人教版高中数学必修二教案 3.2《直线的点斜式方程》

《直线的点斜式方程》教案
教学目标
1．使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程，并能根据条件，熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程.
2．会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题，并能根据方程画出方程所表示的直线.
3．培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力.
4．理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围.
教学重点与难点
重点：直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程.
难点：直线方程点斜式推导过程的理解.
教学过程
一、创设情景
师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么，我们能否用给定的条件(点P0的坐标和斜率，或P1，P2的坐标)，将直线上的所有点的坐标()满足的关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程.
二、探求新知
师：若直线经过点，且斜率为，求直线的方程.
生：(给学生以适当的引导)设点P()是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，
由斜率公式得：
，可化为：
①
〖探究〗：思考下面的问题：(不必严格地证明，只要求验证)
(1)、过点，斜率为的直线上的点，其坐标都满足方程①吗？
(2)、坐标满足方程①的点都在过点，斜率为的直线上吗？
生：经过探究和验证，上述的两条都成立.所以方程①就是过点，斜率为的直线的方程.
因此得到：
(一)、直线的点斜式方程：
其中()为直线上一点坐标，为直线的斜率.
方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？(让学生思考，互相讨论)
生1：不能，因为不是所有的直线都有斜率.
生2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示.
师：very good！
那么，轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程又是什么？
生：因为轴所在直线的斜率为=0，且过点(0，0)，
所以轴所在直线的方程是=0.(即：轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0.)
而轴所在直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但轴所在直线上的每一点的横坐标都等于0.
所以轴所在直线的方程为：=0.
师：那些与轴或轴平行的直线方程又如何表示呢？
生：(猜想)与轴平行的直线的方程为：；
与轴平行的直线的方程为：.
师：当直线的倾斜角为0°时，，即=0，直线与轴平行或重合，直线方程为：，或.
当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。这时直线方程为：，或.
经过分析，同学们的猜想是正确的.
师：已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线的方程.
生：因为直线的斜率为，与y轴的交点是P(0，b)，代入直线方程的点斜式，
得直线的方程为：
即：
(二)、直线斜截式方程：
②
我们把直线与轴交点(0，)的纵坐标叫做直线在轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式.
师：截距是距离吗？
生：不是，b为直线l在y轴上截距，截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，是一个实数，可正可负可为零；距离是线段的长度，是非负实数.
师：观察方程，它的形式具有什么特点？
生：左端的系数恒为1，右端的系数和常数均有几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
师：当直线倾斜角为90°时，它的方程能不能用斜截式来表示？
生：不能，因为直线没有斜率.
师：方程与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢？
生：当时，直线斜截式方程就是一次函数的表示形式.
三、例题分析
例1、直线经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线的点斜式方程，并画出直线.
师：分析并根据已知条件，先求得直线方程的斜率.代入直线的点斜式方程即可求得.
生：(思考后自主完成解题过程)
解：直线经过点P0(-2，3)，斜率是：.
代入点斜式方程得.
这就是所求的直线方程，如右图中所示.(画图时，
只需要再找到满足方程的另一个点即可.)
例2、已知直线
试讨论：(1)的条件是什么？(2)的条件是什么？
师：让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论.
生： (思考后互相交流意见、想法。)总结得到：
对于直线
四、课堂精练
课本P99-100练习1，2，3。
说明：通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式.
五、课堂小结
师生：通过本节内容的学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.求直线方程需要两个独立的条件(斜率及一点)，根据不同的几何条件选用不同形式的方程.
六、课后作业
P100 习题3.2 1.(1)、(2)、(3)、(5)、(6)