第13章三角形中的边角关系单元测试卷（解析版）

三角形中的边角关系
考试范围：13章；考试时间：120分钟；
一、单选题（每题4分，共40分)
1．一个三角形至少有（　　）
A．一个锐角??????????????????B．两个锐角????????C．一个钝角?????????????????????? D．一个直角
2．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数为（　　）

A．75° B．50° C．35° D．30°
3．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（　　）

A．85° B．70° C．75° D．60°
4．若三条线段中a=3，b=5，为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（　　）
A．个 B．个 C．无数多个 D．无法确定
5．如图所示，过△ABC的顶点A作BC边上的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班?????????????????????????????B．902班??????????????????????C．903班????????????????????D．904班
8．三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是? （????? ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC的度数为(　　)

A．42° B．66° C．69° D．77°
10．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（　　）

A．11平方厘米 B．12平方厘米 C．13平方厘米 D．14平方厘米

二、填空题（每题5分，满分20分)
11．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________
12．等腰三角形的一个角是100°，其底角是________?°
13．如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=_________度．

14．如图， 已知AD、DE、EF分别是△ABC，△ABD，△AED的中线，若S△ABc=24cm2，则阴影部分△DEF的面积为____________cm2.


三、解答题（15、16、17、18题每题8分，19、20每题10分，21、22每题12分，23题14分，满分90分)
15．如图，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗?为什么?

16．如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，
（1）用直尺和圆规作出∠CAD的角平分线AE（保留作图痕迹）；
（2）若∠B=∠C，求证：AE∥BC．

17．如图，在△ABC中，∠ABC=56?，∠ACB=44?，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线，求出∠DAE的度数。

18．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求∠BHC的度数．

19．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．

20．解答下面2个小题：
(1)已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数；
(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边长．
21．(12分)如图所示，在△ABC中，AB =AC，AC上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两个部分，求三角形各边的长．

22．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PAD的关系.
(1)请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明.
(2)猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由.

23．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．




参考答案
1．B
【解析】
【分析】
依据三角形的内角和是180°可知，在一个三角形中，若有一个角等于或大于90°，则另外两角的和一定等于或小于90°，则另外两角都一定是锐角，问题得解．
【详解】
在一个三角形中，若有一个角等于或大于90°，
则另外两角的和一定等于或小于90°，即另外两角都一定是锐角，
故选B．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理．
2．C
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可以得出∠4=∠1=75°，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
【详解】∵a∥b，
∴∠4=∠1=75°，
∴∠2+∠3=∠4=75°，
∵∠2=40°，
∴∠3=75°﹣40°=35°，
故选C．

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，结合图形熟练应用相关性质解题是关键.
3．C
【解析】
∵AB∥OC，∠A=60°，
∴∠A+∠AOC=180°，
∴∠AOC=120°，
∴∠BOC=120°-90°=30°，
∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°．
故选C．
【点睛】运用了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
4．B
【解析】
根据三角形的三边关系，得5?3又c是奇数，则c=3或5或7.
故选：B.
5．D
【解析】根据三角形高的定义“过三角形的顶点向对边（或对边所在的直线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高”可知，A、B、C三个选项的作法都是错的，只有选项D的作法正确.
故选D.
6．C
【解析】
①两点确定一条直线，正确，是真命题；
②两点之间，线段最短，正确，是真命题；
③对顶角相等，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
正确的有3个，
故选：C.
7．B
【解析】
试题解析：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，
“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，
“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故丙猜测是正确的．
故选B.
考点：命题.
8．B
【解析】
锐角三角形的三条高线交于三角形内部，钝角三角形的三条高线交于三角形外部，直角三角形的高线交于三角形的直角顶点。故选B
9．C
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°.
故选C.
10．B
【解析】
【分析】
可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
【详解】
方格纸的边长是x，
x2-?x?x-?x?x-?x?x=x2=12平方厘米．
所以方格纸的面积是12平方厘米，
故选B．
【点睛】
本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
11．如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【解析】
【分析】
将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
【详解】
∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【点睛】
本题考查逆命题的概念，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知原命题的题设和结论．
12．40,40
【解析】
试题分析：等腰三角形的一个角为100°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
试题解析：当100°为顶角时，其他两角都为40°、40°，
当100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于90°，故底角不能为100°，
所以等腰三角形的底角为40°、40°．
考点：等腰三角形的性质．
13．25°．
【解析】
试题分析：延长DC交直线m于E．∵l∥m，∴∠CEB=65°．在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°．

考点：①矩形的性质；②平行线的性质；③三角形内角和定理．
14．3
【解析】∵三角形一边上的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，且AD、DE、EF分别是△ABC、△ABD、△AED的中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△ADE=S△ABD，S△DEF=S△ADE，
∵S△ABC=24cm2，
∴S△DEF=3cm2.
15．∠A＝∠F，.理由见解析.
【解析】
试题分析：由∠2=∠3，∠1=∠2可证得DB∥EC，即得∠4=∠C，再结合∠C=∠D可得DF∥AC，即可证得结论.
∵∠2=∠3，∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB∥EC
∴∠4=∠C
∵∠C=∠D
∴∠D=∠4
∴DF∥AC
∴∠A=∠F
考点：本题考查的是平行线的判定和性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.
16．(1)作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）利用角平分线的性质作图得出即可；
（2）利用角平分线的性质以及平行线的判定得出即可．
详解：（1）如图所示：

