4.1.2圆的一般方程 学案

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4.1.2圆的一般方程

一、圆的一般方程
1．圆的一般方程的定义
当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径_________________.
2．圆的一般方程的推导
把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取，得：
①.
把①的左边配方，并把常数项移到右边，得.
当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；
当时，方程只有实数解，所以它表示一个点____________；
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
3．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系是：
在圆内?_______________________，
在圆上?_______________________，
在圆外?_______________________.
二、待定系数法求圆的一般方程
求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
①根据题意，选择____________________；
②根据条件列出关于或的________；
③解出或，代入标准方程或一般方程．
知识参考答案：
一、1．
2．
3．
二、①标准方程或一般方程 ②方程组
【例1】若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋1＝0对称，则a＋b等于(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
答案：C
解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝.
【例2】 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是
A．1
C．m< D．m>1
【答案】B
【解析】由于二元二次方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示一个圆，则D2+E2-4F=16m2+4-20m>0，解得m>1或m<.
【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程.
【解析】设圆的一般方程为.
由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得，
设圆在x轴上的截距为x1,x2,
则x1,x2是方程x2+Dx+F=0的两个根,得x1+x2=-D.
设圆在y轴上的截距为y1,y2,
则y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两个根,得y1+y2=-E.
由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.　③
联立①②③,解得D=-2,E=4,F=-20,
故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
【例4】10．圆C：x2＋y2－2x－6y＋9＝0关于直线x－y－1＝0对称的曲线方程为(　　)
A．x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0
B．x2＋y2－6x－2y＋9＝0
C．x2＋y2－8x＋15＝0
D．x2＋y2－8x－15＝0
答案：C
解析：圆(x－1)2＋(y－3)2＝1的圆心为(1,3)，r＝1，设圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为(x，y)，则，解得，∴对称点(4,0)即为对称圆的圆心．又∵圆半径始终不变，∴圆C关于直线x－y－1＝0的对称曲线为(x－4)2＋y2＝1，即x2＋y2－8x＋15＝0.

【例5】12．直线y＝－x＋b与曲线y＝有且只有两个公共点，则b的取值范围是(　　)
A．1≤b＜2 B．2≤b＜2
C．－1＜b＜1 D．－2＜b≤－2
答案：B
解析：由图可知，2≤b＜2.
【例6】已知点在圆外，求的取值范围.
【正解】∵方程表示圆，∴，即，解得
又∵点在圆外，∴，解得或.
综上所述，的取值范围是．

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1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　　)
A.π　　　B．2π
C．2 π D．4π
答案：C
解析：求得圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的半径r＝，即得其周长为2 π，故选C.
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
答案：A
解析：∵圆心在y＝x上，∴D＝E.
3．设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．不确定
【答案】B
【解析】将原点坐标代入圆的方程得，∵，∴，∴原点在圆外．
4．与圆同圆心，且过的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】把圆化成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：，把代入所设方程，得：∴，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.


5．已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)
A. B．3＋
C．14－6 D．14＋6
答案：D
解析：由题意，知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为＝，故x2＋y2的最大值为(3＋)2＝14＋6.
6．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案：C
解析：令a＝0，a＝1得方程组
解得所以C(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
7．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．(－∞，0)
C．(，＋∞) D．(－∞，]
答案：A
由x2＋y2－x＋y＋m＝0，得(x－)2＋(y＋)2＝－m.∵该方程表示圆，∴－m＞0，即m＜.

8．圆x2＋y2－4x－5＝0上的点到直线3x－4y＋k＝0的最大距离是4，则k的值是(　　)
A．－1 B．－11
C．1或－11 D．－1或－11
答案：D
解析：∵d＝，∴d＋r＝4，又r＝3.
∴k＝－1或－11.
9．当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+2=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为
A．x2+y2-2x+6y=0 B．x2+y2+2x+6y=0
C．x2+y2+2x-6y=0 D．x2+y2-2x-6y=0
【答案】C【解析】直线方程可化为(x+1)a-(x+y-2)=0，直线过定点,即对任意的实数a，方程恒成立，故有,解得，即直线过定点C(-1,3)，故所求圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=10，即x2+y2+2x-6y=0.
10．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是(　　)
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
答案：A
解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为
d＝＝，
所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC＝×|AB|×＝×2 ×＝3－.


11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
解析：由题意，知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4.将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，所以a－b＜1.

12．设直线与圆相交于两点,若,则圆的面积为 .
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，
由且圆心到直线的距离为，得，则
所以圆的面积为.


13．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是________．
答案：x＋y－4＝0
解析：直线AB的方程与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．


14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
答案：(0，－1)
解析：∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
15．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的方程．
解：(1)方法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
方法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.
因为直线BC的斜率kBC＝2，所以直线AD的斜率kAD＝－，
由直线的点斜式方程，得y－0＝－(x＋3)，
所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得
解得
所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.


16．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程．
解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，由r2＝－7t2＋6t＋1＞0，得－＜t＜1.
(2)由(1)知r2＝－7t2＋6t＋1
＝－7(t－)2＋，
∴当t＝时，rmax＝，此时圆的面积最大，对应的圆的方程为2＋(y＋)2＝.




















































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