沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形和等腰三角形单元测试卷解析版

轴对称单图形与等腰三角形单元测试卷
一、单选题(每题4分共40分)
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则点P应是△ABC的下列哪三条线段的交点（　　）
A．高 B．中线 C．垂直平分线 D．角平分线
3．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ? ? ? ? ）

A．10 B．8 C．5 D．2.5
4．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是

A. B. C. D.
5．如图，在△ABC中，∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，则AD＋BD与BC的关系是

A.AD＋BD＞BC B.AD＋BD＜BC
C.AD＋BD＝BC D.不能确定
6．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．如图：在下列三角形中，AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC.其中正确的是(　　)

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．已知等腰△ABC中，AD垂直于直线BC，垂足为点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为(　　)
A．45° B．75° C．45°或75°或15° D．60°
10．如图， 直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点， 点为上一动点， 当最小时， 点的坐标为　　

A． B． C．， D．，
二、填空题（每题5分，共20分)
11．如图，∠BAC=120°，AB=AC，AB=14，则AD=________．

12．点关于x轴对称的点的坐标是___________．
13．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为________．

14．如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D。下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ。其中正确的是________(填序号)。


三、解答题（满分90分)
15．如图，两个班的学生分别在C、D两处参加植树劳动，现要在道路AO、OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由。(保留作图痕迹，不写作法)

16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．

（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为 ；
（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为 ．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的长．

20．如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并说明你的猜想．

21．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝(AB＋AD)，求∠ABC＋∠ADC的度数．

23． 在学习了全等三角形和等边三角形的知识后，张老师出了如下一道题：如图，点B是线段AC上任意一点，分别以AB、BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE，连接CD、AE分别与BE和DB交于点N、M，连接MN．
(1)求证：△ABE≌△DBC．

接着张老师又让学生分小组进行探究：你还能得出什么结论？
精英小组探究的结论是：AM=DN．
奋斗小组探究的结论是：△EMB≌△CNB．
创新小组探究的结论是：MN∥AC．
（2）你认为哪一小组探究的结论是正确的？
（3）选择其中你认为正确的一种情形加以证明．



参考答案
1．C
【解析】
分析：观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
详解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．
故选：C．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
2．D
【解析】分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
详解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：D．
点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3．C
【解析】分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
详解：过点P作PM⊥OB于M．

∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选：C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
4．A
【解析】
【分析】
对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】
严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
5．B
【解析】
【分析】
首先利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，进而得出AC=AD+BD，进而利用在同一三角形中大角对大边得出即可．
【详解】
∵边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，
∴DB=DC，
∴DB+AD=AC，
∵∠A＞∠ABC，
∴BC＞AC，
∴AD+BD＜BC，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及同一三角形中角边关系，得出DB+AD=AC是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可．
【详解】
如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO=OB，AO=OC，
所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°．
即△ABC是钝角三角形．

故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BAC＞∠ABC+∠ACB是解答此题的关键，用了数形结合思想．
7．B
【解析】A选项中，作∠ABC或∠ACB的角平分线交对边于一点，可把原三角形分成两个小等腰三角形；
B选项中，由已知条件不能作一条直线把原三角形分成两个小等腰三角形；
C选项中，作∠BAC的角平分线交对边于一点，可把原三角形分成两个小等腰三角形；
D选项中，过点A作射线，把∠BAC分成一个36°的角和一个72°的角，就可把原三角形分成两三个小等腰三角形；
故选B.
8．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．
∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．
故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．
故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；
④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．
故本选项正确；
其中正确的是①③④．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．
【详解】
①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=BC，AB=BC，∴AD=AB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故选C．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
10．C
【解析】
【分析】
（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
【详解】
解：（方法一）如图所示

作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y=，
令y=中y=0，则0=解得：x=，
∴点P的坐标为.
故选C．
（方法二）如图所示

连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y=中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=中y=0，则=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（）.
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．
11．7
【解析】分析：根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
详解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°?∠BAC）＝（180°?120°）＝30°，
∴AD＝AB＝×14＝7．
故答案为：7．
点睛：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
12．（-2，-3）
【解析】∵关于轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点M（-2，3）关于轴对称的点的坐标为（-2，-3）.
13．25°
【解析】分析：先根据折叠的性质得到∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，再根据邻补角的定义得到180°?∠AEF＝∠1＋∠AEF，180°?∠AFE＝∠2＋∠AFE，则可计算出∠AEF＝42.5°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE＝77.5°，然后把∠AFE＝77.5°代入180°?∠AFE＝∠2＋∠AFE即可得到∠2的度数．
详解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，
∴180°?∠AEF＝∠1＋∠AEF，180°?∠AFE＝∠2＋∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝12（180°?95°）＝42.5°，
∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°?60°?42.5°＝77.5°，
∴180°?77.5＝∠2＋77.5°，
∴∠2＝25°．
故答案为：25°．
点睛：本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．①③④
【解析】
【分析】
①作辅助线，证明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP与AB不垂直，可以得∠Q不一定为30°；③根据等腰三角线三线合一得：EF=AF，由全等得：DF=FC，两式相加可得结论；④根据30°角所对的直角边是斜边一半可得结论．
【详解】
①过P作PF∥BQ，交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BQ，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=PA，
∵PA=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴PD=DQ；
所以①结论正确；
②由①得：△PFD≌△QCD，
∴∠DPF=∠Q，
∵△APF等边三角形，
∴∠APF=60°，
∵QP与AB不一定垂直，
∴∠Q不一定为30°，
所以②结论不正确；
③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，
∴EF=AF，
∵△PFD≌△QCD，
∴DF=DC，
∴DF=FC，
∴DE=EF+DF=AF+FC=AC，
所以③结论正确；
④在Rt△AEP中，∠A=60°，
∴∠APE=30°，
∴AE=AP，
∴AE=CQ，
所以④结论正确；
所以本题结论正确的有：①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30°角的性质，作辅助线构建全等三角形是本题的关键．
15．作图见解析，理由见解析.
【解析】
【分析】
因为M到两条道路的距离相等，且使MC=MD，所以M应是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点．
【详解】
如图，

∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点即为茶水供应点的位置．理由是：因为M是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点，所以M到∠O的两边OA和OB的距离相等，M到C、D的距离相等，所以M就是所求．
【点睛】
此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．
16．（1）8 （2）56°
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出△ADE的周长=BC，即可得出答案；
（2）由∠BAC=118°，即可得∠B+∠C=62°，又由DA=DB，EA=EC，即可求得∠DAE的度数．
【详解】
（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，
∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，
∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∠DAE=
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
17．
【解析】分析：连接AD，先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，再设BD＝x，则AD＝8?x，再根据勾股定理求出x的值即可．
详解：连接AD，

∵AB的垂直平分线交AB于E，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=8﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC=3，CD=8﹣x，AD=x，
∴AC2+CD2=AD2，
即32+（8﹣x）2=x2，
解得x=，
即BD=．
点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．（1）作图见解析 （-1，2） （2）作图见解析 （-2，-1）
【解析】
【分析】
（1）作出A，B，C关于y轴对称点A1，B1，C1，即可解决问题；
（2）作出A1，B1，C1的对称点A2，B2，C2，即可解决问题.
【详解】
（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为（-1，2）；
故答案为（-1，2）；
（2）△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2（-2，-1）；
故答案为（-2，-1）

【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
19．7.5
【解析】分析：延长CD交AB于点E，构建全等三角形：△ADE≌△ADC（ASA）．由全等三角形的对应边相等推知AE＝AC＝10，DE＝DC；根据BE＝CE，AB＝25，得出AB＝AE＋BE＝10＋2DC＝25，即可求得DC＝7.5．
详解：如图，延长CD交AB于点E．

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°．
∵在△ADE与△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA）．
∴AE=AC=10，DE=DC．
∵∠DCB=∠B，
∴BE=CE=2DC．
∴AB=AE+BE=10+2DC=25．
∴DC=7.5．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．注意此题中辅助线的作法．
20．AM＝PD＋PE＋PF，理由见解析
【解析】试题分析：连接AP、BP、CP，根据面积相等，又利用△ABC是等边三角形，即可得PE+PD+PF=AM.
试题解析：PE+PD+PF=AM，理轴如下：
连接AP、BP、CP，
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，
∴AB×PE+BC×PD+AC×PF＝BC×AM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴PE+PD+PF=AM．
21．当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【解析】
【分析】
分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【详解】
根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
∴3-t=t，
∴t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】
主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°是解本题的关键．
22．180°
【解析】
【分析】
延长AD过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件可证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠ABC=∠CDF，问题可得解．
【详解】
过C作CF⊥AD于F．
∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEA=90°，∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF=AE，CF=CE．
∵，∴2AE=AB+AD．
又∵AD=AF﹣DF，AB=AE+BE，AF=AE，∴2AE=AE+BE+AE﹣DF，∴BE=DF．
∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，∴△CDF≌△CEB（SAS），∴∠ABC=∠CDF．
∵∠ADC+∠CDF=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．
23．（1）证明见解析；（2）三个小组探究的结论都正确；（3）证明见解析
【解析】试题分析：
（1）由△ABD和△BCE都是等边三角形可得：AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°，这样可得∠ABE=∠DBC，从而可由“SAS”证得△ABE≌△DBC；
（2）由△ABE≌△DBC可得∠EAB=∠CDB，而由已知条件易证∠DBN=∠ABD=60°，结合AB=DB可证△ABM≌△DBN，就可得AM=DN；同理可证△EBM≌△CBN；由△EBM≌△CBN可得BM=BN，结合∠DBN=60°可得△BMN是等边三角形，从而可得∠MNB=60°=∠EBC，由此可得MN∥AC；故三个小组的探究结论都是正确的；
（3）根据（2）中的分析选择第一个结论证明即可；
试题解析：
（1∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
∵在△ABE和△DBC中，AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC，
∴△ABE≌△DBC；
（2）三个小组探究的结论都正确；
（3）选择证明：AM=DN，过程如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB=∠CDB，
∵∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠ABD=60°，
∵在△ABM和△DBN中，∠MAB=∠NDB，AB=DB，∠DBN=∠ABM，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM=DN.



试卷第2页，总5页


试卷第1页，总5页