人教版高中数学必修五教案 1.1正弦定理和余弦定理

正、余弦定理（第一课时）
——高三第一轮复习课

一． 学情分析
学生通过必修5的学习，已了解正弦和余弦定理的内容，但如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，还需通过复习指导有待进一步提高．
二． 教材分析
本课为高三一轮复习，内容是必修5第1章解三角形．本章中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
解三角形是数学高考中重点考查内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理．高考对这一内容的考查既可能出现在填空题，也可能出现在解答题．填空题通常以考查三角形边角互化为主的小综合题形式出现，有一定难度；解答题主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合运用，难度虽然不大，但要求考生具有一定的运算能力和灵活运用正弦定理、余弦定理解题的能力。[]
三．教学目标
（一）知识与技能
(1)理解正弦定理、余弦定理的向量证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；
(2)能根据条件灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关综合问题；
（二）过程与方法
培养学生有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力。
（三）情感、态度价值观
通过三角函数、正弦定理、余弦定理、向量数量积等知识间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
四.教学重点
能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。与向量、不等式等其他知识的综合运用．
五.教学难点
正、余弦定理的探索和证明；合理选择正弦定理、余弦定理优化求解过程，解三角形中多解的取舍问题．
六.教学工具
多媒体
七.教学过程
（一）课前自主学习
1.知识梳理
（1）复习正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变形
形式
①
②　　
③
（2）三角形面积公式：
2.自我检测
用向量法证明余弦定理
（教材改编）在中，若，则 .
(教材第11页)在中，已知，则的形状 为 .
(教材改编)在中，已知，,，则的面 积为 .
设计意图：用导学案辅助教学，课前以填空题的形式引导学生自主完成正弦、余弦定理的内容、变形、证明及其应用等知识的梳理，并留有下列自测题。
（二）课堂师生互动
师生共同梳理：
1. 定理的证明
师：余弦定理、正弦定理有多种证明方法，请同学们回忆余弦定理的向量证法。
生1：因为,
.
师：上述证法简单明了，充分体现了向量的工具作用．这里运用了向量的什么知识实现了几何与代数的转化?
学生共同回答：向量的数量积公式．
师：正弦定理、余弦定理的向量证法，都是先构建三角形中的向量等式，然后利用向量的数量积运算将向量等式实数化，这是利用向量知识解决几何问题的一种重要方法与途径。
2.定理的应用
2.1 解三角形中的三种类型
师：如图，下列各三角形用正弦定理还是余弦定理求解?
① ② ③ ④
生2：三角形①②中已知两边(两角)及其一对角(对边)，可用正弦定理求解；三角形③④中已知三边和两边一夹角可用余弦定理求解．
生3：三角形②还可以用余弦定理构建关于边的一元二次方程求解．
师：归纳起来，三角形①可用正弦定理求解，三角形③④可用余弦定理求解，三角形②既可用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，这是可用正弦、余弦定理求解的三类三角形．
2. 2 边角互化的两条途径
师：说说自测2的解题思路，
生4：由平方差公式可得，.
由余弦定理，,.
师：说说自测题3的解题思路．
生5：利用正弦定理,,将边统一化为角，转化为代数问题
求解.即：,,
,或.或.
为等腰三角形或直角三角形.
生6：还能用余弦定理转化成边的关系，通过因式分解得，
或，为等腰三角形或直角三角形.
师：若把自测3变式为：在中，已知,则的形状为 .
生7：同样的方法求得只能为等腰三角形.
师：正弦定理、余弦定理的上述变形是实现三角形边角互化的两条常用途径．
目标检测1：
(1) 判断下面结论是否正确(请在括号中打 “√”或“×”)
①在中，必有．(　√　)
②当时，为锐角三角形；当时，三角形为直角三角形；当时，三角形为钝角三角形．(　×　)
(2)(2013·陕西)设的内角所对的边分别为，若，则的形状为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定[]
　解析：由，得，即,所以，由，得，所以为直角三角形．
(3) 在中，，，的面积为，则边的值为(　C　)
A．2 B. C. D．3
　解析：由，故，.
，所以.
2.3 三角形边角关系的一条规律
师：自测题4用什么定理求解?本题正确求解的关键是什么?
生8：用的是正弦定理，正确求解的关键是多解的取舍问题．
师：很好!“大边所对的角较大”是多解取舍时常用依据之一．再看下面的变式问题：在△ABC中，,,求.
师：本题的关键是如何判定角是锐角还是钝角．
生9：由得，所以，再由正弦定理得,即，故角一定是锐角．
师：两位同学用不同方法都得到了正确结论，但比较而言的后一种方法更具一般性．一般地，在中，有.这是解三角形中多解取舍依据的一条规律．
目标检测2：
(1)在中，若，，，则＝ 1
(2)若满足条件,,的有两个，那么的取值范围是
.
