高中数学新人教B版选修1-1课件：3.3.2利用导数研究函数的极值（23张）

课件23张PPT。3.3.2　利用导数研究函数的极值1.了解函数的极值和最值的有关概念.
2.会用函数的导数求函数的极值和最值.1.极值的概念
已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0,对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如果都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小值=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.名师点拨(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其附近都有意义.
(2)极值是一个局部概念,是相对某一点附近而言.
(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点,因而端点绝对不是函数的极值点.
(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个极小值不一定小于极大值.【做一做1】 在下图中x1是函数的极　　　　　值点,x2是函数的极　　　　　值点.(填“大”或“小”)?
答案:大　小2.求可导函数y=f(x)极值的步骤
(1)求导数f'(x).
(2)求方程f'(x)=0的所有实数根.
(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f'(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值;如果在f'(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.名师点拨极值点与导数为0的点的关系:
①导数为0的点不一定是极值点.
如函数f(x)=x3在x=0处的导数是0,但它不是极值点.
对于可导函数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件.
②函数的导数不存在的点也可能是极值点.
如函数f(x)=|x|,在x=0处,左侧(x<0时),f'(x)=-1<0,右侧(x>0时),f'(x)=1>0,当x=0时,f(x)=0,x=0是f(x)的极小值点,但f'(0)不存在.【做一做2】 方程f'(x)=0的根一定是函数f(x)的极值点吗?
答案:不一定3.求可导函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a,b)内的所有极值点.
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.名师点拨(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性.
(3)如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.【做一做3】 函数的最大值一定是函数的极大值吗?
答案:不一定.1.如何理解极值的概念?
剖析:极大值与极小值统称为极值.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处.2.导数为零的点一定是极值点吗?
剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f'(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数f'(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.题型一题型二题型三求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值:
(1)y=f(x)=3x3-x+1;(2)f(x)=x2ex.
分析:首先对函数求导,求得f'(x),然后求方程f'(x)=0的根,再检验方程根的左右两侧导数f'(x)的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思按照求函数极值的一般步骤求解即可.解答此类问题时要注意f'(x)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号,才能判断函数在x0处取得极值.解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.题型一题型二题型三 求函数的最值题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题.(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间[a,b]上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得.题型一题型二题型三易错题型
【例3】 已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.错解f'(x)=3x2-2ax-b.
由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,错因分析在x=1处有极值10,则x=1是f'(x)=0的根.但f'(x)=0的根并不一定是极值点,故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x=1处有极值.题型一题型二题型三正解f'(x)=3x2-2ax-b.
由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,
所以f(x)单调递增,不存在极值,故应舍去.
当a=-4,b=11时,满足题意.
所以a=-4,b=11.2函数y=x3-3的极大值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.不存在5已知函数f(x)=x3-2ax2+a2x在x=1处有极大值,求a的值.
分析函数f(x)=x3-2ax2+a2x在x=1处有极大值,则x=1是f'(x)=3x2-4ax+a2=0的根,将x=1代入上式,求出a的值,要验证函数f(x)是否在x=1处取得极大值.
解f'(x)=3x2-4ax+a2.
由题意得3-4a+a2=0,解得a=1或a=3.
验证知当a=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值,不满足题意,故舍去a=1;当a=3时,满足题意.
所以a=3.