第一章 数与式第４节 因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个 化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
?a.?提公因式法： ma(mb(mc( ______________.?
b.?公式法: 公式法:?⑴平方差公式：a2-b2= ;?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2= ;⑶a2-2ab+b2=
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
? 易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1） D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选（C）
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（2019年山东省临沂市）将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】多项式a3b﹣ab有公因式ab，首先考虑用提公因式法提公因式ab，提公因式后，得到多项式（x2﹣1），再利用平方差公式进行分解．
解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解，即：一提二套三分组．
（2019年江苏省无锡市）分解因式的结果是（ ）
A．（4+）（4-） B．4（+）（-）
C．（2+）（2-） D．2（+）（-）
【考点】平方差公式分解因式
【分析】直接根据平方差公式进行分解即可得答案.
解：4x2-y2
=(2x)2-y2
=(2x+y)(2x-y)，
故选C.
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.
（2019年湖北省荆门市）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【考点】多项式乘多项式，完全平方公式，因式分解﹣分组分解法
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意，
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意，
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意，
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．
（2016?滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3， 则a=-2，b=-3， 故选A
【点评】本题考查了因式分解-十字相乘法．x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
◆变式训练
（2019年福建省）因式分解：x2－9=_______.
（2019年云南省）分解因式：x2-2x+1= ．
（2019年广东省深圳市）分解因式： =______．
（2019年江苏省南京 ）分解因式的结果是____________．
考点3.因式分解的应用
◇典例：
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
（2018年辽宁省大连市）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． a（x﹣y）=ax﹣ay B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D． x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
（2019年广西贺州市）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
（2018年山东省济宁市）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
（2018年湖南省邵阳市）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）
（2019年黑龙江省绥化市）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年湖南省株洲市）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、
庆阳市）因式分解： ．
（2019年贵州省毕节市）分解因式：x4﹣16＝______.
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
选择题
（2019年四川省泸州市）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
（2019年山东省潍坊市）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
填空题
（2019年吉林省）分解因式：a2﹣1＝ ．
（2019年吉林省长春市）分解因式：ab+2b＝ ．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
（2019年辽宁省沈阳市）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝ ．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）分解因式：__________．
（2019年广东省广州市）分解因式：=______.
（2019年湖北省咸宁市）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 （写一个即可）．
（2019年四川省宜宾市）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ ．
（2019年四川省绵阳市）因式分解：m2n+2mn2+n3＝ ．
（2019年湖北省鄂州市）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝ ．
（2019年山东省淄博市（a卷））分解因式：x3+5x2+6x．
（2019年山东省东营市）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ ．
（2019年浙江省金华市、丽水市）当x＝1，y＝﹣时，代数式x2+2xy+y2的值是 ．
解答题
（2019年广西河池市）分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．
（2019年湖北省随州市）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ ，
②若﹣＝26，则y＝ ，
③若+＝，则t＝ ，
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 整除，﹣一定能被 整除，?﹣mn一定能被 整除，（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ，
设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
第一章 数与式第４节 因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个多项式化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
?a.?提公因式法： ma(mb(mc( __m(a+b+c)_.?
b.?公式法: 公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;⑶a2-2ab+b2=(a-b)2
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
? 易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1） D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选（C）
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解， （B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解， （D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全， 故选C
【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），得 2x2+bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6． b=-4，c=-6， 故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确运用多项式乘法法则是解题关键．
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（2019年山东省临沂市）将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】多项式a3b﹣ab有公因式ab，首先考虑用提公因式法提公因式ab，提公因式后，得到多项式（x2﹣1），再利用平方差公式进行分解．
解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解，即：一提二套三分组．
（2019年江苏省无锡市）分解因式的结果是（ ）
A．（4+）（4-） B．4（+）（-）
C．（2+）（2-） D．2（+）（-）
【考点】平方差公式分解因式
【分析】直接根据平方差公式进行分解即可得答案.
解：4x2-y2
=(2x)2-y2
=(2x+y)(2x-y)，
故选C.
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.
（2019年湖北省荆门市）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【考点】多项式乘多项式，完全平方公式，因式分解﹣分组分解法
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意，
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意，
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意，
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．
（2016?滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3， 则a=-2，b=-3， 故选A
【点评】本题考查了因式分解-十字相乘法．x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
◆变式训练
（2019年福建省）因式分解：x2－9=_______.
【考点】分解因式
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
解：原式=（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）.
