人教A版高中数学必修一1.3.1单调性与最大（小）值教案

1.3.1　单调性与最大(小)值
第1课时

教学目标
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
重点难点
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．
教学方法
教师启发讲授，学生探究学习．
教学手段
计算机、投影仪．

创设情境，引入课题
课前布置任务：
(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．
下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．
图1
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．
归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
图2
预案：(1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．
(2)函数y＝x2在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．
(3)函数y＝在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？
预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．
【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数y＝x＋(x＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
图3
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．
问题2：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？
预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
(3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22，
所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2.
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．
3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题：
①已知f(x)＝，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数．
②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．
③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．
掌握证法，适当延展
【例】证明函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．
1．分析解决问题
针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，设元
f(x1)－f(x2)＝－求差
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)，变形
∵＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号
∴函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．定论
2．归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
问题：要证明函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有＞0可以吗？
引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．
2．作业
书面作业：课本习题1.3　A组第1,2,3题．

1．教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．
2．教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
3．教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
4．教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．
(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．
第2课时

教学目标
1．知识与技能
(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．
(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．
2．过程与方法
(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．
3．情感、态度与价值观
理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．
重点难点
教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．
教学难点：如何求一个具体函数的最值．

导入新课
思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址，新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙y m，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y＝2，x＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．
思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]；
③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]．
学生回答后，教师引出课题：函数的最值．
推进新课


(1)如图4所示是函数y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f(x)的图象．观察这三个图象的共同特征．
图4
(2)函数图象上任意点P(x，y)的坐标与函数有什么关系？
(3)你是怎样理解函数图象最高点的？
(4)问题(1)中，在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，如图5所示，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数y＝f(x)的图象有最高点C?
图5
(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？
(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
(7)函数最大值的几何意义是什么？
(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？
(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？
(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．
(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
(7)函数图象上最高点的纵坐标．
(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．
(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.
(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．

(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．
讨论结果：(1)函数最小值的定义是：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．
(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．

例1求函数y＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y＝的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．
解：设2≤x1＜x2≤6，则有
f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵2≤x1＜x2≤6，
∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，即函数y＝在区间[2,6]上是减函数．
∴当x＝2时，函数y＝在区间[2,6]上取得最大值f(2)＝2；
当x＝6时，函数y＝在区间[2,6]上取得最小值f(6)＝.
变式训练
1．求函数y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值．
解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1.
2．函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．
解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值．
设x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y＝t2＋2t－1是增函数，
则当t＝0时，函数y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1.
答案：－1
3．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．
解：函数图象如图6所示．
图6
由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题．
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；转化为求函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此时自变量t的值．
解：作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示，
图7
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.
即烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
变式训练
1．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A．cm2　　　B．4 cm2　　　C．3cm2　　　D．2cm2
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S，则S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2.当x＝2时，S取最小值2cm2.故选D.
答案：D
2．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润．
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答．利润＝(售价－进价)×销售量．
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝(x－8)[60－(x－10)·10]
＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)，
当且仅当x＝12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.

课本本节练习5.
【补充练习】
某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m≥0)满足x＝3－.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；
(2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．
解：(1)每件产品的成本为元，故2013年的利润为
y＝1.5××x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(万元)(m≥0)．
(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－－m取最大值21万元．

问题：求函数y＝的最大值．
解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，
故图象最高点是.
图8
则函数y＝的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x＜－时，函数y＝是增函数；
当x≥－时，函数y＝是减函数．
则当x＝－时，函数y＝取最大值，
即函数y＝的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
由y＝，得yx2＋yx＋y－1＝0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有实数根．
当y＝0时，关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0无实数根，即y＝0不属于函数的值域．
当y≠0时，则关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程，
则有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤.
∴函数y＝的最大值是.
点评：方法三称为判别式法，形如函数y＝(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2－4df＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0，得关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．

课本习题1.3A组　5,6.

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：
1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．
2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．