人教版高中数学必修三知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第03章 章末检测高一数学

第三章
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出以下命题：
（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A为“两次都出现正面”，事件B为“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；
（2）（1）中的事件A与事件B是互斥事件；
（3）若10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A为“所取的3件产品中最多有2件是次品”，事件B为“所取的3件产品中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．
其中正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
2．一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取两次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为
A． B．
C． D．
3．某同学投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，则在平面直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x–y=1上的概率为
A． B．
C． D．
4．从数字1，2，3，4，5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是
A． B．
C． D．
5．某校毕业生的去向有三种：回家待业、上大学和补习．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校每个学生上大学的概率为，则每个学生不补习的概率为
A． B．
C． D．
6．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
91
86
88
92
93
乙
87
85
86
99
9x
则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是
A． B．
C． D．
7．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三个数，每人则可喊0，5，10，15，20五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定谁获胜的概率大
8．任取一个三位正整数，对数是一个正整数的概率是
A． B．
C． D．
9．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA． B．
C． D．
10．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是
A．对立事件 B．必然事件
C．互斥事件，但不是对立事件 D．以上答案均不对
11．从1，2，，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是
A．① B．②④
C．③ D．①③
12．在如图所示的程序框图中，若输入的x∈[–1，4]，则输出的y∈（0，1]的概率为
A． B．
C． D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．向如图所示的正方形中随机撒一把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为1 000，其中有785粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为___________．
14．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的概率为___________．
15．某单位甲、乙两人在19：00~24：00之间选择时间段加班，已知甲连续加班2小时，乙连续加班3小时，则在23：00时甲、乙都在加班的概率是___________．
16．若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={–1，0，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话（30 min），然而谈话却被监听录音机记录了下来．联邦调查局拿到磁带后，发现其中有10 s长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被擦掉了．试问如果这10 s长的谈话记录开始于磁带记录后的30 s处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率是多大?
18．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动．两家商场对购买该商品的顾客的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示的圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形的圆心角均为15°，边界忽略不计）时，即中奖．
乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2个球（这些球除颜色外其余均相同），如果摸到的是2个红球，即中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
19．阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制订合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，得到的数据的茎叶图如下（单位：吨）：
（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率．
（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1∶5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．
20．北京市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：
年龄/岁
[15，30）
[30，45）
[45，60）
[60，75）
人数
24
26
16
14
赞成人数
12
14
x
3
（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x的值；
（2）在（1）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）两组内赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率．
21．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部在155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160），第二组[160，165），……，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm及以上的人数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x–y|≤5}，事件F={|x–y|>15}，求P（E∪F）．
22．已知关于x的二次函数f（x）=ax2–4bx+1．
（1）设集合A={–1，1，2，3，4，5}和B={–2，–1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（2）设点（a，b）是满足条件的区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
B
B
D
A
C
C
C
C
D
1．【答案】B
【解析】对于（1）（2），因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两种事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于（3），若所取的3件产品中恰有2件是次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．
4．【答案】B
【解析】可列表如下，由表可知共有两位数（个），其中大于40的有（个），∴所求概率为．
1
2
3
4
5
1
21
31
41
51
2
12
32
42
52
3
13
23
43
53
4
14
24
34
54
5
15
25
35
45
5．【答案】B
【解析】每个学生上大学的概率为，而该样本中上大学的人数为80，所以该样本容量为80÷=100，于是每个学生回家待业的概率为=，所以每个学生不补习的概率为+=．
6．【答案】D
