沪科版八年级数学上册第14章全等三角形单元测试卷解析版

全等三角形单元测试卷
考试范围：14章；考试时间：120分钟；
一、单选题（每题4分共40分)
1．下列是利用了三角形的稳定性的有（　　）个
①自行车的三角形车架；
②长方形门框的斜拉条；
③照相机的三脚架；
④塔吊上部的三角形结构．
A．1??????????????????????????????????????B．2??????????????????????C．3??????????????????? D．4
2．如图，已知的3条边和3个角，则能判断和全等的是（ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．△ABC≌△ADE，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，那么DE的长是（）
A.6cm B.5cm C.7cm D.无法确定
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．3对 B．4对 C．2对 D．5对
5．下列三角形不一定全等的是（　　）
A．有两个角和一条边对应相等的三角形
B．有两条边和一个角对应相等的三角形
C．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形
D．三条边对应相等的两个三角形
6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．下列四组条件中, 能使△ABC≌△DEF的条件有( )
①AB = DE, BC = EF, AC = DF; ②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF;
③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F; ④AB = DE, AC = DF, ∠B = ∠E.
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是(　　)
A．相等 B．互补 C．互补或相等 D．不相等
9．如图，已知△ABE≌△ACD，且∠B=∠C，则下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠BAD=∠CAE（3）AD=AE；（4）DB=EC．其中错误的个数为（　　）

A.0 B.1 C.2 D.3
10．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是(　　)

A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④


二、填空题（每题5分共20分)
11．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=______°．

12．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________．

13．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加一个与角有关的条件，可以是__________.

14．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．


三、解答题(满分90分)
15．如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

16．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，请解释其中的道理。

17．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1=∠3．

18．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE.

19．已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：OB=OC．
?
20．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．链接AD，求证：DE＝DF．

21．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．

（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD=AC．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F.
(1)求证：∠ACE=∠CBF；
(2)求证：AE=CF；
(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.

23．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F，若BC=8，CD=3，则CE=　 　.（不需证明）




参考答案
1．D
【解析】
【分析】
只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．
【详解】
①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性； ②长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性； ③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④塔吊上部的三角形结构，利用了三角形的稳定性，
故利用了三角形稳定性的有4个，
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．
2．B
【解析】
【分析】
甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
【详解】
解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与△ABC全等；
乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；
丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；
则与△ABC全等的有乙和丙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
3．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的书写，DE与BC是对应边，再根据全等三角形对应边相等即可求出DE的长度也就是BC的长度．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴DE=BC，
∵BC=7cm，
∴DE=7cm．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的规范书写问题，全等三角形的对应顶点的字母要写在对应位置上，还考查了全等三角形对应边相等的性质．
4．A
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定即可解题,见详解.
【详解】
解：由图可知AC=AC
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴△ABC≌△ADC（SSS）,
∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,
△ABO≌△ADO（SAS）, △CBO≌△CDO(SAS),
一共有三对全等,故选A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的识别,属于简单题,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键.
5．B
【解析】试题分析：根据全等三角形的判定：ASA或AAS可知：有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，故A不正确；
当有两边和一角对应相等的两三角形，只有当两边及其夹角对应相等时，即SAS，两三角形全等，故B正确；
根据一锐角对应相等时，直角和另一锐角也对应相等，故根据ASA或AAS可判断两三角形全等，故C不正确；
根据三边对应相等的两三角形全等（SSS），故D不正确.
故选：B.
点睛：此题主要考查了三角形全等的判定，解题关键是利用三角形全等的判定：SSS、SAS、AAS、ASA以及直角三角形的判定“HL”判断即可，注意解题时时刻要注意“对应”的应用.
6．D
【解析】
试题解析：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选D．

7．C
【解析】
【详解】
试题分析：①AB = DE, BC = EF, AC = DF，边边边；②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF，边角边；③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F，角边角；故选C.
8．C
【解析】
【分析】
第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
【详解】
第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，AC=AC′，高CD=C′D′，∴∠ADC=∠AD′C′，
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），∴∠CAD=∠C′AD′，
此时，∠CAB+∠C′AB=180°，是互补关系．
所以选“相等或互补”．