设计意图：回归教材，变换形式进行数学“三基”的再强化，教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想。因此在高三一轮复习中，要认真分析教材与高考的连接点，充分利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法(如本节课中余弦定理的向量证法中隐含的向量等式实数化的方法，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法．
复习过程中，不妨将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力，发展学生的联想、归纳、推理等思维能力．
3．典型例题讲解
例题.(2013北京高考题)在中,，，.
(1)求的值；(2)求的值．
解： (1),在中，由正弦定理得．所以
　　,而,故.
(2) 法1：.由(1)知，，在中的，
，，
，
由正弦定理可得．
法2：由余弦定理得到方程，
或．
这下课堂沸腾了，两种答案不一样，同学们立刻展开了讨论.
生10：首先站起来回答：当时，,又，与矛盾，舍去.
生11说：舍去.
生12说：因为，所以，而当时，，舍去.
生13回答说：故从而可得，
所以，.
师：本例中，通过对题设及结论的分析，合理选择正弦定理或余弦定理找到简便的解题途径是关键．解法2看似简单，其实因需排除增解实属不易．对多解取舍除了依据前面讲到的“三角形中，大角所对的边较大或正弦值较大”外，本题中根据已知三角函数值估算出角的范围也是常用的方法．
探究：中，若有，三边之间之间应满足什么条件?
生14：由得，然后用余弦定理将角化成边．
生15：由得，用正弦、余弦定理将角化成边得
.
师：上面第一个同学虽然得到了三边间的关系式，但太复杂且不易化简，我们对此结论不满意．第二个同学的结论简单了很多，能否进一步化简?
生16：可通过因式分解得到或．
师(追问)：当时，的关系如何?
生17：当时，是一个等腰直角三角形，．
至此，学生发现结论“包含在结论中．由此，我们得到了令人满意的结论：在中，若，则．
正当我们要结束本题的讨论时，班内平时不大说话的同学表示他有更简单的解法．
生18：由，得，即．又由正弦定理得，化简即得．
师：这真是一种大胆而巧妙的证法．其大胆之处是敢于将变形为，打破传统思维模式(用二倍角公式)，其巧妙之处是联用正弦定理、余弦定理化角为边，收到了意想不到的效果．
目标检测3：
（1）如图．在中，是上
一点，且,求的长．
（2）(2014·课标全国Ⅰ)已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为________．
解(1)：法一：在中，由余弦定理得
再在中，由余弦定理得
法二：由可知,两边平方的，再在△中，由余弦定理可求得,从而可求出,问题获得解决.
法三：由可知,两边平方的，.所以.
法四：根据题意可知．又由,得，在△和△中分别由余弦定理得,解得．
师：解三角形问题归根到底是几何问题，因此解题中常需综合运用正弦定理、余弦定理及三角、向量等知识以达到简化解题过程的目的.
(2)答案　
解析　∵，，
又可化为，
∴，，∴.
∴，∴.
∵中，
（“”当且仅当时取得）
.
设计意图：高三数学复习课容量大、时间紧，课堂上教师一言堂、满堂灌的现象较普遍。实际上，高三数学复习中，教师精心选择好的素材和试题，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，这不仅不会影响复习的进度，还会使高三课堂更充满活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位。
（三）课堂小结
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
（3）三角形面积公式的应用原则：
①对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
（四）作业：《世纪金榜》的《正、余弦定理》
八. 教学反思
(1)回归教材，变换形式进行数学“三基”的再强化高三数学复习要重视回归教材，已是全体高三教师的共识．但在回归教材的时间节点上，目前比较通行的是在高三一轮、二轮复习结束后距高考一个月的时间内进行，作为一轮与二轮全面、强化复习后的查漏补缺、“保温”训练．这项工作固然必要，但数学“三基”的落实、数学素养的形成在平时，而非一朝一夕之功．教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想，因此在高三一轮复习中，要认真分析教材与高考的连接点，充分
利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法(如本节课中余弦定理的向量证法中隐含的向量等式实数化的方法)，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法．
(2)注重联系，“合纵连横”进行知识体系的再建构高三一轮复习的重点是紧扣教材，夯实“三基”，但如果仅停留在教材知识的简单重复与罗列上，无法激起学生主动参与的兴趣．复习过程中，不妨将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力，发展学生的联想、归纳、推理等思维能力．
(3)突出探究，着眼能力进行核心原理的活运用
高三数学复习课容量大、时间紧，课堂上教师一言堂、满堂灌的现象较普遍．实际上，高三数学复习中，教师精心选择好的素材和试题，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，这不仅不会影响复习的进度，还会使高三课堂更充满活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位。