【点睛】分解因式的一般步骤：若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
（2019年云南省）分解因式：x2-2x+1= ．
【考点】分解因式
【分析】直接用完全平方公式法分解即可
解：x2-2x+1=（x-1）2．
故答案为：（x-1）2．
【点评】本题考查了分解因式．解题的关键是利用完全平方公式法分解因式．
（2019年广东省深圳市）分解因式： =______．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式．
解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
（2019年江苏省南京 ）分解因式的结果是____________．
【考点】利用公式法分解因式
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
解：.
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
考点3.因式分解的应用
◇典例：
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
（2018年辽宁省大连市）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
【考点】因式分解的应用
【分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a+b=50；
【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn的最大值为900．
解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．
故答案为a+b=50；
【类比】由题意，可得m+n=60，
将n=60﹣m代入mn，
得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，
∴m=30时，mn的最大值为900．
故答案为900．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． a（x﹣y）=ax﹣ay B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D． x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
【考点】 因式分解的意义．
【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义。注意“积的形式”。
（2019年广西贺州市）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，
解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键
（2018年山东省济宁市）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4a﹣a3
=a（4﹣a2）
=a（2﹣a）（2+a）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
（2018年湖南省邵阳市）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x﹣x3=x（1﹣x2）
=x（1﹣x）（1+x）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
（2019年黑龙江省绥化市）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】因式分解
【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、不能分解，故C选项错误；
D、，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.
（2019年湖南省株洲市）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误，
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误，
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误，
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）因式分解： ．
【考点】分解因式
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
解：。
【点评】考查因式分解的知识；首先应考虑提取公因式；若只有两项，可考虑用平方差公式展开
（2019年贵州省毕节市）分解因式：x4﹣16＝______.
【考点】分解因式
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
解：x4﹣16
＝(x2+4)(x2﹣4)
＝(x2+4)(x+2)(x﹣2)，
故答案为：(x2+4)(x+2)(x﹣2).
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.注意分解要彻底.
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
【考点】 因式分解-十字相乘法等．
【分析】 仿照上述的方法，将原式分解即可．
解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）；
②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【考点】因式分解的应用
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用,求出x-y=4是解本题的关键
选择题
（2019年四川省泸州市）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2019年山东省潍坊市）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误，
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误，
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误，
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
填空题
（2019年吉林省）分解因式：a2﹣1＝ ．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
（2019年吉林省长春市）分解因式：ab+2b＝ ．
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．
解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案为：b（a+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3a（x+y）（x﹣y）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
（2019年辽宁省沈阳市）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝ ．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．
解：﹣x2﹣4y2+4xy，
＝﹣（x2+4y2﹣4xy），
＝﹣（x﹣2y）2．
【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，先提取﹣1是利用公式的关键．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）分解因式：__________．
【考点】因式分解
【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解.
解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键.
（2019年广东省广州市）分解因式：=______.
【考点】提取公因式和完全平方公式进行因式分解
【分析】利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解即可解答.
解：利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解可得，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
（2019年湖北省咸宁市）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 （写一个即可）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．
解：令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（2019年四川省宜宾市）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ ．
【考点】因式分解﹣分组分解法
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
（2019年四川省绵阳市）因式分解：m2n+2mn2+n3＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：m2n+2mn2+n3
＝n（m2+2mn+n2）
＝n（m+n）2．
故答案为：n（m+n）2．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
（2019年湖北省鄂州市）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2，
故答案为：a（2x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2019年山东省淄博市（a卷））分解因式：x3+5x2+6x．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等
【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
（2019年山东省东营市）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ ．
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】原式变形后，提取公因式即可．
解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），
故答案为：（x﹣1）（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2019年浙江省金华市、丽水市）当x＝1，y＝﹣时，代数式x2+2xy+y2的值是 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】首先把x2+2xy+y2化为（x+y）2，然后把x＝1，y＝﹣代入，求出算式的值是多少即可．
解：当x＝1，y＝﹣时，
x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（1﹣）2
＝
＝
故答案为：．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
、解答题
（2019年广西河池市）分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
解：原式＝x2﹣2x+1+2x﹣10
＝x2﹣9
＝（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
（2019年湖北省随州市）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ ，
②若﹣＝26，则y＝ ，
③若+＝，则t＝ ，
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 整除，﹣一定能被 整除，?﹣mn一定能被 整除，（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ，
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可，
（2）按定义式子展开化简即可，
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可，
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
解：（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被 11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵?﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴?﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11，9，10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
【点评】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
