24.1.2 垂直于弦的直径 课件
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(共23张PPT)
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.垂径定理及其推论
2.垂径定理及推论的应用
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
垂径定理及其推论
问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
1
垂径定理及其推论
O
O
O
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
1
垂径定理及其推论
证明 设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
O
A
D
C
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
A'
M
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD
∴MA=MA'
即CD是AA'的垂直平分线.
1
垂径定理及其推论
从上面的证明过程中我们可以知道：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D
)
)
)
)
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'
)
)
1
垂径定理及其推论
垂径定理：
垂直于弦的直径_______,并且平分_______________.
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径_________,并且___________________.
平分弦
弦所对的两条弧
垂直于弦
平分弦所对的弧
1
垂径定理及其推论
练一练：下列命题中，正确的是（ ）
A.平分弦的直线，必垂直于弧
B.垂直于弦的直线，必经过圆心
C.垂直平分弦的直线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径必垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C
2
垂径定理及推论的应用
例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱半径（结果保留小数点后一位）.
提示：根据顶点的提示，解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
2
垂径定理及推论的应用
A
B
R
解 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C
D
由题设可知AB=37 ，CD=7.23 .
∴ AD= AB=18.5，
OD=OC-CD=R-7.23.
2
1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即
=18.52+(R-7.23)2
解得R≈27.3（m）.
因此，赵州桥主桥拱半径约为27.3m.
2
垂径定理及推论的应用
练一练：如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为_______米.
0.5
随堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=（ ）
A.8 cm
B.9 cm
C.7 cm
D.6 cm
A
2.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
A
3.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译文：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸），问这块圆柱形木材的直径是多少？如图，请根据所学的知识计算：圆柱形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸
C.26寸 D.28寸
C
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为________.
(3,2)
5.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是________.
3
6.如图，直径AB垂直于弦CD于点E，CD=4，AE=8，⊙O的半径长为________.
4
17
7.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.
解得x=34.
解 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，
O
E
D
则AD=BD= AB=30 m，
2
1
DE=18 m.
设拱桥的半径为x m，
则(x-18)2+302=x2,
即拱桥的半径为34 m.
课堂小结
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
谢谢
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24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.垂径定理及其推论
2.垂径定理及推论的应用
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
垂径定理及其推论
问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
1
垂径定理及其推论
O
O
O
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
1
垂径定理及其推论
证明 设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
O
A
D
C
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
A'
M
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD
∴MA=MA'
即CD是AA'的垂直平分线.
1
垂径定理及其推论
从上面的证明过程中我们可以知道：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
⌒
⌒
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∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D
)
)
)
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即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'
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垂径定理及其推论
垂径定理：
垂直于弦的直径_______,并且平分_______________.
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径_________,并且___________________.
平分弦
弦所对的两条弧
垂直于弦
平分弦所对的弧
1
垂径定理及其推论
练一练：下列命题中，正确的是（ ）
A.平分弦的直线，必垂直于弧
B.垂直于弦的直线，必经过圆心
C.垂直平分弦的直线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径必垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C
2
垂径定理及推论的应用
例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱半径（结果保留小数点后一位）.
提示：根据顶点的提示，解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
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垂径定理及推论的应用
A
B
R
解 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C
D
由题设可知AB=37 ，CD=7.23 .
∴ AD= AB=18.5，
OD=OC-CD=R-7.23.
2
1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即
=18.52+(R-7.23)2
解得R≈27.3（m）.
因此，赵州桥主桥拱半径约为27.3m.
2
垂径定理及推论的应用
练一练：如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为_______米.
0.5
随堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=（ ）
A.8 cm
B.9 cm
C.7 cm
D.6 cm
A
2.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
A
3.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译文：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸），问这块圆柱形木材的直径是多少？如图，请根据所学的知识计算：圆柱形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸
C.26寸 D.28寸
C
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为________.
(3,2)
5.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是________.
3
6.如图，直径AB垂直于弦CD于点E，CD=4，AE=8，⊙O的半径长为________.
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7.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.
解得x=34.
解 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，
O
E
D
则AD=BD= AB=30 m，
2
1
DE=18 m.
设拱桥的半径为x m，
则(x-18)2+302=x2,
即拱桥的半径为34 m.
课堂小结
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
谢谢
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