人教版高中数学必修四教案 第二章平面向量的坐标运算

2.3.3平面向量的坐标运算
授课教师：三明一中 徐锦灵
【教学目标】　　
1．通过探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、数乘的坐标表示方法，理解并掌握平面向量的坐标运算，进一步培养学生的运算能力；
2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解方程的思想、数形结合的思想以及认识事物之间的相互联系，培养学生辨证的思维能力.
【教学重难点】
教学重点:平面向量的坐标运算；
教学难点:对平面向量坐标运算的理解．
【教学过程】
一、复习引入
1.平面向量的坐标定义：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x, y，使得＝xi＋yj，我们把有序数对（x, y）叫做向量的坐标，记作＝（x, y）.
2. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为起点的向量的坐标就是点A的坐标.
3.关于向量坐标的说明：
（1）在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序数对唯一表示；
（2）向量的坐标与它在坐标平面内的具体位置无关，只与它的大小、方向有关.
向量既然可以用坐标来表示，那么向量的运算是否也可以通过坐标运算来完成呢？这就是我们今天要探究的问题：平面向量的坐标运算.（板书课题）
二、新知探究
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1, y1)，=(x2, y2)，则向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
－＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λ＝λx1i＋λy1j.
思考2：根据向量坐标的定义，向量＋，－，λ的坐标分别是什么？
＋＝(x1＋x2，y1＋y2);
－＝(x1－x2，y1－y2);
λ＝(λx1，λy1).
结论：两个向量和与差、数乘的坐标运算法则：
①两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；
②实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量的坐标是什么？
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去相应起点的坐标.
思考4：你能在图中标出坐标为的P点吗？
在平面直角坐标系内，作向量，因向量的坐标就是点P的坐标，故得P点位置.
再次强调：
1．任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关；
2．当把坐标原点作为向量的起点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.
三、典型例题
例1、已知四点.
（1）求向量的坐标； （2）求向量的坐标.
解：（1）
（2）＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).
点评：利用平面向量的坐标公式及坐标运算法则直接求解.
变式训练1：已知，，求，的坐标；
解：
.
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2，1)、B(-1，3)、C(3，4)，求顶点D的坐标.
解：设点D的坐标为（x,y）,则,
又，故，即，解得：，所以顶点D的坐标为（2，2）.
另解： ，所以顶点D的坐标为（2，2）.
思考5：你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？
法一：通过设所求点的坐标，利用向量相等条件，运用了方程思想求解；
法二：无需设点坐标，利用向量相等及向量加法的三角形法则，运用了数形结合的思想方法.
点评：考查了向量相等以及向量的坐标运算法则.
变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标并使这四点构成平行四边形的四个顶点.
分析：注意与例2的区别，有三种位置关系
例3、已知，若，求向量的坐标.
解：（法一）设，则由已知得
，所以
∴，解得：，即
∴. （通过设点的坐标，纯粹使用向量的坐标运算求解）
法二：
. （不设坐标，利用向量线性运算求解）
法三：
.
（利用向量坐标与点的坐标的关系求解，即以原点为起点的向量坐标就是向量终点的坐标）
四、课堂练习：学案P46 知能达标演练
五、课堂小结
1. 主要知识：主要学习了平面向量的坐标运算法则；
常见方法：坐标法、向量加减法的三角形法则及数乘运算.
2.本节课学习过的思想方法：方程的思想，数形结的合思想等方法，强调今后学习中，要善于培养自己不断探索、发现，勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础.
六、作业：活页作业（十九）
七、板书设计
课题
复习引入
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公式推导
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例题
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例题
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