高中数学必修一 2.1.1《指数与指数幂的运算》教案

《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质
四、教学难点
教学难点：根式概念的理解
五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
七、教学环节
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
回顾初中时的整数指数幂及运算性质.
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
老师提问，
学生回答.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习
引入
观察以下式子，并总结出规律：＞0
①
②
③
④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
即：
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”从而推广到正数的分数指数幂的意义.
数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.
形成
概念
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．
让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．
深化
概念
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
（2）
（3）
若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.
即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)
所以，是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂
是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
让学生讨论、研究，教师引导．
通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
应用
举例
例题
例1（P56，例2）求值
；；；.
例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）
；；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：；
；
.
课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题
补充练习：
1. 计算：的结果；
2. 若
.
学生思考，口答，教师板演、点评．
例1解：
①
；
②
；
③
；
④
.
例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：
；
；
.
练习答案：
1.解：原式=
==512；
2.解：原式=
=.
通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．
归纳
总结
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
先让学生独自回忆，然后师生共同总结．
巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．
课后
作业
作业：2.1 第二课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力