高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用本章整合（23张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用本章整合（23张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1018.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-24 16:59:21 | ||
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文档简介
课件23张PPT。本 章 整 合专题一专题二专题三专题一 导数的概念及其几何意义
1.用定义求导数的一般步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);2.导数的几何意义:
由于函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.专题一专题二专题三应用1 已知f(x)在x=x0处可导, A.f'(x0) B.f(x0)
C.[f'(x0)]2 D.2f'(x0)f(x0)专题一专题二专题三应用2 设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.专题一专题二专题三专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值
1.求函数单调区间的步骤:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)计算导数f'(x);
(3)求出f'(x)=0的根;
(4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单调区间.
2.求函数极值的步骤:
(1)求导数f'(x);
(2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点;
(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.专题一专题二专题三3.求函数最值的步骤:
(1)求函数f(x)在[a,b]上的极值;
(2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.专题一专题二专题三应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.专题一专题二专题三解: (1)∵f(x)=ax3+x2+bx,∴f'(x)=3ax2+2x+b.
故g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.专题一专题二专题三专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等
1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.
2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决.
利用f(x)a恒成立?f(x)min>a的思想解题.
3.解极值应用的问题一般分三个步骤:
(1)建立函数关系式;
(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点;
(3)具体作出判断,得出结果.
其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.专题一专题二专题三提示:可利用构造函数求极值的方法予以证明,同时要注意到题中x>0这一隐含条件.专题一专题二专题三应用2 已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 .
(1)求m,n的值.
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.
提示:(1)切线的倾斜角为 ?切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1,从而求出m,进而求出n.
(2)不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立?f(x)最大值≤k-2 000,解不等式即可求得k.专题一专题二专题三因此,当x∈[-1,3]时,f(x)max=15.
要使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立,
则k≥15+2 000=2 015.所以,存在最小的正整数k=2 015使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立.3(福建高考)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b.
∵函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0.
∴12-2a-2b=0,即a+b=6.答案:D 4(重庆高考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )解析:由题意可得f'(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,此时xf'(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf'(x)<0,若x∈(0,+∞),
xf'(x)>0,所以函数y=xf'(x)的图象可能是选项C中的图象.
答案:C5(辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
解析:由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则φ'(x)=f'(x)-2>0.
∴φ(x)在R上是增函数.又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,
∴当x>-1时,φ(x)>φ(-1)=0,即f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4.故选B.
答案:B7(课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f'(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.(1)解:f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得
所以a=1.
(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,
设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,
所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,
所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.
综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
1.用定义求导数的一般步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);2.导数的几何意义:
由于函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.专题一专题二专题三应用1 已知f(x)在x=x0处可导, A.f'(x0) B.f(x0)
C.[f'(x0)]2 D.2f'(x0)f(x0)专题一专题二专题三应用2 设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.专题一专题二专题三专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值
1.求函数单调区间的步骤:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)计算导数f'(x);
(3)求出f'(x)=0的根;
(4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单调区间.
2.求函数极值的步骤:
(1)求导数f'(x);
(2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点;
(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.专题一专题二专题三3.求函数最值的步骤:
(1)求函数f(x)在[a,b]上的极值;
(2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.专题一专题二专题三应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.专题一专题二专题三解: (1)∵f(x)=ax3+x2+bx,∴f'(x)=3ax2+2x+b.
故g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.专题一专题二专题三专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等
1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.
2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决.
利用f(x)
3.解极值应用的问题一般分三个步骤:
(1)建立函数关系式;
(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点;
(3)具体作出判断,得出结果.
其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.专题一专题二专题三提示:可利用构造函数求极值的方法予以证明,同时要注意到题中x>0这一隐含条件.专题一专题二专题三应用2 已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 .
(1)求m,n的值.
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.
提示:(1)切线的倾斜角为 ?切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1,从而求出m,进而求出n.
(2)不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立?f(x)最大值≤k-2 000,解不等式即可求得k.专题一专题二专题三因此,当x∈[-1,3]时,f(x)max=15.
要使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立,
则k≥15+2 000=2 015.所以,存在最小的正整数k=2 015使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立.3(福建高考)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b.
∵函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0.
∴12-2a-2b=0,即a+b=6.答案:D 4(重庆高考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )解析:由题意可得f'(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,此时xf'(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf'(x)<0,若x∈(0,+∞),
xf'(x)>0,所以函数y=xf'(x)的图象可能是选项C中的图象.
答案:C5(辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
解析:由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则φ'(x)=f'(x)-2>0.
∴φ(x)在R上是增函数.又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,
∴当x>-1时,φ(x)>φ(-1)=0,即f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4.故选B.
答案:B7(课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f'(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.(1)解:f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得
所以a=1.
(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,
设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,
所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,
所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.
综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.