2 cos cos
4
2 2
2 cos cos sin
2 2
2 2
cos sin
2 2
sin
4
3
: 0, , ,
4 4 4
2 cos cos 1 ,
:
.
4
a c b ac B B
A C C A
A C
A A
A A A
A A
A
A A
A C A
?
? ?
?
?
? ? ?
?
?
+ = + = =
? + = = ?
? +
? ?
= + ?? ?
? ?
= ? +
= +
? ?
= +? ?
? ?
? ? ? ?
? + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? + = =? ?
? ?? ?
? ?
解
由 得 即
即
易知 则
原式取得最大值
析
解三角形专题
第 017题 2018届高三湖南省长郡中学上期月考四文数 11题
?ABC的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 ( )sin sin sin cos 0B A C C+ ? = ，
2, 2a c= = ，则角C =（ ）
5
. . . .
6 6 4 3
A B C D
? ? ? ?
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
sin sin sin cos 0, :
sin 0
2
2 2
2, 2, sin ,cos
4 4
sin cos 1, 4 2 3
2, 4 2 3 3 1
3
cos .
2 6
:
B A C C
a b c
b a C
ab
b b
a c C C
b b
C C b
b b b
C C
?
+ ? =
? ?+ ?
+ ? =? ?
? ?
? +
= = = =
+ = = ?
? = ?
? ??
= ?
= =
?
?
由 及正余弦定理得
又 则有
又 则
易知 则 即
即
解析
第 018题 2018届高三河南省天一大联考三理数 18题
已知?ABC中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,满足 ( )2 2 2 tana c b B+ ? =
( )2 2 23 b c a+ ? .
( )1 求角 A；
( )2 若 ABC? 的面积为
3
2
，求
( )
2 2
4 3 cos cosbc A ac B
a b
? +
?
的值.
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 1.
3
A
?
=答案
解三角形专题
第 019题 2018届高三四川省达州市一诊理数 16题
在锐角 ABC? 中， A B C、 、 成等差数列， 3AC = ，BA BC? 的取值范围是
_________.
( )2 2
2 2
1
cos 3
2
2
sin sin sin
3 1
2 sin sin sin 2
4 2 6
5
, , : 2 ,
6 2 6 6 6
3
1,
:
.
2
BA BC ac B a c
a c b
A C B
BA BC A C C
C C
BA BC
?
? ? ? ? ?
? = = + ?
= = =
? ? ? ?
? ? = + ? = + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ? ?? ?
? ?
由向量的数量积公式,及余弦定理易得解
又
由 得
析
第 020题 2017届高三江苏省连云港市三调数学 14题
已知?ABC三个内角 , ,A B C 所对的对边分别为 , ,a b c ,且
3
C
?
= , 2c = ,当
AC AB? 取得最大值时
b
a
的值为 _________. ? ? : 2 3.+答案
( )
( )
( )
2 2
2 2
max
1
cos 4
2
4
sin sin sin 3
8 4 3
2 sin sin 2 cos 2
3 3 6
2 7
0, , : 2 ,
3 6 6 6
7 4 3
2 , 2
6 12 3
12
sin
:
AC AB bc A b a
a b c
A B C
AC AB B A B
B B
B B AC AB
A
b
a
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? = = ? +
= = =
? ?
? ? = + ? = ? ?? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? = = ? = +
? =
?
?
??
=
?解析
又
由 得
当 即 时 则有：
sin
4 6
2 3.
sin
sin
4 6
B
A
? ?
? ?
? ?
+? ?
? ?
= = +
? ?
?? ?
? ?
解三角形专题
第 022题 2018届高三河南省八市 12月联考高二文数 20题
在锐角 ABC? 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 ( )
3
sin 2 cos 0.
3
C A B+ + =
( )1 求角C的值;
( )2 若 ABC? 的外接圆的半径为 2 3 ,求 ABC? 的面积的最大值.
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 9 3.
3
ABCS
?
? =答案
第 023题
已知锐角三角形 ABC中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,且
2 2 2
3
tan
cb
A
c b a
=
+ ?
.
