人教版高中数学必修三知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.1 算法与程序框图

知识
1．算法的概念
12世纪的算法
是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
算法通常是指按照一定规则解决___________的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
算法具有确定性、有效性、有限性等特征．
算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，主要借助一般的问题解决方法，又要包括此类问题的所有情形．它往往是把问题的解决划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．
（1）用数学语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步：
第一步，明确问题的性质，分析题意．
我们将问题简单地分为数值问题和非数值问题，不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理．
第二步，建立问题的描述模型．
对于数值型问题，可以建立数学模型，通过数学语言来描述问题．对于非数值型问题，我们可以建立过程模型，通过过程模型来描述问题．
第三步，设计、确立算法．
对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用．当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．
（2）算法设计应注意：
①与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法；
②将解决问题的过程分为若干个可执行步骤；
③引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达；
④用最简练的语言将各个步骤表达出来；
⑤算法的执行要在有限步内完成．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用___________、___________及___________来表示算法的图形．程序框图是人们用来描述算法步骤的形象化的方法．
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．另外，程序框内还要有必要的文字说明．构成程序框图的图形符号、名称及其功能如下表：
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
说明：一个完整的程序框图一定会包含终端框（用于表示一个算法的开始和结束），处理框（赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等）和流程线．
3．算法的三种基本逻辑结构
通常一个算法只能由三种基本逻辑结构构成，这三种基本逻辑结构分别是：顺序结构、条件结构和循环结构．
（1）顺序结构
顺序结构是由若干个___________的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构．
顺序结构可以用程序框图表示为
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，其中A和B两个框是依次执行的，只有在执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作，顺序结构各步骤之间不能随便调换，调换后可能会使算法不能运行或错误．
（2）条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据___________有不同的流向．条件结构就是处理这种过程的结构．
条件结构对应的程序框图如图所示：

（1） （2）
注意：①无论条件是否成立，图（1）中只能执行“步骤”框或“步骤”框，但不可以既执行“步骤”又执行“步骤”，也不可以“步骤”和“步骤”都不执行；“步骤”和“步骤”中可以有一个是空的，如图（2）所示．
②在利用条件结构画程序框图时，必须清楚判断的条件是什么，条件判断后分别对应着什么样的结果．
（3）循环结构
在一些算法中，要求___________同一操作的结构称为循环结构．即从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤．反复执行的步骤称为循环体．
循环结构有两种形式：直到型循环结构和当型循环结构．
①直到型循环结构
直到型循环结构可以用程序框图表示为：
这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．
②当型循环结构
当型循环结构可以用程序框图表示为：
这个循环结构有如下特征：在每次执行循环体前，先对控制循环的条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．
4．程序框图的画法
在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．
设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：
注意：流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，若不画出箭头，则难以判断各框的执行顺序．
知识参考答案：
3．（1）依次执行（2）条件是否成立（3）反复执行
重点
重点
程序框图的画法，条件结构，循环结构
难点
循环结构及其循环控制条件的理解与应用
易错
画程序框图时误选逻辑结构
1．算法的概念
常见的设计算法的问题有解方程（组）问题、直接应用数学公式求解的问题、筛选问题、实际生活问题等，设计算法时要注意：
（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；
（2）综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
（3）将解决问题的过程划分为若干个步骤．
【例1】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
①计算；
②输入直角三角形两直角边长a，b的值；
③输出斜边长c的值；
其中正确的顺序是
A．①②③ B．②③① C．①③② D．②①③
【答案】D
【解析】由算法规则得：第一步：输入直角三角形两直角边长a，b的值，第二步：计算，第三步：输出斜边长c的值；这样，就是求斜边长c的一个算法．故选D．
【名师点睛】算法是解决某一类问题的精确描述，这就要求我们在写算法时应简练、清晰，并善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完整性．
【例2】下列关于算法的理解正确的是
A．算法等同于解法
B．任何问题都可以运用算法解决
C．按照算法一步步执行，在有限步之后，总能得出结果
D．解决某一个具体问题时，算法不同，结果也不同
【答案】C
2．顺序结构
与顺序结构相关的问题一般是利用公式求解问题．在使用顺序结构书写程序框图时，（1）要注意各种框图符号的正确使用；（2）要先赋值，再运算，最后输出结果．
【例3】将两个数a=2017，b=2018交换，使得a=2018，b=2017，下面语句正确一组是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先把b的值赋给中间变量c，这样c=2018，再把a的值赋给变量b，这样b=2017，把c的值赋给变量a，这样a=2018．故选B．
【例4】已知函数f（x）=x2–3x+2，请设计一个算法，画出算法的程序框图，求f（3）+f（–1）的值．
【答案】答案详见解析．
程序框图如图：
【名师点睛】画顺序结构的程序框图问题，不仅要遵循程序框图的画图原则，而且要看要求的量需要根据哪些条件求解，需要的条件必须先输入，或将已知的条件全部输入，求出未知的量．
3．条件结构
