24.1.3 弧、弦、圆心角 课件
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24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.圆心角
2.弧、弦、圆心角之间的关系
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
1
圆心角
问题1：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
B
A
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
1
圆心角
旋转90°
旋转270°
旋转300°
归纳：把圆绕圆心旋转任何一个角度，所得的图形都与原图形重合.
1
圆心角
O
r
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
B
A
圆心角 ∠AOB 所对的弧为________.
圆心角 ∠AOB所对的弦为________.
AB
AB
）
1
圆心角
练一练：下列图形中表示的角是圆心角的是（ ）
A
2
弧、弦、圆心角之间的关系
问题1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦A'B'相等吗？为什么？
O
B'
A
B
A'
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
那么弧AB与A'B'_______，
弦AB与弦A'B'_______.
相等
相等
2
弧、弦、圆心角之间的关系
我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合.
O
B'
A
B
A'
∵∠AOB= ∠A'OB'
∴射线OB与OB'重合
∵OA=OA',OB=OB'
∴点A与A'重合，点B与B'重合
因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合
）
）
∴AB=A'B'
.
）
）
AB=A'B'
2
弧、弦、圆心角之间的关系
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
O
r
O
r
2
弧、弦、圆心角之间的关系
弧、弦、圆心角之间的关系：
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角______，所对的弦______．
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角______，所对的优弧和劣弧分别_____．
相等
相等
相等
相等
2
弧、弦、圆心角之间的关系
例 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
）
）
C
A
B
O
证明 ∵AB=AC
）
）
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2
弧、弦、圆心角之间的关系
练一练：在同圆中，下列四个命题：
①圆心角是顶点在圆心的角；
②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
③两条弦相等，它们所对的弧也相等；
④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）
A.①②③④ B.①②④
C.②③④ D.②④
B
随堂练习
A
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠AOD=100°，若点C为BD的中点，则∠COB的度数为（ ）
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ）
A.AB＞CD
B.AB=CD
C.AB＜CD
D.不能确定
B
D
3.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ ）
①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
）
）
）
）
4.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________.
60°
5.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________.
AC=BC
6.如图，点O为半圆的圆心，C，D为半圆上的三等分点，AB为直径，则下列说法：
①AD=CD=BC；
②∠AOD=∠DOC=∠BOC；
③AD=CD=BC；
④△AOD沿OD翻折能与△COD重合.
其中正确的有___________.（填序号）
）
）
）
①②③④
7.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.
求证：AE=BF.
）
）
即∠AOE=∠BOF，
证明 ∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC.
又∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AE=BF.
）
）
∴AC∥OD.
8.如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD.
）
）
证明 连接OC.
∴∠BOD=∠COD.
∵OA=OC，
∵BD=CD，
）
）
∴∠A=∠C.
∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD，
∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD，
课堂小结
弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等．
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24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.圆心角
2.弧、弦、圆心角之间的关系
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
1
圆心角
问题1：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
B
A
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
1
圆心角
旋转90°
旋转270°
旋转300°
归纳：把圆绕圆心旋转任何一个角度，所得的图形都与原图形重合.
1
圆心角
O
r
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
B
A
圆心角 ∠AOB 所对的弧为________.
圆心角 ∠AOB所对的弦为________.
AB
AB
）
1
圆心角
练一练：下列图形中表示的角是圆心角的是（ ）
A
2
弧、弦、圆心角之间的关系
问题1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦A'B'相等吗？为什么？
O
B'
A
B
A'
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
那么弧AB与A'B'_______，
弦AB与弦A'B'_______.
相等
相等
2
弧、弦、圆心角之间的关系
我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合.
O
B'
A
B
A'
∵∠AOB= ∠A'OB'
∴射线OB与OB'重合
∵OA=OA',OB=OB'
∴点A与A'重合，点B与B'重合
因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合
）
）
∴AB=A'B'
.
）
）
AB=A'B'
2
弧、弦、圆心角之间的关系
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
O
r
O
r
2
弧、弦、圆心角之间的关系
弧、弦、圆心角之间的关系：
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角______，所对的弦______．
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角______，所对的优弧和劣弧分别_____．
相等
相等
相等
相等
2
弧、弦、圆心角之间的关系
例 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
）
）
C
A
B
O
证明 ∵AB=AC
）
）
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2
弧、弦、圆心角之间的关系
练一练：在同圆中，下列四个命题：
①圆心角是顶点在圆心的角；
②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
③两条弦相等，它们所对的弧也相等；
④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）
A.①②③④ B.①②④
C.②③④ D.②④
B
随堂练习
A
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠AOD=100°，若点C为BD的中点，则∠COB的度数为（ ）
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ）
A.AB＞CD
B.AB=CD
C.AB＜CD
D.不能确定
B
D
3.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ ）
①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
）
）
）
）
4.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________.
60°
5.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________.
AC=BC
6.如图，点O为半圆的圆心，C，D为半圆上的三等分点，AB为直径，则下列说法：
①AD=CD=BC；
②∠AOD=∠DOC=∠BOC；
③AD=CD=BC；
④△AOD沿OD翻折能与△COD重合.
其中正确的有___________.（填序号）
）
）
）
①②③④
7.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.
求证：AE=BF.
）
）
即∠AOE=∠BOF，
证明 ∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC.
又∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AE=BF.
）
）
∴AC∥OD.
8.如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD.
）
）
证明 连接OC.
∴∠BOD=∠COD.
∵OA=OC，
∵BD=CD，
）
）
∴∠A=∠C.
∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD，
∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD，
课堂小结
弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等．
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