人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理教案

1.2余弦定理
一、教学目标：
知识与技能：
能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：
培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观：
让学生主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的逻辑性和严谨性，形成学习数学知识的积极态度。
二．重点难点?
重点：余弦定理的发现和证明过程及其定理的简单应用。
难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路。
三、教材与学情分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（5）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》第一课时。“余弦定理”是“解三角形”中的重要定理，在高考中属于“掌握”层次。在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边”和“边、边、边”问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。
在学习本节课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边”和“角”的互化也有了进一步的认识。能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边”和“已知两边和其中一边的对角”的三角形问题。故创设一个“已知三角形两边及夹角”来解决三角形的例子，学生发现不能用上一节所学知识来解决这一问题，从而引起好奇并激发起学习的兴趣。但由于学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）知识回顾
1.正弦定理：
2.运用正弦定理解决的两类解三角形问题：
（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；
（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形。
（二）问题的提出：在中，，你能求边长吗？
（这是一个已知三角形的两边及两边的夹角解三角形的问题，无法使用正弦定理解决，引起学生与已有知识产生“认知冲突”，激发探究的积极性。）
（三）讲授新课
【探索研究】
已知三角形的两边及其夹角，由三角形全等的判定可知三角形是唯一存在的。用正弦定理试求，发现因、均未知，所以较难求边。联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
师：已知两边、及其夹角，求c边的特殊三角形是否见过？
生：在中， 时，就可求出边了。
师：非常好。若、边的长短不变，变换的大小时，与有什么大小关系呢？是锐角或钝角时，与之间有什么等量关系呢？我们一起来探究一下。
由于涉及边长问题，且由特殊三角形看出三边之间有平方关系，在向量中，即表示向量的有向线段的长的平方，故可以考虑用向量来研究这个问题。
如图，设，，，则，
则
即
同理，让学生利用相同方法推导出：

于是得到定理：
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积
的两倍。即；；
思考：用坐标方法怎样证明余弦定理？还可以探究其他方法吗？
【解读定理】
引导学生观察余弦定理，得出了三边长与其中一角的具体关系，并发现与，与，与之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现。从方程的角度看，等式中有四个量，已知其中三个量就可求出第四个量。
思考：能否由已知三边求出一角？
（由学生推出）余弦定理的推论：
； ；
从而知余弦定理及其推论的基本作用：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
联想勾股定理，与余弦定理之间有什么联系呢？
（学生总结）在中，，
由此可知：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
（引导学生观察，与探索研究呼应）
当时，，具体而言，若是锐角或钝角时与之间有什么关系呢？若，则，而，故 ，即为钝角；若，则，故是锐角。
即是锐角
是直角 是直角三角形；
是钝角 是钝角三角形。
由此，使用余弦定理还可以判断三角形的形状。
【定理应用】
例1.在中，已知，，，解三角形（角度精确到，边长精确到）。
（方法一）解：根据余弦定理，

所以 ；由余弦定理得，。因为是最小边，
所以是锐角。利用计算器得；
引导学生观察，使用正弦定理求角时，注意采用性质“大边对大角”来讨论角的个数。
方法二：当求出时，可由余弦定理的推论利用计算器求出
，求得，进而再求出B.
此时，应用了余弦定理的推论来解决已知三边解三角形的问题，做到一题多解、多题一解，又回避了使用正弦定理讨论角的个数时易发生的错误。
六、课堂小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思