凡是需要先根据条件作出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构，有时会需要多个判断框，至于判断框内的内容是没有固定顺序的．
【例5】一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为
A．–1 B．1 C．1或5 D．–1或1
【答案】B
【名师点睛】（1）对于求分段函数的函数值的程序框图画法：如果是分两段的函数，只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，需要引入两个判断框；依此类推．至于判断框内的内容是没有顺序的．
（2）判断框内的内容可以不唯一，但判断框内的内容一经改变，其相应的处理框等内容均要有所改变．
【例6】阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是

A．（–∞，–2] B．[–2，–1]
C．[–1，2] D．[2，+∞）
【答案】B
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴，解得x∈[–2，–1]．故选B．
4．循环结构
如果算法问题中涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以引入变量(我们称之为循环变量)，构成循环结构．
循环结构中常用的几个变量：
①计数变量：即计数器，用来记录执行循环体的次数，如，．
②累加变量：即累加器，用来计算数据之和，如．
③累乘变量：即累乘器，用来计算数据之积，如．
在程序框图中，一般要根据实际情况先给这些变量赋初始值．一般情况下，计数变量的初始值为1，累加变量的初始值为0，累乘变量的初始值为1．
【例7】阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【例8】已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
基础训练
1．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭（10 min）、听广播（8 min）几个步骤，从下列选项中选出最好的一种算法
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播
C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
2．我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求函数的零点等，对算法的描述有：①对一类问题都有效；②算法可执行步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上对算法的描述正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．表示“根据给定条件判断”的符号是
A B C D
4．下面的程序框图是顺序结构的是
5．如图所示的程序框图表示的算法意义是
A．边长为3，4，5的直角三角形面积
B．边长为3，4，5的直角三角形内切圆面积
C．边长为3，4，5的直角三角形外接圆面积
D．以3，4，5为弦的圆面积
6．如图所示的程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是
7．根据所给的程序框图，如图所示，输出的结果是
A．3 B．1 C．2 D．0
8．下列说法：①条件结构是最简单的算法结构；②顺序结构就是按照程序语句运行的自然顺序，依次地执行顺序；③条件结构可以根据设定的条件，控制语句流程，有选择地执行不同的语句序列．其中正确的说法是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．求下列函数的函数值的算法中需要用到条件结构的是
A．f（x）＝x2－1 B．f（x）＝2x＋1
C．f（x）＝ D．f（x）＝2x
10．如下图所示的程序框图，其功能是
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
11．直到型循环结构对应的框图为
12．如图所示的程序框图中，循环体是
A．① B．② C．③ D．②③
13．阅读如图框图，运行相应的程序，则输出i的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
14．下面程序框图表示的算法的运行结果是________．
15．若R＝8，则如图所示的程序框图运行后的结果为a＝________．
16．试写一个解三元一次方程组的算法．
17．已知半径为r的圆的周长公式为C＝2πr，当r＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．
能力提升
18．如下算法：
第一步，输入x的值；
第二步，若x≥0，则y＝x；
第三步，否则，y＝x2；
第四步，输出y的值，
若输出的y值为9，则x的值是
A．3 B．－3 C．3或－3 D．－3或9
19．给出下列程序框图：若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是
A．x＝2 B．b＝2 C．x＝1 D．a＝5
20．下面的程序框图能判断任意输入的数的奇偶性．
其中判断框中的条件是
A．？ B．？ C．？ D．？
21．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是
A． B． C． D．
22．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是
A．18 B．50 C．78 D．306
23．执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A．1 B． C． D．
24．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．（－2，2） B．（－4，0） C．（－4，－4） D．（0，－8）
25．执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A．1 B．3 C．7 D．15
26．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
A．i＜50？ B．i＞50? C．i＜25? D．i＞25?
28．一个算法的程序框图如图所示，当输入的x值为3时，输出y的值恰好是，则“①”处的关系式是
A．y＝x3 B．y＝3－x C．y＝3x D．y＝x
29．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填_____________．
30．已知函数 图中表示的是给定的值，求其对应的函数值的程序框图．
①处应填写_____________；②处应填写_____________．
31．阅读下面的算法，回答所给问题：
第一步，输入．
第二步，若，则执行第三步，否则，执行第四步．
第三步，输出．
第四步，输出．
（1）上述算法的功能是_____________．
（2）当输入的值为_____________时，输出的数值最小，其最小值为_____________．
32．求过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率．设计该问题的算法并画出程序框图．
33．如图所示是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
（1）该框图解决的是怎样的一个问题？
（2）若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
（3）在（2）的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大，为什么？
（4）在（2）的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?