( )1 求角 A的大小;
( )2 当 3a = 时,求 2 2c b+ 的最大值,并判断此时得形状.
第 024题 2018届高三河南省中原名校第六次质量考评理数 16题
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c,设 ABC? 的面积为 S ,若
2 2 23 2a b c= + ,
则
2 22
S
b c+
的最大值为 _________.
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 , 2 3 3 3
2 6 cos
1
sin
sin 12 tan
2 2 12 cos 12
2 14
6 cos 2 2 , : cos tan
3 2
14
'' 2 '' , .
2
:
24nax
a b c b c b c a
b c bc A
bc A
S bc A
A
b c b c bc A
bc A bc A A
S
b c
b c
= + + = + ?
? + =
? = = =
+ +
? ? ?
? ?
? = =? ?
+? ?
? ?? ?
由 得:
又 则有 即
当 时
解析
解三角形专题
第 025题 2018届高三黑龙江省哈尔滨市第三中学二模文数 9题
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c,若 2 ,cos cos cos 0B A A B C= ? ,则
sina A
b
的取值范围是（ ）
3 3 3 3 1 3 3 1
. , . , . , . ,
6 2 4 2 2 2 6 2
A B C D
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
( )
cos cos cos 0, : , , 0,
2
2
2
2 , :
6 4
2
2
3
tan ,1
3
sin sin sin 1 3 1
tan , .
2sin c
:
os 2 6 2
A B C A B C
A
B A A
A A
A
a A A A
A
b A A
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?? ?
? ?
?
???
= ? ??
? ? ? +
??
? ?
? ?? ?? ?
? ?
? ?
? = = ?? ?? ?
? ?
? ?? ?
由
则
解
得
又 有 即
析
, , 0,
2
0 ,0 ,0
2 2 2
3
2 , tan ,1
6 4 3
:
sin sin sin sin sin sin sin 1
tan
sin sin 2 2sin cos 2
sin 3 1
, .
:
6 2
A B C
A B C
B A A A A
a A A A A A A A
A
b B A A A
a A
b
?
? ? ?
? ?
? ?
?? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
= ? ? ?? ??
? ?
?
? ?
= = = =
? ?
? ?
? ?? ?
? ?
注意到此三角形为锐角三角形,则有
由 可得出角 的范围: 即
再由正弦定理容易得出
故 的取值范围是
分析
此题的关 A C键是角 的范围,易错的地方是对角 的范围运用.
解三角形专题
第 026题 2018届高三安徽省皖北协作区联考理数 16题
在?ABC中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .已知 1, 2 cosb c b a B= + = ,当 ABC?
的面积最大时, cos _________.A =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
1, 2 cos cos , 1
2
2 cos , : 2 2cos
1 1 1 2
sin 1 sin 1 2cos sin , 0,
2 2 2 3
1 2 1 33
: 1 2cos sin , 0, , ' 2 cos
2 3 8 64
:
ABC
a c b
b c b a B B a c
ac
a b c bc A a A
S bc A a A A A A
f A A A A f A A
?
?
?
+ ?
= + = = = +
= + ? = +
? ?
? = = ? = + ?? ?
? ?
? ?? ? ? ?
= + ? = + ??? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ???
由 及 可得:
由 得
构造
解
数 则:
析
函
( ) ( )
( ) ( )
33 1
cos , ' 0, ;
8
33 1
cos , ' 0, ;
8
33 1
,cos .
8
A f A f A
A f A f A
ABC A
?
??
?
? = =
? ?
= =
?
? =
取得最大值
取得最小值
故:当 的面积取得最大值时
( ) ( )
( ) ( )
3
2
:
:
: 2 cos , : sin sin 2
sin
, :
sin sin sin
1 1 sin 1 sin3 1 3sin 4sin
sin sin sin sin
2 2 sin 2 sin 2 sin
1 1
3 4sin sin 1 2cos2
2 2
ABC
ABC A
i c b a B B A B A B
b c C
c
B C B
C B B B
S bc A A A A
B B B
B A B
?
? ?? ?
?
+ = = ? =
= =
?
? = = ? ? = ? ? = ? ?
