人教A版高中数学必修四 三角函数小结与复习教案

1.7 三角函数-----小结与复习
一、教学目标：
知识与技能：
回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。
过程与方法：
通过对基本知识的梳理回顾，帮助学生形成知识网络。由基本问题的解决，促使学生形成解题技能。
情感、态度与价值观
通过章节复习培养学生总结归纳能力。在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．
二．重点难点?
重点：基本知识的回顾及基本问题的解法
难点：知识的综合运用能力。
三、教材与学情分析
通过章节复习引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
一、构建知识网络，完善认知体系

二、归纳基本题型，形成解题技能
专题一　三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1]　(1)设角α属于第二象限，＝－cos ，试判定角属于第几象限．
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．
又＝－cos ≥0，所以cos ≤0.
所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．
综上所述，是第三象限角．
(2)3tan x＋≥0，即tan x≥－.
所以kπ－≤x归纳升华
1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．
2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．
变式训练1　(1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的正切值．
解：(1)因为θ为第四象限角，所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.
(2)因为θ∈，所以cos θ<0， 所以r＝＝＝－5cos θ，
故sin α＝＝－， cos α＝＝，tan α＝＝－.
专题二　同角三角函数的基本关系与诱导公式
在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．
[例2]　已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝
＝＝＝.
法二：由已知＝－4，解得tan θ＝2，即＝2，所以sin θ＝2cos θ，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝＝＝.
归纳升华
　三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．
变式训练2. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝
＝，所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.
答案：D
专题三　三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例3]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
解：(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin(2x＋φ)－1.当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝.
所以所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，
最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．
归纳升华
1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，
，π，π或2π求φ.
2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．
变式训练3.　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C．0　　　D．－
解析：由题意得g(x)＝sin＝sin为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋.令k＝0，得φ＝.
答案：B
专题四　三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[例4]　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z.
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是
归纳升华
1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．
变式训练4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B. C．0 D．－
解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，
又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，即f＝f＋sin＝0，
所以f＝，所以f＝f＝f＝.
答案：A
专题五　转化与化归思想
化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin x来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．
[例5]　求函数y＝sin的单调区间．
解：将原函数化为y＝－sin.由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递减．
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递增．
故原函数的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)．
归纳升华
1．求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数是关键．
2．在求形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．
变式训练5.　已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
解：y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.令t＝sin x，因为|x|≤，所以－≤t≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－＋，
所以当t＝－时，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－＋＝.
六、课堂小结
1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。
2.构建知识网络，形成解题技能，发展综合能力。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思