【解析】由题可知甲的平均成绩为=90，被污损前乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能．又当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是．
8．【答案】C
【解析】三位正整数从100到999共900个，∵，，，，，∴满足条件的正整数只有，，，共三个，∴所求概率为．故选C．
9．【答案】C
【解析】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的基本事件共有24种，而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423，共8种，所以这个三位数为“凹数”的概率为=．故选C．
10．【答案】C
【解析】利用互斥事件、对立事件的定义．
【规律总结】
判断对象
区别
联系
，是互斥事件
若，是对立事件，则，一定互斥
，是对立事件
，
11．【答案】C
【解析】首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件．因为从1，2，，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选C．
【解题技巧】判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的；二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析．对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
12．【答案】D
【解析】根据框图，可知当x∈[–1，0]时，y=（）x∈[1，2]，当x∈（0，4]时，y=∈（0，2]，∴使y∈（0，1]的x的取值范围是[0，1]，∴所求概率为=．
13．【答案】3.14
【解析】设该正方形的内切圆的半径为r，依题意，得≈，∴π≈=3.14．
14．【答案】
【解析】用数字1，2组成一个四位数，共有16种不同的结果，数字1，2都出现的四位数有1 112，
1 121，1 211，2 111，1 122，1 212，1 221，2 121，2 112，2 211，2 221，2 212，2 122，1 222，共14种．根据古典概型的概率计算公式，得数字1，2都出现的概率P==．
15．【答案】
【解析】设甲开始加班的时刻为x，乙开始加班的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为M={（x，y）|19≤x≤22，19≤y≤21}，面积SM=2×3=6．事件A表示“在23：00时甲、乙都在加班”，所构成的区域为A={（x，y）|21≤x≤22，20≤y≤21}，面积SA=1×1=1，所以所求的概率为P（A）==．
16．【答案】
【解析】∵M={–1，0，，1，2，3，4}，∴集合M的所有非空子集个数为29–1=511．∵若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”，∴若–1∈A，则=–1∈A；若1∈A，则=1∈A；若2∈A，则∈A，2与一起成对出现；若3∈A，则∈A，3与一起成对出现；若4∈A，则∈A，4与一起成对出现．∴集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有25–1=31（个）．∴在集合M={–1，0，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．
17．【答案】．
【解析】将30 min的磁带表示为长度为30的线段R，
则代表10 s与犯罪活动有关的谈话的区间为r，如图所示，
10 s长的犯罪谈话被擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间r内或区间r左边的任何点发生．
因此10 s长的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件始于线段R的左端点且长度为+=．
因此概率P==．
即含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率是．
18．【答案】购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．
【解析】设圆盘的半径为R．
如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2，
阴影部分的面积为=，
则顾客在甲商场中奖的概率为P1==．
如果顾客去乙商场，记3个白球分别为a1，a2，a3，3个红球分别为b1，b2，b3，
记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），
（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），
（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），
（b1，b2），（b1，b3），
（b2，b3），共15种，
摸到2个红球的结果有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，
则顾客在乙商场中奖的概率为P2==，
又P119．【答案】（1）．（2）此方案符合国家“保基本”政策．
【解析】（1）从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件为
（19，25），（19，28），（19，32），（19，34），（25，28），（25，32），（25，34），
（28，32），（28，34），（32，34），共10个．
其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件为（19，25），（19，28），（25，28），共3个．
设“从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”为事件A，则P（A）=．
（2）设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为5a．
依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为 =>80%．
故此方案符合国家“保基本”政策．
20．【答案】（1）x=3．（2）．
【解析】（1）经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12+14+x+3，
因为赞成率为0.40，所以=0.40，解得x=3．
（2）记“选中的2人中至少有1人来自[60，75）内”为事件M．
设年龄在[45，60）内的3位被调查者分别为A，B，C，年龄在[60，75）内的3位被调查者分别为a，b，c，
则从这6位被调查者中抽出2人的情况有
{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，
{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共15个基本事件，
且每个基本事件等可能发生．
其中事件M包括{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，
{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，共12个基本事件，
所以选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率P（M）==．
21．【答案】（1）0.06．（2）中位数为174.5；身高在180 cm及以上的人数为0.18×800=144．（3）．
【解析】（1）因为第六组的频率为=0.08，
所以第七组的频率为1–0.08–5×（0.008×2+0.016+0.040×2+0.060）=0.06．
（3）第六组的人数为4，分别记为a，b，c，d，第八组的人数为2，分别记为A，B，
则从中选2名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，
共15种情况．
因为事件E={|x–y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，故P（E）=．
因为|x–y|max=195–180=15，
所以事件F={|x–y|>15}是不可能事件，P（F）=0．
因为事件E和事件F是互斥事件，
所以P（E∪F）=P（E）+P（F）=．
22．【答案】（1）．（2）．
【解析】要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
则a>0且，即a>0且2b≤a．
（1）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有
（1，–2），（1，–1），（2，–2），（2，–1），（2，1），（3，–2），
（3，–1），（3，1），（4，–2），（4，–1），（4，1），（4，2），
（5，–2），（5，–1），（5，1），（5，2），共16个，
所以所求概率．
（2）如图，求得满足条件的区域的面积为．
由，求得
所以区域内满足a>0且2b≤a的面积为．
所以所求概率．