(共29张PPT)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的范围、对称性、离心率等简单几何性质.
2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,并能根据几何性质解决一些简单问题.
3.理解直线与椭圆的位置关系.
椭圆的简单几何性质
【做一做1】 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )
答案:C
【做一做2】 椭圆x2+4y2=1的离心率为( )
答案:A
【做一做3】 椭圆16x2+9y2=144的焦点坐标是 ,顶点坐标是 .?
2.直线与椭圆的位置关系
剖析:(1)直线与椭圆有三种位置关系:
①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点;
②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点;
③相离——直线与椭圆没有公共点.
(2)直线与椭圆的位置关系的判断:
我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与椭圆的公共点问题,而直线与椭圆的公共点问题,又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题,而它们的方程所组成的方程组的解的问题又可以转化为一元二次方程解的问题,一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断,因此,直线和椭圆的位置关系,可由相应的一元二次方程的判别式来判断.判断方法:将直线方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
知识拓展由弦长公式可知,求弦长时可以不求出交点坐标,只需先将方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程,再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2),代入弦长公式即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
由方程求椭圆的几何性质
题型五
分析:先根据点在椭圆上,求出方程中实数m的值,再将方程化为标准形式,确定焦点位置及a,b,c的值,最后写出几何性质.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知椭圆的方程讨论其几何性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准a与b,再正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为 ( )
答案:D
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
利用椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是6,
(2)焦点在x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.
分析:因为要求的是椭圆的标准方程,所以可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件去构造关于参数的方程(组),利用解方程(组)求得参数.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
求椭圆的离心率
【例3】 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求椭圆的离心率的常见思路:一是先求a,c,再计算e;二是依据条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,先构造关于e的方程(组),再求解.注意e的取值范围:0题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:D
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
直线与椭圆的位置关系
【例4】 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
反思直线与椭圆之间有相交、相切、相离三种位置关系,即直线与椭圆有两个不同的公共点、唯一一个公共点、没有公共点.相应地,直线方程与椭圆方程联立组成的方程组有两组解、一组解、无解,消元后的一元二次方程对应的有Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)判断直线y=2x+6与椭圆是否有公共点?
因为Δ=62-4×2×5<0,
所以该方程组无解,即直线与椭圆没有公共点.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
解得m=±2,验证知Δ>0成立,
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点 忽视焦点位置的不确定性致错
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(共25张PPT)
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
1.了解椭圆的实际背景,体验从具体情境中抽象出椭圆的过程,了解椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及其几何图形.
1.椭圆的有关概念
(1)椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(2)椭圆的焦点与焦距
椭圆定义中两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
归纳总结平面内一动点P到两个定点F1,F2的距离之和与这两个定点F1,F2之间的距离的关系有三种情况:(1)当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,动点P的轨迹为椭圆;(2)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2;(3)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.
【做一做1】 到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
解析:∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|,
∴轨迹是一条线段.
答案:B
归纳总结1.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先确定焦点所在的坐标轴,再求a2,b2的值.
2.在椭圆的标准方程中,都有a>b>0,a>c>0.
3.椭圆焦点的位置可根据其标准方程中x2,y2项的分母的大小进行判断,即若x2项的分母大,则焦点在x轴上;若y2项的分母大,则焦点在y轴上.可简单记为:“谁大在谁上”.
解析:∵焦点(2,0)在x轴上,c=2,
∴a2=c2+b2=4+2=6,
?
答案:D
【做一做2-2】 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
答案:C
1.利用待定系数法确定椭圆的标准方程
剖析:求椭圆的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,可用两种方法来解决问题.
(1)如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的椭圆一定是标准形式,就可以利用待定系数法.首先建立方程,然后依据题设条件,计算出方程中的a,b的值,从而确定方程.有时方程有两个,即:
(2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求解.
2.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法
剖析:(1)定义法
用定义法求轨迹方程的思路是:观察、分析已知条件,看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.
(2)相关点法
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.
用相关点法求轨迹方程的步骤:
①先设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(x',y');
?
?
③将x',y'代入f(x,y)=0, 即得所求的轨迹方程.
题型一
题型二
题型三
题型四
用待定系数法求椭圆的标准方程
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思当不明确焦点在哪个坐标轴上时,通常应进行分类讨论,但计算较烦琐,此时,可先设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点的位置,再用待定系数法结合题目给出的条件求出m,n的值即可.经上述例题我们可以看出这类问题设椭圆的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求解更为有效.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
利用椭圆的定义求轨迹方程
【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.
分析:本题可先建立直角坐标系,再利用椭圆的定义得出点A的轨迹是椭圆,利用待定系数法求出方程即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.
由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|BC|+|AC|=18,得
|AB|+|AC|=10>|BC|=8.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=9.
反思利用椭圆的定义求轨迹方程,先由条件找出动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,若符合,再利用待定系数法求椭圆的方程.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2,
则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.
即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.
∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
题型一
题型二
题型三
题型四
椭圆定义的应用
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在椭圆中,由椭圆上的点及两个焦点所组成的三角形(可称为焦点三角形)引出的问题很多,在处理这些问题时,经常是利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决,还经常用到配方法、解方程及把|PF1|·|PF2|看成一个整体等来处理此类问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点 忽略椭圆标准方程中a≠b的条件致错
错因分析错解中虽然注意到了椭圆的标准方程中a2>0,b2>0这个条件,但忽略了当a=b时,方程并不是椭圆.
解得3故k的取值范围是(3,4)∪(4,5).