（2）∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE．
∵∠B=∠C，∠B+∠C=∠CAD，∴∠CBA=∠DAE，∴AE∥BC．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定等知识，根据已知得出∠CBA=∠DAE是解题的关键．
17．6°
【解析】试题分析：先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，由AE是△ABC的角平分线，求出∠DAC的度数，由AD是BC边上的高，求出∠EAC的度数，再利用角的和差求出∠DAE的度数．
解：∵在△ABC中，∠ABC=56°，∠ACB=44°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是BC边上的高，∠ACB=44°
∴∠DAC=90°-∠ACB=46°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=6°
18．120°
【解析】【分析】由BE⊥AC可知∠BEC=90°，由直角三角形两锐角互余可求出∠EBC的度数；同理可得出∠BCF的度数，在△BHC中，根据三角形内角和定理即可求出∠BHC的度数．
【详解】∵BE是AC边上的高，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝90°－∠BCE＝90°－54°＝36°.
∵CF是AB边上的高，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠ABC＝90°－66°＝24°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°－∠BCF－∠EBC＝180°－24－36°＝120°.
【点睛】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
19．证明见解析.
【解析】
试题分析：根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．
证明：如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF.

点睛：本题主要考查的知识有直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、对顶角相等.利用等量代换是解题的关键.
20．(1) 36°、72°、72°；(2) 3.5、3.5或5、2.
【解析】
分析：（1）设出顶角的度数，然后表示出底角，列方程求解即可；
（2）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答．
详解：(1)设等腰三角形的顶角为x°，则底角为2x°.
由题意得x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，则2x＝72.
∴这个三角形三个内角的度数分别为36°、72°、72°.
(2)∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5为底边长时，其他两边长都为3.5，5、3.5、3.5可以组成三角形；
当5为腰长时，其他两边长为5和2，5、5、2可以组成三角形．
∴另外两边的长是3.5、3.5或5、2.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的三边关系，涉及分类讨论的思想方法.题目分别从边和角的角度考查三角形，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三角形边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去，从角的角度考查，要分顶角和底角两种情况讨论.
21．AB=AC=20cm,BC=14cm或AB=AC=16cm,BC=22cm.
【解析】
试题分析：分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14．
试题解析：设三角形的腰AB=AC=x
若AB+AD=24cm，
则：x+x=24
∴x=16
三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16，16，22；
若AB+AD=30cm，
则：x+x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20，20，14；
因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．
考点：等腰三角形的性质．
22．（1）图1，∠APC+∠BAP+∠PCD=360°图2，∠APC=∠BAP+∠PCD，证明见解析
（2）图3，∠C=∠A+∠APC，图4，∠A=∠C+∠APC.
【解析】
【分析】
(1)过P点作AB的平行线PE，再根据平行线的性质得∠APC+∠BAP+∠PCD=360°和∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）根据三角形的外角性质得出图3的关系，根据平行线的性质即可.
【详解】
（1）图1，∠APC+∠BAP+∠PCD=360°
图2，∠APC=∠BAP+∠PCD
证明图2，∠APC=∠BAP+∠PCD，
过P点作AB的平行线PE，
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EP
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD
即得证.

（2）图3，∠C=∠A+∠APC，
图4，∠A=∠C+∠APC.
23．(1) 12°；6°；18°；9°;(2) α=2β﹣180°，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）①先根据角的和与差求α的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为30°得：∠ADE=∠AED=75°，同理可得：∠ACB=∠B=69°，根据外角性质列式：75°+β=69°+12°，可得β的度数；
②同理可求得：α=54°﹣36°=18°，β=9°；
③设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，分别求出∠ADE和∠B，根据∠ADC=∠B+α列式，可得结论；
（2）α=2β﹣180°，理由是：如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，根据∠ADC=∠B+∠BAD，列式可得结论．
解：（1）①∵∠DAE=30°，
∴∠ADE+∠AED=150°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠BAC=42°，
∴α=42°﹣30°=12°，
∴∠ACB=∠B==69°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴75°+β=69°+12°，
β=6°；
故答案为：12°，6°；
②∵∠DAE=36°，
∴∠ADE+∠AED=144°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∵∠BAC=54°，
∴α=54°﹣36°=18°，
∴∠ACB=∠B==63°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴72°+β=63°+18°，
β=9°；
故答案为：18°，9°；
③α=2β，理由是：
如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=，
∴β+∠ADE=α+∠ABC，
β+=α+，
∴α=2β；
（2）α=2β﹣180°，理由是：
如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，
∴∠B=∠ACB=，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴β﹣x°=+α，
∴α=2β﹣180°．
点睛：本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是关键，知道顶角的度数可以表示两个底角的度数，同时运用了类比的方法解决三个问题．



试卷第4页，总5页


试卷第3页，总5页