沪科版第21章 二次函数图像与性质专题（解析版）

二次函数图像与性质专题
一、单选题（每题4分共40分)
1．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y＝x2－2x＋1，则b与c分别等于(　 　)
A．6，4 B．－8，14 C．4，6 D．－8，－14
2．已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2
3．一条开口向下的抛物线的顶点坐标是(2，3)，则这条抛物线对应的函数有(　　)
A．最大值3 B．最小值3 C．最大值2 D．最小值－2
4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出下列4个结论：①c>0；②若点B，C为函数图象上的两点，则y1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
7．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A．y=x2﹣1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
8．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为 （ ）
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
10．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　

A． B． C． D．




二、填空题（每题5分共20分)
11．已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，则二次函数的解析式为__________．
12．已知抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，则实数b的值为________．
13．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________．


三、解答题（满分90分)
15．已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个二次函数的解析式．
16．已知抛物线y1＝x2与直线y2＝－x＋3相交于A，B两点．
(1)求这两个交点的坐标；
(2)点O的坐标是原点，求△AOB的面积；
(3)直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

17．已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标．
18．求符合下列条件的抛物线的解析式：
(1)将抛物线y＝－x2先向上平移1个单位长度，再绕其顶点旋转180°；
(2)抛物线y＝ax2＋1经过点(1，0)；
(3)抛物线y＝ax2－1与直线y＝x＋3的一个交点是(2，m)．
19．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，0)，则称此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的解析式．小敏写出了一个正确的答案：y＝2x2＋3x－5.请你写出一个不同于小敏的答案；
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c，求该抛物线的顶点最低时的解析式．
20．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．

21．已知二次函数的图象经过，两点.
（1）求对应的函数表达式；
（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；
（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，根据函数图象直接写出a的取值范围.

22．（2009?江西）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
23．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．



参考答案
1．C
【解析】
【分析】
易得新函数解析式的顶点坐标，那么可得到原抛物线的顶点的坐标，根据顶点式可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
【详解】
新函数解析式为：y=x2-2x+1，
∴顶点坐标为（1，0），
∵向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到新函数解析式，
∴原抛物线的顶点为：（-2，2），
∴原抛物线解析式为y=（x+2）2+2=x2+4x+6，
∴b=4，c=6，
故选C．
【点睛】
讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
2．B
【解析】
试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为 ，所以在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，那么 ，又 ，所以取值范围是 .
故本题应选B.
3．A
【解析】
【分析】
根据二次函数的最值与其图象的顶点坐标和开口方向间的关系进行分析解答即可.
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴该抛物线所对应的函数有最大值，
又∵抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴这条抛物线所对应的函数的最大值为3.
故选A.
【点睛】
熟记“（1）若抛物线开口向下，则抛物线所对应的函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标；（2）若抛物线开口向上，则抛物线所对应的函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标”.
4．B
【解析】由抛物线交y轴于正半轴，可知c>0，故①正确；∵对称轴为直线x＝－1，抛物线开口向下，－ <－<－1，∴y1>y2，故②错误；∵对称轴为直线x＝－1，∴＝－1，即2a－b＝0，故③正确；由函数图象可知抛物线最高点的纵坐标大于0，∴>0，故④错误．综上所述，正确的结论有2个．
故选：B.
5．C
【解析】
试题解析:A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，x=＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，x=＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
6．D
【解析】
【分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．
【详解】
∵y=?x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴y2>y3，
根据二次函数图象的对称性可知,P1(?1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，
故y1=y2>y3，
故选D.

7．B
【解析】试题解析：A、y=x2-1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A正确；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B错误；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2个单位得到y=（x+2-2）2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C正确；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y=（x+4-2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D正确．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
8．A
【解析】
试题分析：因为点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因为P在y=x上，所以x=ax2+bx+c，移项整理得：ax2+（b-1）x+c=0，由图象可知，一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P点，Q点，方程ax2+（b-1）x+c=0，有两个正实数根，所以y=ax2+（b-1）x+c图象与x轴有两个交点，并且这两个交点都在x轴正半轴上，符合条件的只有A选项．故选A．
考点：二次函数与一元二次方程的关系．

9．C
【解析】试题分析：因为二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，所以且a＞0，解方程得:a
=4或－1,因为a＞0，所以a=4，故选：C.
考点：二次函数的性质.
10．D
【解析】
试题分析：Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A，
∴∠AOD=∠OCD=45°，
∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；
故选D．
考点：本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征
点评：解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
11．y=－x2＋6x－7
【解析】
【分析】
设出二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据已知条件建立关于a，b，c的方程，解方程求出a，b，c即可．
【详解】
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，则由已知条件得：
，解得a=-1，b=6，c=-7；
∴所求二次函数解析式为y=-x2+6x-7．
故答案为：y=-x2+6x-7．
【点睛】
考查二次函数的一般形式，以及图象上的点和函数解析式的关系，二次函数的最值公式．
12．-2
【解析】抛物线的对称轴公式为x= .
故答案：-2.
13．（1,4）.
【解析】
试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
14．x＜﹣1或x＞3．
【解析】
试题分析：先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论．
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴另一交点的坐标是（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
考点：二次函数与不等式（组）．
15．y＝x2－2x－3.
【解析】
试题分析：可设解析式为顶点式，根据图象经过点（0，-3）求待定系数，即可得解．
根据题意，设函数解析式为y=a（x-1）2-4．
∵图象经过点（0，-3），
∴-3=a-4，a=1．
∴解析式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3．
考点：二次函数的解析式．
16．(1) A(－2，4)，B(，) ； (2) S△AOB＝；(3)－2＜x＜.
【解析】
【分析】
（1）根据解方程组，可得交点坐标；
（2）根据面积的和差，可得答案；
（3）根据函数与不等式的关系，可得答案．
【详解】
（1）联立抛物线y1=x2与直线y2=-x+3，得
，
解得，，
A（-2，4），B（，）；
（2）如图，

