4.1.1圆的标准方程 学案

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4.1.1圆的标准方程

一、圆的标准方程
1．圆的标准方程
基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是______和______
标准 方程 圆心为，半径为r的圆的标准方程是________________
图示
说明 若点在圆上，则点的______适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在________上
二、点与圆的位置关系
圆C：，其圆心为，半径为，点，设.
位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点
点在圆外
点在圆上
点在圆内

参考答案：
一、1．圆心 半径 坐标 圆
二、

【例1】在中，点（7，4），（2，9），（5，8）
(1)求的面积.
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)5(2)
【解析】（1）A（7，4），B（2，9），
==5，
直线AB方程为：，即x+y-11=0，
点C到直线AB的距离，
=.
（2）设的外接圆心为O（a,b）则，
即.
ABC的外接圆方程为.
【例2】过点且圆心在直线上的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解法1：设所求圆的标准方程为，
由已知条件，知，解此方程组，得，
故所求圆的标准方程为.
【例3】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得,
由题得圆心到直线AB的距离为，
所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1，最大距离为2+1=3，
所以△ABP的面积的最小值为，最大值为.
所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].
故选：D
【例4】如图所示，设定点，动点在圆上运动，以，为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

【答案】
【解析】
设，
则线段中点的坐标为，线段中点的坐标为
平行四边形的对角线互相平分 ，

在圆上
即所求轨迹方程为：
又不能在直线上 且
故所求轨迹方程为：
【例5】已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

如图，取点，连接，
，，
，，
，
，
因为,当且仅当三点共线时等号成立,
的最小值为的长，
，
，故选D.

课时同步练习
1．圆的圆心坐标和半径分别为
A．，2 B．，2
C．，4 D．，4
2．点与圆的位置关系是
A．点在圆外 B．点在圆内
C．点在圆上 D．不确定
3．已知点A(3，－2)，B(－5，4)，则以线段AB为直径的圆的方程是
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
4．以A（－2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是( )
A．（x＋2）2＋（y－1）2＝25 B．（x－1）2＋（y－5）2＝25C．（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25 D．（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5
5．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．
6.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知圆N的标准方程为(x-5)2 + (y－6)2=a2(a>0).
(1) 若点M(6，9)在圆N上，求半径a.
(2) 若点P(3，3)与Q(5，3)有－点在圆N内，另－点在圆N外，求a的范围.

8．已知三点,,，求的外接圆的方程.


9．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2

已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆O上一点的最大距离为________．


11．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为_________．
12．已知圆C的圆心到x轴的距离是到y轴的距离的2倍，且经过点A(1，0)，B(3，0)，求圆C的方程.

13．圆的圆心到直线的距离为
A．1 B．2
C． D．2
14．已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线
的距离为，则圆的方程为__________.

15．已知直线与圆相交于A、B两点，则大小为　　
A． B． C． D．

16．若实数x，y满足，则的最小值为___________.


1．【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，半径，故选A.
2．【答案】A
【解析】因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P在圆外．
3．【答案】B
【解析】圆心为AB的中点(－1，1)，半径为，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
4．
【答案】C
【解析】
根据条件知，圆心为A（－2，1）或B（1，5），半径为两点AB间的距离，根据两点间距离公式得到.根据圆心和半径依次判断选项得到方程为：（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25.
故答案为：C.
5．【答案】
【解析】由可得，即圆心为，
从而，故所求圆的标准方程为.
6.【答案】D
【解析】依题意，圆经过点，可设且，半径为，
则，解得，所以圆的方程为.

7．【解析】(1)因为点M(6,9)在圆N上,所以(6－5)2+(9－6)2=a2,即a2=10,
又a>0,所以
(2)因为=3，,故点P在圆外,点Q在圆内,所以
8．【解析】设外接圆的方程为，
把代入圆的方程，得 ，解此方程组，得，
故的外接圆的方程为.
9．【答案】D
【解析】设点(－2，2)关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标为(m，n)，
则，解得，所以圆C2的圆心坐标为，
所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2.故选D.
10．【答案】5＋
【解析】点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．
11．【答案】(x－3)2＋(y－4)2＝25
【解析】∵，，
，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

13．【答案】C
【解析】由题意，知圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.
14．【答案】
【解析】设，则，故圆的方程为
15.【答案】C
【解析】
根据题意，圆的圆心O的坐标为，半径，
则圆心到直线AB的距离，
因为直线与圆相交于A、B两点，
所以，
则有，则为等边三角形，
所以，故选C。
16.【解析】由几何意义可知x2＋y2，代表圆上的点（x,y）到原点的距离的平方，最小值为原点到圆心的距离与半径差值的绝对值，再平方，最小值为14－＝1，则x2＋y2的最小值为1.
故答案为：1.











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