= ? ? ? = ? + ?
分析
容易分析出 的面积是关于角 的函数,注意边角的转
由 得 即
由 得
另解
换
( )
( )
( )
2
1
sin 1 2cos sin
2
: ,
1 33
2 , cos , .
8 64
A A A
ii f A
f u u u A
= ? + ?
? ?? ?
= + ? =? ?? ?
? ?? ?? ?
关于构造的函数 ,在讨论其单调性时可看成二次函数模型,
需要注意复合函数这一点
解三角形专题
第 027题 2018届高三河北省衡水中学十五模文数 16题
在锐角 ABC? 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,已知 3a = , ( )2 2 3 tanb c A+ ? =
3bc , ( )22cos 2 1 cos
2
A B
C
+
= ? ,则 ABC? 的面积等于 _________.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 3
cos , sin ,
2 2 tan 2 3
2cos 2 1 cos , :1 cos 2 1 cos
2
2
cos ,
2 4
5 6 2
sin sin cos cos sin
12 4
sin
, : 2
sin sin sin
1
:
3 3
sin .
2 4
ABC
b c a bc
A A A
bc bc A
A B
C A B C
C C
B B A C A C
a c C
c a
A C A
S ac B
?
?
?
?
+ ?
= = = =
+
= ? + + = ?
? = =
+
? = = + =
= = ? =
+
? =
? ?? ?
=
由 得:
由 得
即
得
解
由
析
注:多个知识点的综合,难度不大,知识点累加.
第 028题 该题待考虑
在 ABC? 中,角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c, AB 边上的高为 h ,若 2c h= ,则
a b
b a
+
的取值范围是 _________.
( )
(
2 2 2 2
2
2 cos
= 2cos
1 1
sin , :
2 2 2sin
2sin 2cos 2 2 sin
4
0, , : ,
4 4 4
0,2
:
2 .
b a a b c ab C c
C
a b ab ab ab
c
ab C ch ab
C
b a
C C C
a b
C C
b a
a b
?
? ? ?
? ?
+ +
+ = = +
= =
? ?
? + = + = +? ?
? ?
? ?
? + ? +? ?
? ?
?? + =?
?
? ?? ?
由 得
由 得
解析
解三角形专题
第 029题
ABC? 中,角 , ,A B C所对的边分别是 , ,a b c, ABC? 的面积
1
2
S = ,且满足
sin cosa B b A= ,则
1
cosC
ab
+ 的取值范围是（ ）
( (
1 2 2
. 0, 2 . , . ,1 . 1, 2
2 2 2
A B C D
? ? ? ?
? ??? ? ?? ??
? ? ? ?
(
sin cos , , : sin sin sin cos
sin 0, : sin cos
4
1
sin , : sin 1
2
1
cos sin cos 2 sin
4
3
0
sin cos
, , ,
4 4 4
:
:
1
cos 0,
, ,
2 .
: si
a B b A A B B A
B A A A
S ab C ab C
C C C C
ab
C C
C
ab
a B b A
?
?
? ? ?
?
= =
? = =
= =
? ?
? + = + = +?
? ??
?
? ?
? ? ? ?
? + ?? ? ? ?
? ? ? ?
?? + ?
=
?
?解析 方法一
方法 由 及正二 弦
由
定
及正弦定理 得
又 则 即
理 得
又 则
( ?
(
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
n sin sin cos
sin 0, : sin cos
4
1 1
sin , , : 2
2 2
: cos 2
2
1
: cos cos
2
1 sin
cos 2 sin
sin
3
0 , : sin 0 1
4
1
cos 0, 2
A B B A
B A A A
S bc A S bc
b c a
A c a b
bc
a b c b
C C
ab ab
b B
C B
ab a A
B B
C
ab
?
?
=
? = =
= = =
+ ?
= = + ?
+ ? ?
= =
? + = = =
? ?
? ?? ?
? ?
?? + ?
?