故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，应注意的是，三角形高的位置，解题时要多方面考虑．
9．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【详解】
∵△ABE≌△ACD，且∠B=∠C，
∴∠1=∠2，BE=CD，AD=AE，∠BAE=∠CAD，
∴BE?DE=CD=DE，∠BAE?∠DAE=∠CAD?∠DAE，
即BD=CE，∠BAD=∠CAE，
故（1）（2）（3）（4）正确；
故答案选：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的性质.
10．A
【解析】
【分析】
根据题目中所给的大部分选项先判断该证明哪两个三角形全等，然后对各选项采取排除法得到正确选项．
【详解】
∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠CAF．
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△ABE≌△ACF，
∴∠B=∠C，BE=CF．
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④．
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11．50°
【解析】试题解析：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD，
∴∠2=90°-∠CAD=50°．
12．稳定性
【解析】
做成三角形的支架是应用了三角形的稳定性，因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
13．∠DAC＝∠BAC或AC平分∠BAD
【解析】试题解析：一个与角有关的条件是：∠DAC＝∠BAC或AC平分∠BAD.
14．4或6
【解析】
设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即12=16?4x或4x=16?4x，
解得：x=1或x=2，
x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
点睛：本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点.
15．证明见解析
【解析】
【分析】
根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．
【详解】
∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
∴AD=BC，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC（ASA），
∴DE=CF.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
16．理由见解析
【解析】试题分析：由题意知AC=DC，BD=EC，根据∠ACB=∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解题．
试题解析：在△ABC和△DEC中，
AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），BC=EC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB=ED，
即量出DE的长，就是A、B的距离
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
试题分析：(1)由已知角相等，利用等式的性质得到，利用SAS即可得证；
(2)利用全等三角形对应角相等得到，再由及三角形内角和定理即可得证．
试题解析：，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．证明见解析
【解析】
试题分析：求线段相等，可把线段放进两个三角形中，求解三角形全等，由全等，即可得出线段相等．
试题解析：证明：∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠EBC，
∵∠3=∠4，
∴∠A=∠E，
又∵EC=AD，
∴△ABD≌△EBC.
∴AB=BE.

19．证明见解析.
【解析】
试题分析： ∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB．∴∠ACB=∠DBC，∴∠OCB=∠OBC，∴OB=OC（等角对等边）．
考点：1．直角三角形全等的判定；2．等腰三角形的判定．
20．证明见解析
【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，中线AD平分∠BAC，并且AD=BC，则∠BAD=∠C，AD=DC，又EA=CF，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．
试题解析：连接AD，如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°，
∴∠EAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：如果两个三角形中有两组对应边相等，并且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形性质．
21．详见解析.
【解析】
试题分析：（1）延长AO交CD延长线于点E，通过证明△AOB≌△EOD可以得到AO=OE，从而证明△ACE为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一性质即可证明CO平分∠ACD；
（2）由第（1）问△AOB≌△EOD可得AB=DE，又因为AC=CE，AC=CD+DE=CD+AB.
试题解析：

（1）如图，延长AO交CD延长线于点E，
∵O为BD中点，∴BO=DO，
在△AOB和△EOD中，，
∴△AOB≌△EOD，
∴AO=AE，
∵OA⊥OC，
∴AC=CE，
∴CO平分∠ACD；
（2）∵△AOB≌△EOD，
∴AB=DE,
∵AC=CE，CE=CD+DE，
∴AC=CD+DE=CD+AB.
点睛：（1）题目中出现中点可以利用“倍长中线造全等”的方法构造全等三角形.
（2）要证明一条线段等于两条线段之和，可以采用“截长补短”的方法构造全等三角形证明.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF=AE+EF
【解析】（1）∵AE⊥CM．BF⊥CM，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△ACE和△CBF中， ，
∴△ACE≌△CBF，∴∠ACE=∠CBF．
（2）∵△ACE≌△CBF，∴AE=CF．
（3）结论：BF=AE+EF．
∵△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，
∴BF=EF+CF=EF+AE．
23．（1）详见解析；（2）∠BAD=2∠EAF，理由详见解析；（3）CE=5.5.
【解析】试题分析：（1）将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合，然后证明△AFG≌△AFE，再利用全等三角形对应的边相等的性质不难证明；（2）首先延长CB至M，使BM=DF，连接AM，构造△ABM≌△ADF，再证明△FAE≌△MAE，最后将相等的边进行转化整理即可证明.
试题解析：
（1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：

则△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中， , ，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
（2）∠BAD=2∠EAF．理由如下：
如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中， ，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中， ，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
（3）CE=5.5
点睛：（1）在出现正方形或者等腰直角三角形的题目中，我们多采用旋转构造全等三角形的方法.
（2）遇到此类压轴题，第一问的思路方法可以为第二问、第三问所用.



试卷第4页，总5页


试卷第3页，总5页