当y=0时，-x+3=0，解得x=6，
即C（6，0）．
S△AOB=S△AOC-S△BOC=×6×4-×6×=；
（3）抛物线在直线的下方，得-2＜x＜．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用解方程组得出交点坐标，利用面积的和差是求三角形面积的关键，图象在下方的部分自变量的取值范围是不等式的解集．
17．(1)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0)
【解析】
试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.
(2)令 ，然后解一元二次方程即可.
试题解析：(1) y＝－(x－2)2＋4，其对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．
(2)令y＝0，则－x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝4，∴这个函数图象与x轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)．
18． (1) y＝x2＋1;(2) y＝－x2＋1;(3) y＝x2－1.
【解析】试题分析：（1）根据抛物线的几何变换，抛物线y=-x2先向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为y=-x2+1，再绕其顶点旋转180°，与原抛物线的开口大小相等，方向相反时，顶点不变，其二次项系数互为相反数；
（2）把（1，0）代入解析式求出a即可；
（3）把x=2代入直线解析式y＝x＋3，得y=4，因此交点坐标为（2，4），把（2，4）代入抛物线解析式，得a=，从而得到抛物线解析式．
试题解析：（1）抛物线y=-x2先向上平移1个单位长度，得y=-x2+1，
再绕其顶点旋转180°，得y＝x2＋1；
（2）把（1，0）代入直线解析式y＝ax2＋1，得a+1=0，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为：y＝－x2＋1；
（3）把x=2代入直线解析式y＝x＋3，
得y=×2+3=4，
因此交点坐标为（2，4），
把（2，4）代入抛物线解析式，得4=a×22-1，a=，
所以抛物线解析式为：y＝x2－1．
19．(1)y＝x2＋3x－4(答案不唯一);(2)y＝－x2＋2x－1
【解析】
试题分析：⑴将M点代入解析式可得 ，则只要系数满足的解析式均可.
⑵由解析式是定点抛物线可知 ，解得 ，而抛物线顶点纵坐标为 ，将上式代入得 ，那么由抛物线顶点最低，可得 ，解得 ，从而 ，解析式为.
试题解析：(1) y＝x2＋3x－4(答案不唯一)．
(2)∵y＝－x2＋2bx＋c是定点抛物线，∴－1＋2b＋c＝0，∴c＝1－2b.∴该抛物线的顶点的纵坐标为＝＝c＋b2＝1－2b＋b2＝(b－1)2.当抛物线y＝－x2＋2bx＋c的顶点最低时，即(b－1)2的值最小，最小值是0，这时b＝1，c＝1－2b＝－1，∴抛物线的顶点最低时的解析式是y＝－x2＋2x－1.
点睛：抛物线 的顶点坐标为 ，而抛物线的顶点最低则表示抛物线的顶点纵坐标 最小.
20．（1）a=1，B（1，﹣3）；（2）：y=﹣x﹣2；（3）P（，0）
【解析】试题分析：（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值．
（3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可．
解：（1）将A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3，
∴﹣2=a﹣3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3，
∴顶点B（1，﹣3）；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将点A（0，﹣2）和B（1，﹣3）代入y=kx+b，
∴ ，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x﹣2；
（3）设点A关于x轴对称的点为C，
∴C（0，2），
设直线CB的解析式为：y=mx+n，
直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值，
把C（0，2）和B（1，﹣3）代入y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直线CB的解析式为：y=﹣5x+2，
令y=0代入y=﹣5x+2，
∴x=，
∴点P的坐标为（，0）.
点睛：本题涉及的知识有待定系数法求函数的解析式、最短路径问题.本题的难点在于第（3）问上，解题的关键是利用轴对称找出A关于x轴对称的点为C，连接CB从而确定点P的位置.
21．（1）；（2）；（3）a≥.
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据抛物线平移的规律：向左平移加，向上平移加，可得答案；
（3）根据函数与不等式的关系，可得答案．
试题解析：解：（1）∵二次函数的图象经过，两点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵，∴抛物线的顶点为，∴平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为；
（3）（见图）．

考点：1．二次函数与不等式（组）；2．二次函数图象与几何变换；3．待定系数法求二次函数解析式．
22．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②S=﹣m2+m（0≤m≤3）．
【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣可得出对称轴的解析式．
（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．
根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
（3）可将三角形BCF分成两部分来求：
一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．
一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．
然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．
解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：．
所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=﹣m+3，
∴P（m，﹣m+3）．
在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=﹣m2+2m+3，
∴F（m，﹣m2+2m+3）
∴线段DE=4﹣2=2，
线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由﹣m2+3m=2，
解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=PF?BM+PF?OM=PF?（BM+OM）=PF?OB．
∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．

考点：二次函数综合题．
23．（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F（，）
【解析】
试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；
（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；
②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．
解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，
∴点F的坐标为F（a，a﹣1），
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，
∴a﹣1=﹣a2+a+1，
∴a=（负值不合题意，舍去），
点F的坐标为F（，）.
考点：二次函数综合题．



试卷第1页，总3页


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