人教A版高中数学必修一1.3.1函数的单调性教案

1.3.1函数的单调性
一、教学目标：
1.知识与技能：
从形与数两方面理解函数单调性的概念。初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。
2.过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.
二．重点难点?
重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。
难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。
三、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
四、教学过程
（1）情景导入
观察与思考；
1.说出上述情境中图像的变化规律。
2.描述上述情境中气温或记忆保持量随时间变化规律。
（2）探究新知；　
问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f(x)是如何变化的？



问题2：你能根据自己的理解说说什么是递增什么是递减?
问题3：你能借助数学符号，将上述“函数值随着自变量增大逐渐增大”描述出来吗？
当x增大时 f(x)随着增大，即：当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)。
增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数。
概念辨析
问题4：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）
师生共同得出：定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数。
例1 下图是定义在区间上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
①单调区间是定义域的子集；
②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；
③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．
例2.证明函数在上是减函数．
证明：任取, 取值　　　　
　　　　　　　　　
　　∴即
∴函数在上是减函数
跟踪训练1. 画出反比例函数的图象。
1）这个函数的定义域I是什么？
2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。
总结证明函数单调性的步骤：1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且；
2.作差:差； 3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；
4.判号:确定的正负； 5.下结论:由定义得出函数的单调性。
跟踪训练2.证明 函数的单调性。
五、当堂检测
1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是（B　）
2. 若函数是上的增函数，对于实数，若，则有(A　)


3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是，则f(x)的单调递减区间是________．
4. 函数y=的单调减区间为(－∞，0).
5．讨论函数在上的单调性.
解：
设，则∴
∵
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数；
六、课堂小结
1.增函数、减函数的定义；
2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.
3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论。
七、课后作业
课时练与测
八、教学反思