34．画出计算函数y＝|2x－3|的函数值的程序框图．（x由键盘输入）．
35．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72，91，58，63，84，88，90，55，61，73，64，77，82，94，60．要求将80分以上的同学的平均分求出来，画出该问题算法的程序框图．
真题练习
36．（2018?新课标Ⅱ）为计算S=1–++…+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
37．（2019?天津模拟）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（2018?北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A． B． C． D．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C
D
A
A
B
C
C
C
C
C
B
B
B
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
36
37
38
D
C
D
A
C
C
B
C
B
B
C
B
B
B
1．【答案】C
【解析】由题知C选项最节省时间，由算法的特征可知C方法最好．
2．【答案】D
【解析】由算法的概念可知①②③④都正确，因而选D．
3．【答案】A
【解析】A表示判断框，判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号．
4．【答案】A
【解析】由于选项A表示的是依次执行的几个步骤，故A为顺序结构．
5．【答案】B
【解析】由直角三角形内切圆半径r＝，故选B．
6．【答案】C
7．【答案】C
【解析】由X＝Y，得X＝2；由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z＝2．
8．【答案】C
【解析】依据顺序结构和条件结构的定义可知选C．
9．【答案】C
【解析】C项中函数f（x）是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计算法，A、B、D项中均不需要用条件结构．
10．【答案】C
【解析】根据执行过程可知程序框图的功能是输入a，b的值，输出它们的最大值，即求a，b的最大值．故选C．
11．【答案】B
【解析】根据直到型程序框图的概念进行判断即可．
12．【答案】B
【解析】根据循环结构的定义知②为循环体，故选B．
13．【答案】B
【解析】i＝1时，a＝1×1＋1＝2，i＝2时，a＝2×2＋1＝5，i＝3时，a＝3×5＋1＝16，i＝4时，a＝4×
16＋1＝65>50，所以输出i＝4．
14．【答案】6
【解析】由题意得P＝＝9，S＝＝＝6．
15．【答案】4
【解析】由R＝8得b＝＝2，a＝2b＝4．
16．【答案】详见解析．
17．【答案】详见解析．
【解析】算法如下：
第一步，令r＝10．第二步，计算C＝2πr．第三步，输出C．
程序框图如图：
18．【答案】D
【解析】根据题意可知，此为分段函数，y＝的算法，当x≥0时，x＝9；当x＜0时，x2＝9，所以x＝－3．
19．【答案】C
【解析】因结果是b＝2，∴2＝a－3，即a＝5．当2x＋3＝5时，得x＝1．
20．【答案】D
【解析】奇数被2除余1，偶数被2整除．
【易错易混】条件结构中的判断框内条件一定要清晰、明确、但条件不唯一，不同的人写算法时，可能符合条件时执行A，不符合条件时执行B，也可能不符合条件时执行A，符合条件时执行B，此时两种算法内的条件一定不一样．
21．【答案】A
22．【答案】C
【解析】第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18＜K≤78，所以整数K的最大值为78．
23．【答案】C
【解析】执行第一次循环后S＝，i＝1；执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为．
24．【答案】B
【解析】第一次循环：S＝1－1＝0，t＝1＋1＝2；x＝0，y＝2，k＝1；
第二次循环：S＝0－2＝－2，t＝0＋2＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；
第三次循环：S＝－2－2＝－4，t＝－2＋2＝0，x＝－4，y＝0，k＝3．输出（－4，0）．
25．【答案】C
【解析】程序框图运行如下：k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝1<3；S＝1＋21＝3，k＝2<3；S＝3＋22＝7，
k＝3．输出S＝7．
26．【答案】B
【解析】当n＝1时，21>12满足条件，继续循环得n＝2，22>22不成立，不满足条件，所以输出n＝2．
27．【答案】B
【解析】因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？．
28．【答案】C
【解析】当x＝3时，∵x＞0，由x＝x－2，得x＝1；再用x＝x－2，得x＝－1；而当x＝－1时，3x＝．
29．【答案】
【解析】根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
．
30．【答案】　　　　
【解析】框图中的①就是分段函数关系式两种形式的判断条件，故填写“”．②就是该函数的另一段表达式．
【名师点睛】求分段函数函数值的程序框图的画法：如果是分两段的函数，只需要引入一个判断框；如果是分三段的函数，需要引入两个判断框，依此类推，至于判断框内的内容是没有顺序的．
31．【答案】（1）求分段函数的函数值；（2）1　　　　－2
32．【答案】详见解析．
【解析】算法如下：
第一步，输入x1，y1，x2，y2．
第二步，如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；否则，k＝．
第三步，输出k．
程序框图如下图所示．
33．【答案】详见解析．
34．【答案】详见解析．
【解析】程序框图如图：
35．【答案】详见解析．
【解析】程序框图如图．
36．【答案】B
【解析】模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N–T=（1–）+（）+…+（）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选B．
37．【答案】B
38．【答案】B
【解析】执行循环前：k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1–．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=，k=3，直接输出S=，故选B．