又 则 即
由 及 得
由余弦定理得 即
由余弦定理得 即
又 ， 则 ，
解三角形专题
第 030题
在 ABC? 中,若 1, tan 2tanAB B C= = ,则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
22
2
2
2
2 2
2
2 2 2 2
tan 2 tan , : sin cos 2sin cos
: 2 3 3
2 2
1, : 3 1
4 14 4
: cos cos
2 3
4
sin 1 cos
3
1 1
s
:
in , : sin
2 4
ABC ABC
A
B C B C C B
a b c a c b
b c a c b
ab ac
c a b
bb
C C
ab b
b
C C
b
S ab C S a b C
S
? ?
?
= =
+ ? + ?
? = ? ? + =
= = ?
? ??
??
= =
?
? = ? =
= =
?
?
由 得
由正余弦定理可得 即
又 则
由余弦定理得 即
又 则
解析
( ) ( ) ( )
( )
22
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
max
3 4 1 1 5 9
1 1 4
4 3 4 4 2 4
5 1 9 9
, :
2 4 4 16
3
: .
4
BC
ABC ABC
ABC
b
b b b b b
b
b S S
S
? ?
?
? ?? ? ?
= ? ? = ? ? ? = ? ? +? ?? ?
? ?? ?? ?
= = ? =
?
当 时 取得最大值为
的最大值为
解三角形专题
第 031题
如图,在四边形 ABCD中, , 60 , 75AB BC ABC ADC= ? = ? ? = ? ,对角线 2BD = ,则
四边形 ABCD面积的最小值为 _________.
( )
( )
min
,
3
13
:
5 , 90 , 2
2 1
3 2+1.
ABCD ADB DCB EDB CDE
ABCD
EDB ECB DAB
S S S S S CH
DCE DOE DO EO
C DCE CH
S
? ? ? ?
? ? ?
= + = ? = ?
? = ? ? = ? = =
? ?
? = ?
? ?? ?
四边形
四边形
作等边三角形 易证
易
四川成都
知点 在弧
张
上,
强老师解析
第 032题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c 且 2 , 90b a c A C= + ? = ? ,则 cos B =
_________.
( )2 2
, 90 , 90
sin cos ,cos sin ,cos sin 2
2 , : 2sin sin sin
1
2 cos sin cos sin cos sin
2
3
sin 2
4
, 2 90
3
cos sin 2 s
:
co
4
ABC A C C
A C A C B C
b a c B A C
C C C C C C
C
A B C B C
B C B
?
? ?? ? ? = ? ? ?
? = = ? =
= + = +
? ? = + + =
? =
+ + = + = ?
? = =
? 在 中由 可得
由 可得
即
又 则
即
解析
第 033题
在 ABC? 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知
sin sin sin sin cos2 1A B B C B+ + = .若
2
3
C
?
= ,则 _________ .
a
b
=
2 2 2
sin sin sin sin cos 2 1,
sin sin 2sin 2
2 3
, cos , .
3 2 5
:
A B B C B
A C B a c b
a b c a
C C
ab b
?
+ + =
+ = + =
+ ?
?
= =
?
=
? ?解析
由 及倍角公式,整理得得
即
由 及 得
A
D B
C
H
O
E
A
D
B
C
解三角形专题
第 034题
在 ABC? 中,已知 2 ,B A ACB= ? 的平分线把CD三角形分成面积为 :4 3的两部分,
则cos A=（ ）
2 1 1 3
. . . .
3 3 2 4
A B C D
4
:
3
: , 2 ,
sin sin
sin 2 4 2
cos .
sin 3 3
:
AD AC
DB BC
BC AC
B A
A B
A
A
A
? ? = =
= =
= =
? ? 由角平分线定理得
由正弦定理 ：
解
及
即
析
得
第 035题
如图所示的四边形 ABCD中,已知 , 120 , 60 , 27AB AD ABC ACD AD⊥ ? = ? ? = ? = ,
设 ACB ?? = ,C点到 AD 的距离为 h .
( )1 用?表示 h的解析式;
( )2 求 AB BC+ 的最大值.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 :
90 , 30
,sin
cos
,
sin sin
27cos 18 3 cos sin 30
s
2 , 1
in 30 sin 60
9 3
9 3 sin 2 3
8 3 cos
s
0 , 0 60 ;
2
:
in 30
ADC CAD
CG h
Rt CGD ADC CD
CD
CD AD
CAD CAD
h
h
Rt CAG A
h
h
C
ABC
? ?
