高中数学人教A版必修4学案 3.2 简单的三角恒等变换 Word版含解析

3.2　简单的三角恒等变换
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
1.三角恒等变换
b
b
2.三角恒等变换的应用
b
b
知识导图
学法指导
三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差)角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.
1.半角公式
　 巧记“半角公式”
无理半角常戴帽，象限确定帽前号；
数1余弦加减连，角小值大用加号．
“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“ －”号．
2．辅助角公式
asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中tanφ＝.
　(1)辅助角公式
形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin(a ＋φ)的形式，其中tanφ＝，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝以及点(a，b)所在的象限来确定．
(2)辅助角公式的特殊情况
sinα±cosα＝sin；sinα±cosα＝2sin；
cosα±sinα＝2sin.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos＝ .(　　)
(2)若α是第一象限角，则tan＝ .(　　)
(3)对于任意α∈R，sin＝sin α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A.　　　B．－
C．± D．±
解析：因为α∈(0，π)，所以∈.
所以cos＝ ＝＝.
答案：A
3．下列各式中，值为的是(　　)
A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2
C. D.
解析：选项A中，原式＝sin 30°＝；选项B中，原式＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan 60°＝；选项D中，原式＝cos 30°＝.故选B.
答案：B
4．化简cos x＋sin x等于(　　)
A．2cos B．2cos
C．2cos D．2cos
解析：cos x＋sin x＝2
＝2
＝2cos.
答案：B

类型一　三角函数式的化简求值
例1　(1)化简＝______；
(2)－的值为________．
【解析】　(1)
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝
＝＝＝4.
【答案】　(1)1　(2)4
(1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值．
(2)80 °＝90 °－10 °，通分，利用辅助角化简求值．
方法归纳
三角函数式化简原则和方法
(1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低．
(2)三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半．
(3)利用辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝将形如asin x＋bcos x(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值．
跟踪训练1　(1)求值：
sin＝____________________________；
cos＝____________________________.
(2)[2019·正定检测]＋2的化简结果是________．
解析：(1)sin＝＝＝；
cos＝＝＝.
(2)原式＝＋2＝2|cos 4|＋2|sin 4|＝－2cos 4－2sin 4.
答案：(1)　　(2)－2cos 4－2sin 4
由sin>0，所以 .
由cos>0，则cos＝.
半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简．
类型二　三角恒等式的证明
例2　若π<α<，证明：
＋＝－cos；
【证明】　左边＝＋

＝＋
因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos.
所以左边＝＋
＝＋＝－cos＝
右边．所以原等式成立.
等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．
方法归纳
三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
跟踪训练2　求证：＝sin 2α.
证明：方法一　左边＝
＝＝＝cos αsincos
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．
方法二　左边＝＝cos2α·＝
cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．
类型三　三角恒等变换与三角函数的综合
例3　设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若0<α<<β<π，f＝1，f＝0，求cos α的值．
【解析】　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos 2xcos－sin 2xsin＋＝－sin 2x.
当－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈(k∈Z)时，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由f＝1，f＝0，得cos β＝－，
sin(α＋β)＝，
∵0<α<<β<π，∴α＋β∈，∴sin β＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.∴cos α＝cos(α＋β－β)＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.
　(1) 利用两角和的余弦公式及降幂公式→将f?x?展开合并→利用正弦函数的单调性求函数f?x?的单调递减区间
(2) f（-）＝1，f（）＝0→求出cosβ，sin?α＋β?→结合角的范围→求sinβ，cos?α＋β?的值→利用两角差的余弦公式求cosα的值
方法归纳
函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R，求：
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝＋sin 2x＋＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2sin＋2，
所以最小正周期T＝＝π，因为－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin，由于－≤x≤，所以2x＋∈，
所以sin∈，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间上的值域为[1,4]．
利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用性质求解．
3.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：因为α∈，所以∈，
所以sin＝＝＝.
答案：B
2．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：因为α∈，所以cos α答案：C
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析：由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a答案：C
4．若α∈，则 －等于(　　)
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：因为α∈，所以sin α≤0，cos α>0，
则 －＝－
＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
答案：B
5．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝(　　)
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：由2sin α＝1＋cos α，
即4sincos＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在，
当cos≠0时，则tan＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________.
解析：cos 22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
所以cos 11°＝＝.
sin 11°＝＝.
答案： 　
7．已知cos α＝－，且180°<α<270°，则tan＝________.
解析：因为180°<α<270°，所以90°<<135°，所以tan<0，所以tan＝－＝－＝－2.
答案：－2
8．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
解析：∵α，β∈，cos＝，sin＝－，∴α－＝±，－β＝－.
∴2α－β＝±，α－2β＝－.
α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或(0舍去)．
∴cos(α＋β)＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：.
解析：方法一　
原式＝
＝(复角化单角，进一步切化弦)
＝＝1(使用平方差公式)．
方法二　
原式＝(利用－α与＋α的互余关系)
＝＝(逆用二倍角的正弦公式)
＝＝1.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得－2cos(α＋β)＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知sin α＋cos α＝，则2cos2－1＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：∵sin α＋cos α＝，平方可得1＋sin 2α＝，
可得sin 2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin 2α＝－.
答案：C
12．已知sin 2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：＝
＝＝＝.
因为sin 2θ＝，0<2θ<，
所以cos 2θ＝，所以tan θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．化简：
(1)；
(2)(0<α<π)．
解析：(1)原式＝＝＝＝tan 2α.
(2)原式＝
＝
＝＝.
∵0<α<π，∴0<<，∴cos>0，
∴原式＝＝cos α.
14．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.