第22章二次函数专题七：二次函数与系数的关系学案（含答案解析）

专题七 二次函数与系数的关系
知识解读
二次函数与系数的关系
二次函数的图像特征与系数及判别式的符号之间的关系如下：
系数与判别式的符号 图像的特征
开口向上
开口向下
对称轴为轴
对称轴在轴左侧（同左）
对称轴在轴右侧（异右）
图像过原点
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
与x轴有唯一的交点
与x轴有两个交点
与x轴没有交点
看点
看点
看点


函数图像的公共点问题
利用数形结合思想解决函数图像运动过程中公共点问题的一般步骤：
在合适的位置画出函数的图像
让函数的图像按照要求运动，确定临界位置
代入点的坐标，利用方程思想求字幕系数的值。
确定满足条件的字母系数的取值范围
【培优学案】
【典型范例】
例1：已知二次函数的图像经过，与x轴交点的横坐标分别为，且。下列结论
①②③④，其中正确的结论是 。

【提示】的大小看横坐标是2的点的函数值；的大小看对称轴的位置；的大小看顶点的纵坐标；的大小要结合等式和不等式进行消元确定。
答案：①②④
【跟踪训练】
二次函数的部分图象如图,图象过点(?1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当x>?1时，y的值随x值的增大而增大。其中正确的结论有___(填序号)

解答：

例2：对于题目“一段抛物线L：与直线：有唯一公共点.若c为整数，确定所有的值.”甲的结果是c=1，乙的结果c=3或4，则
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
【提示】本题需要正确画出草图才能解决问题，对于，我们先画出c=0时的图像，然后画出直线，把二次函数的图像上下平移，来分析它们的交点的情况，当抛物线与直线相切时，由=0，求得c=1；当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3,4,5.故
c=1,3,4,5
答案：D
【跟踪训练】在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(?1,2),(2,1),若抛物线与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是( )
A.?a??1或1/4?a<1/3
B.?1/4?a<1/3
C.?a?1/4或a>1/3
D.?a??1或a?1/4


例3：已知二次函数 (h为常数),当自变量x的值满足2?x?5时,与其对应的函数值y的最大值为?1,则h的值为( )
A.?3或6
B.?1或6
C.?1或3
D.?4或6

【跟踪训练】已知二次函数 (其中x是自变量)，当x?2时，y随x的增大而增大，且?2?x?1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）

答案：A


例4：已知函数 (m为常数)的图象上有三点：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),其中则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.?y1B.?y3C.?y1D.?y2解答：

【跟踪训练】平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过(?1,)、(0,)两点，其中m为常数。
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a,)、(a+2,)是抛物线上的两点,请比较与0的大小，并说明理由。
解答：


培优训练
1、二次函数的图像如下，下列结论正确的是（ ）


解答：

2、当时，函数的最小值为1，则的值为（ ）

解答：

3、
解答：


4、是关于x的二次函数,当x的取值范围是1?x?3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( )

解答：

5、如图，抛物线 (a,b,c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m,n).给出下列结论：
?
①2a+c<0；?
②若(?3/2,y1)，(?1/2,y2)，(1/2,y3)在抛物线上，则y1>y2>y3；?
③关于x的方程有实数解，则k>c?n；?
④当n=?1/a时，△ABP为等腰直角三角形．
其中正确结论是?______?(填写序号)．


6、二次函数的图象与一次函数y=x(1?x?2)的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是(　　)

解答：


7、已知抛物线的一段图像如下：
(1)确定a、b、c的符号；
(2)求a+b+c的取值范围。

解析：

8、在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为D. 线段AB的两个端点分别为A(?3,m),B(1,m).
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)若该抛物线经过点B(1,m)，求m的值；
(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围。
解析：


9、在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标是（6，4），点A关于直线的对称点为B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（? ?）
解答：

10、在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C.
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围。
解答：