?
? ? ?
?
? ?
?
?
? = ? ? ? = ? +
? ? = =
=
? ?
= = ? +
? + ?
? = + + ? ? ? ?
?
?
?
??
=
?
=
? +
由题设条件易得
在 中 即
由正弦定理 可得:
即
解
在 中
在
析
其中
中
( )
( )
36cos
sin sin sin
18sin 2
36cos sin 60 9 3 9 3 cos 2 9sin 2
9 3 18 2 60
0 60
15 , : 9 3 18.
AB BC AC
BAC B
AB
BC
AB BC
AB BC
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
= = =
?
? =
= ? ? = + ?
? + = + + ?
? ? ?
? = ? + +
,
当 时 取得最大值为
D
A B
C
A D
C
B
GA D
C
B
解三角形专题
第 036题 2019届高三河南省八市学评第一次测评文数 17题
已知锐角 ABC? 中内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若
2 5
cos , 3
2 5
A
AB AC= ? = .
( )1 求 ABC? 的面积;
( )2 若 6b c+ = ,求 a的值.
( )
( )
( )
( )
2 22 2 2
2
2
2
2
2 5 3
1 cos , : cos 2cos 1
2 5 2 5
4
sin 1 cos
5
3, cos 3 5
1
2
2 : cos cos
2 2
1 5, 6,
3
sin
6 10
2 5.
5 1
2
0
;
2
:
ABC
A A
b c bc ab c a
A A
bc bc
bc b c
a
A
A A
AB AC cb A bc
b
a
S c A?
+ ? ?+ ?
=
= = ?
=
= + =
=
? = ? =
? = = =
?
? ??
=
? =
=
=
?
?
由余弦定理
由 得
由
得 即
由 知 及 可 :
即
析
得
得 即
解
第 037题 2019届高三天一大联考“顶尖计划”毕业班第一次联考理数 12题
已知D 为 ABC? 的边 AC 上一点,满足 3 , 14, 2
3
AD DC AB ADB DBC
?
= = ? = ? = ,
则 sin ABC? =（ ）
2 7 7 2 5 5
. . . .
7 7 5 5
A B C D
2 2 2 2 2
2
3 3 , 2 , ,
3 6
3 3 16 14
, 14 : cos
2 2 8 3
2
sin
, : sin
sin sin
1
4 2
2 72s
:
in .
714
3AD DC x ADB DBC C
a b c x x
ABC AB C
ab x
x
b AB b C
ABC AB
BC
C
ABC C
x
c
ABC
? ?
= = ? = ? = =
+ ? + ?
? = = =
? =
? = ? =
?
?
? ?
=? ??
=
?
=
设 由 易得
在 中 ,由余弦定理得 即
在 中由正弦定理 即
解
得
析
D
A
B C
解三角形专题
第 038题
ABC? 中角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若
3
cos cos
5
a B b A c? = ,则 ( )tan A B? 的
最大值为（ ）
4 3
. . 1 . . 3
3 4
A B C D
( ) ( )
( )
2
3
cos cos ,
5
3
sin cos sin cos sin
5
3
sin sin , sin cos sin cos sin
5
sin cos 4sin cos tan 4 tan
0
2
tan tan 3tan 3 3
tan
11 tan tan 1 4 tan 4
4 tan
ta
:
n
"ta
a B b A c
A B B A C
C A B A B B A A B
A B B A A B
B A
A B B
A B
A B B
B
B
?
? =
? =
= + ? = +
? = =
? ? ? ?
?
? ? = = = ?
+
+
?
+
? ?? 由 及正弦定理,可得
又 则:
当且仅当
解
即
析
1
n = " " "
2
B =时 成立.
第 039题 2018届高三河南省洛阳市第三次统考文数 16题
在 ABC? 中,D是 AB 的中点, ACD? 与 CBD? 互为余角, 2, 3AD AC= = ,则sin A
的值为 _________.
