人教A版高中数学必修一1.3.1函数的最大（小）值教案

1.3.1函数的最大（小）值
一、教学目标：
知识与技能：
（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。
（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。
（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。
过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.
二．重点难点?
重点：理解函数的最值。
难点：运用函数的单调性求函数的最值。
三、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
四、教学过程
（1）情景导入
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.
观察与思考；

问题1. 这两个函数图象有何共同特征？
问题2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,
f(x)与M的大小关系如何?
（2）探究新知；　
问题1.函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。
问题2.函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。对应函数y=f(x)而言，即对于任意的，都有
函数最大值定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有________； （2）存在x0∈I，使得_______。
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
问题3.请同学们仿此给出函数最小值的定义
概念辨析
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得.并不是所有满足 的函数都有最大值M.如函数 ,虽然对定义域上的任意自变量都有，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.
三、学以致用
例1：如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】由图可以知道：当时，该函数取得最小值；
当时，函数取得最大值为；函数的单调递增区间有2个：和；
该函数的单调递减区间有三个：、和
例2.已知函数，求这个函数的最大值和最小值。
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1区间[2,6]上的减函数。因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.
例3.求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．
分析：分类讨论对称轴与所给区间的位置关系求解．
解析：函数f(x)图象的对称轴方程为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
①当a＞1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
③当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为
f(x)min＝
五、当堂检测
1.函数的最大值是　( D )

2. y=x2+的最小值为( C )
A.0 B. C.1 D不存在.
3. 函数在区间上的最大值为，则________．
4. 函数的最大值为　　　　　.
5．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．
解：函数的对称轴为，
当时，则当时函数取最大值，即即；
当时，则当时函数取得最大值，即，即
所以，或。
六、课堂小结
1.函数的最大和最小值的定义；
2.利用图象法，单调性法求最值；
3.二次函数的最值问题，注意数形结合及分类思想。
七、课后作业
课时练与测
八、教学反思