人教A版高中数学选修4-4第一讲坐标系复习小结教案

第一章 坐标系
考情分析
本节内容在高考中主要考查对极坐标概念的理解，点的极坐标和直角坐标的区别和相互转化，考查直线和圆极坐标方程的理解和应用，并且熟练进行转化。
基础知识
1.平面直角坐标系下的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
2．极坐标系
在平面内取一个定点O，由O点引一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的正方向 (通常取逆时针方)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对（称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．
3．极坐标与直角坐标的转化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：
顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
4、空间直角坐标与柱坐标的变换公式是

空间直角坐标与球坐标的变换公式是
题型一　极坐标和直角坐标的互化
【例1】设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________．
解析　∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为(，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝(x－)tan ，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1.
答案　ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1.
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．
解析　由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y可得，ρcos θ＝1,
ρsin θ＝－，解得ρ＝2，θ＝2kπ－(k∈Z)，故点P的极坐标为(k∈Z)．
答案　(k∈Z)
题型二　圆的极坐标方程的应用
【例2】在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________.
解析　注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2＝2.
答案　2
【变式2】在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．
解析　由曲线C：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.
答案　4
题型三　极坐标方程的综合应用
【例3】如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．
解　设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
【变式3】 从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．
解　设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)．
∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝.
又M在直线ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程．
重难点突破
【例4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(Ⅰ)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(Ⅱ)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1， B1，当α＝－时，l与C1， C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(Ⅰ)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(Ⅱ)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.
巩固提高
1．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
解：ρcos＝2化简为
ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.
设点P的坐标为(2cosα， sinα)，得P到直线l的距离d＝，
即d＝，其中cosφ＝，sinφ＝.
当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋.
2．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，曲线D为极坐标方程为ρsin(θ－)＝－.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由．
解：(1)由已知得
消去参数α，得曲线C的普通方程为
x2＝－，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin(θ－)＝－得曲线D的直角坐标方程为x－y－3＝0，
由消去y，得2x2＋x－3＝0，
解得x＝－(舍去)或x＝1.当x＝1时，y＝－2.
故曲线C与曲线D只有一个交点．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为(θ为参数，θ∈R.)试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．
解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，
设P(2cosθ，sinθ)，点P到直线l的距离为d＝＝，
所以当sin(θ＋)＝1时，d有最小值．
此时sinθ＝sin＝sincos －
cossin＝，
cosθ＝cos＝coscos ＋
sinsin＝，
所以点P的坐标为.
从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为.
4．经过点M(，0)作直线l，交曲线C：(θ为参数)于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程．
解：根据题意，设直线l的参数方程为
(t为参数)
曲线C化成普通方程得x2＋y2＝4.
将
(＋tcosθ)2＋t2sin2θ＝4.
化简整理得t2＋2cosθt＋6＝0，
∴t1＋t2＝－2cosθ，t1t2＝6.
由题意得|AB|2＝|MA||MB|，
而|AB|2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2，
|MA||MB|＝|t1t2|＝6，
即40cos2θ－24＝6，解得cosθ＝±，
∴sinθ＝，k＝tanθ＝±.
所求直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.
5．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，
曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解析：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直经l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.