人教A版高中数学必修五第一章解三角形小结与复习教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五第一章解三角形小结与复习教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-24 15:54:48 | ||
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文档简介
第一章 解三角形--小结与复习
一、教学目标：
知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关解三角形的基本问题；
过程与方法：
通过对典型问题的解决，提高知识的综合运用能力，加深对正、余弦定理的理解；
情感、态度与价值观：
激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二．重点难点?
重点：运用正、余弦定理解决解三角形问题
难点：对知识的综合运用能力
三、教材与学情分析
首先通过对知识的梳理，达到知识的系统化。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，引导学生分析问题，提高解题能力。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）知识梳理：
1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．
2：应用举例
①距离问题， ②高度问题， ③ 角度问题， ④计算问题．
（二）典例解析
题型一. 利用正、余弦定理解三角形
例1.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.又由正弦定理得sin B＝＝＝，由题设知0＜B＜，
所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，
故由正弦定理得AD＝＝＝＝.
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
[变式训练1](1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝
(a－c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
(1)A (2)
[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，
即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.
(2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.又∵＝，∴b＝＝＝.]
题型二. 判断三角形的形状
例2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B
或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，
那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，
因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.
法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.]
题型三. 与三角形面积有关的问题
例3.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.
[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[变式训练3] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝
(2)由已知得absin C＝.又C＝，所以ab＝6
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋
题型四. 解三角形应用问题
例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
100 [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．]
例5.在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？
[解] 设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
根据余弦定理，可得BC＝＝，
由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，
因此BC与正北方向垂直.于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，又＝，
即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时.
[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：
(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；
(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；
(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．
[变式训练4] 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
10 [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．]
[变式训练5] 如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．
5 可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．
设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，即352＝＋x2－x2·cos 150°，
整理得x＝5，所以此电视塔的高度是5米．]
[变式训练6] 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝.
六、课堂小结
1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3.解三角形应用题的两种情形
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关解三角形的基本问题；
过程与方法：
通过对典型问题的解决，提高知识的综合运用能力，加深对正、余弦定理的理解；
情感、态度与价值观：
激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二．重点难点?
重点：运用正、余弦定理解决解三角形问题
难点：对知识的综合运用能力
三、教材与学情分析
首先通过对知识的梳理，达到知识的系统化。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，引导学生分析问题，提高解题能力。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）知识梳理：
1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．
2：应用举例
①距离问题， ②高度问题， ③ 角度问题， ④计算问题．
（二）典例解析
题型一. 利用正、余弦定理解三角形
例1.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.又由正弦定理得sin B＝＝＝，由题设知0＜B＜，
所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，
故由正弦定理得AD＝＝＝＝.
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
[变式训练1](1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝
(a－c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
(1)A (2)
[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，
即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.
(2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.又∵＝，∴b＝＝＝.]
题型二. 判断三角形的形状
例2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B
或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，
那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，
因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.
法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.]
题型三. 与三角形面积有关的问题
例3.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.
[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[变式训练3] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝
(2)由已知得absin C＝.又C＝，所以ab＝6
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋
题型四. 解三角形应用问题
例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
100 [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．]
例5.在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？
[解] 设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
根据余弦定理，可得BC＝＝，
由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，
因此BC与正北方向垂直.于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，又＝，
即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时.
[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：
(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；
(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；
(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．
[变式训练4] 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
10 [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．]
[变式训练5] 如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．
5 可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．
设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，即352＝＋x2－x2·cos 150°，
整理得x＝5，所以此电视塔的高度是5米．]
[变式训练6] 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝.
六、课堂小结
1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3.解三角形应用题的两种情形
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思