4.2.1直线与圆的位置关系 学案

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4.2.1直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系及判断
1．直线与圆的位置关系
（1）直线与圆____________，有两个公共点；
（2）直线与圆____________，只有一个公共点；
（3）直线与圆____________，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
①d>r?圆与直线_____________；
②d＝r?圆与直线____________；
③d（2）代数判定法：
由消元，得到一元二次方程的判别式，则
①?直线与圆____________；
②?直线与圆___________；
③?直线与圆____________．
二、弦长问题
设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法：
（1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 .

（2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在).

几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题.
知识参考答案：
一、1．（1）相交 （2）相切 （3）相离
2．（1）①相离 ②相切 ③相交
（2）①相交 ②相切 ③相离

【例1】已知直线方程，圆的方程.当为何值时，圆与直线：
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点？
【解析】方法一：将直线方程代入圆的方程化简、整理得，
.
∵，
∴当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
【例2】已知圆过点,且圆心在直线上.
（1）求圆的方程;
（2）若直线与圆交于两点,当最小时,求直线的方程及的最小值.
【解析】（1）设圆的方程为，
所以,解得.
所以圆的方程为.
（2）直线的方程可化为点斜式,所以过定点.
又点在圆内,当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最小.
因为,所以的斜率,所以的方程为,即,
因为,所以.
【例3】求圆x2+y2=10的切线方程,使得它经过点M(2,).
【解析】因为点M的坐标适合圆的方程,所以点M在圆x2+y2=10上,
由题可知圆心为C(0,0),则直线CM的斜率kCM=,因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以所求切线的斜率k=.
故经过点M的切线方程为y-=(x-2),整理得2x+y-10=0.
【例4】过点作圆的切线，求此切线的方程.

（2）若切线斜率不存在，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线的方程为.
综上，所求切线的方程为或
【例5】已知点在圆上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值与最小值；
（3）求的最大值与最小值.

（2）,它表示圆上的点到的距离的平方再加2，所以，当点与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点在圆的外部，所以点与点距离的最大值为，点与点距离的最小值为.又,所以的最大值为,最小值为.
（3）设，则表示动直线在轴上的截距，显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值.圆心到切线的距离等于圆的半径长2,则, 即,解得,所以的最大值为,最小值为.
【例6】已知圆和定点，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【正解】因为方程表示一个圆，所以，解得.又由错解知，要使在圆外，则，故.故选C.
课时同步训练
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
3．若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为(　　)
A．[0,4] B．[0,3]
C．[0,2] D．[0,1]

4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
5．已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为,则实数a的值为
A．±2 B．±3
C．±4 D．
6．设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是
A．3C．r>4 D．r>5
7．圆在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
8．已知直线l：x－y+4=0与圆C：(x－1)2+(y－1)2=2，则圆C上各点到l的距离的最大值与最小值的和为______.
9．已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线方程为________________．
10.设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程．


11．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有________条．





12．过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0
13．已知过点P(2，2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=
A． B．1
C．2 D．
14．设P(x,y)是圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点,则的取值范围是
A．(0,1) B．[0,2)
C．(-1,2) D．[0,+∞)
15．直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为(　　)
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
16．已知圆，直线.
(1)求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
(2)若圆与直线相交于，两点，求弦的长度的最小值.






1．【答案】B
【解析】当a＝0时，直线y＝0，显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝ （半径），也与该圆相交．
2．【答案】B
【解析】由题意知直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，可得<1，∴>1.∴点P(a，b)在圆外．故选B.
3．答案：A
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A(0，－1)在圆外，则当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，即d的最小值为0，最大值为＝4，所以d∈[0,4]

4．【答案】D
【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.

7．【答案】D
【解析】由圆变形为标准式得，圆心为A(2，0)，半径为2，则在点处的切线方程的斜率与直线AP的斜率之积为-1，故，则由点斜式方程可知切线方程为，即，故选D.
8．【答案】
【解析】由圆的标准方程得圆心C(1，1)，半径长r=，故圆心C(1，1)到直线l的距离d=，所以直线l与圆C相离，所以圆C上各点到l的距离的最小值为d－r=,最大值为d+r=．故圆C上各点到直线l的距离的最大值与最小值的和为.
9．【答案】
【解析】设圆心坐标为，则，解得或.又因为圆心在轴正半轴上，所以，圆心坐标为．又因为圆心在所求直线上，该直线与垂直，所以所求直线的方程为.
10．解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，
∴a＋2b＝0.①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，
∴()2＋2＝r2.③
由①②③可得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11.解析：圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．


12．【答案】A
【解析】x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为（1，－2），截得弦最长的直线必过点（2,1）和圆心（1，－2），∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A．
13．【答案】C
【解析】因为点满足圆的方程，所以P在圆上，又过点的直线与圆相切，且与直线ax-y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax-y+1=0平行，所以直线ax-y+1=0的斜率为，故选C.
14．【答案】D
【解析】设=k,则把y=kx代入(x-1)2+(y-1)2=1,得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0,由题意知该方程有解,所以Δ=4(1+k)2-4(1+k2)≥0,解得k≥0,即≥0,故选D.
15．答案：D
解析：∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l的距离为3.
当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(－4,0)，所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则圆心(－1,2)到直线l的距离为＝3，解之得k＝－，∴直线l的方程为－x－y－＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上所述，满足题意的直线l为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.
16．【解析】(1)方法一：直线恒过定点，且点在圆的内部，所以直线与圆总有两个不同交点.
方法二：联立方程，消去并整理，得.
因为，所以直线与圆总有两个不同交点.
方法三：圆心到直线的距离，
所以直线与圆总有两个不同的交点.
(2)，.
故弦的长度的最小值为4.































































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