: , ;
2 2
2 2
, ;
sin sin sin cos
2 2
;
sin sin sin cos
sin cos
sin 2 sin 2
sin cos
5 7
: 2 2 , ,sin ; : 2 2 , ,sin ;
3 2 4
5 7
,sin .
3
:
4
B A
CD CD
ADC
A A B
CD CD
DBC
B B A
B A
A B
A B
i A B A B A ii A B A B A
A
? ?
? ?
?
?
?
?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
= = = + = + = =
? ?? ? 依题意可知
在 中 即
在 中 即
即
综上所述 的值为 或
解析
D
A
B C
解三角形专题
第 040题 2019届高三河南省名校联盟“尖子生”调研考试二理数 16题
在 ABC? 中,若 4, 3 2AB BC BC BA? = ? = ,则 ABC? 面积的最大值为 _____.
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
4, : 4
2
3 2, : 3 2
26
1 1 1 3 17
sin cos 16 .
2 2 2 2 2
3 17
, , : .
2
3 2
: , .
:
2
ABC
a c b
AB BC
BC BA b
a c
a c
S ac B a c a c B
a c ABC
B AC
?
+ ?
? = =
? = =
? + =
? ?+
? = = ? ? ? =? ?
? ?
= ?
? ?? ?
由 得
由 得
故当 时 面积取得最大值为
方法二 数形结合 点在 的中点为圆心半径为
解 方法一
的圆上
析
第 041题
在面积为 2 的 ABC? 中, 2 2 22a b c+ + 的最小值 _________.
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
1
2 2
2
5
2
2
2 5
8 5.
: a b c
x y h b
x y h b
b h
bh
+ +
= + + +
? ? + +
= +
?
? ??
=
?解析
h
yx H
B
A C
解三角形专题
第 042题 2019届高三四川省成都七中上期半期测试理数 16题
设 , ,a b c分别为 ABC? 的内角 , ,A B C 的对边,已知 ( )2 2 23c a b= ? ,且 tan 3C = ,则
B? 的大小为 _________.
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2 2
2 2
2 4 2
2
2
3 , : cos
2 3
3 3 3
tan 3 1, : sin
2
3 2
, : sin sin
sin sin
2 3 2
cos sin 1, : 1
3
2 4
, :10 13 0 10 13 4 0
:
3
a c b c
c a b B
ac a
a b c
C C
ab
b c b a c
B C
B C c ac
c a c
B B
a ac
c
t t t t
a t
t
+ ?
= ? = =
+ ?
= ? =
?
= = =
? ??? ?
+ = + =? ?? ?
?
? ?
? ? ?
= +
?
= + =
?
?
? ?
由余弦解 定理及 得
由 得
又 则
又 则
令 则有 即
析
2 21 4 sin ,
2 5 3
2
cos
2
c
t B
a
B
?? ?
= = =? ?
? ?
? =
或 此时 舍去
解三角形专题
第 043题 2019届高三河南省中原名校第二次教学指导卷理数 16题
在 ABC? 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ( )sin cos 0A A B? + ? ,且
3
sin sin sin
2
A B C+ = ,则
2
ab
c
的取值范围为 _________.
( )
( )
( )
22 2 2 2 2
22 2
2 2 2
22
3
: 0 cos 1,
2
4
cos 0, :
9
8
,
5
0, 0 , : 2
4
9cos 1, : 1 1
2 2
26
,
5
26
, 2,
5
9 9 1
,
4 4
:
2
C a b c
C a b c a b a b
a b
b a
a b
a b
b a
a b a b
a b c
C
ab ab
a b
b a
a b
b a
ab ab
a bc a b
b a
? ? + =
? + ? + ? +
+ ?
? ? + ?
+ ? +
+ ?
? ? ?
+ ?
? ?
+ ??
? ?
= =
+ + +
? ?? ? 由题意可知
①由 得 即
所以
当 时 有
②由 得 即
所以
所以 的取值范围为:
又
解析
则有:
2
5 9
: , .
16 16
ab
c
? ?
? ?
? ?
得取值范围为
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