沪科版九年级上册第21章 二次函数应用专题(解析版)

二次函数应用专题练习
一、单选题（每题4分共40分)
1．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C．y=（12-x）x D．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，分别到达B，C两点就停止运动，则△PQB的面积最大时，所用时间为（ ）

A．2s B．3s C．4s D．5s
3．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是
A．0． B．1． C．2． D．3．
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；
④一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1.
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（ ）

A．2.6 m B．3 m C．3.5 m D．4.8 m
6．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）

A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
9．若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题5分共20分)
11．如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______．

12．竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可用公式来表示，由公式可知，该物体经过_____s离地面的高度为30m.
13．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式m?-m+2019的值为_______
14．飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒。

三、解答题（满分90分)
15．一块矩形耕地的尺寸如图所示，要在这块地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽均为xm，余下的可耕地面积为ym2.

（1）请你写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据你写出的函数关系式，求出当水集的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少；
（3）若可耕地面积为4408m2，求此时水渠的宽度.
16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+4（m是常数）
①求证：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点；
②把该函数图象沿y轴向下平移多少个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点？
17．甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A ， B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1 米的C 处发出一球，乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米，现以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴， 建立平面直角坐标系（如图所示）.

（1）求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式；
（2）求羽毛球飞行的最高高度。
18．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.
（1）根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元）
甲 ________ ________ 15
乙 x x ________

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值.
19．如图是自动喷灌设备，BC表示水管一瞬间喷出的水呈抛物线形，表达式为.

（1）求喷出的水离地面的最大高度；
（2）求出水的落地点距水管底部A的最远距离.
20．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 长的篱笆围成一个矩形（篱笆只围两边），设.
（1）若花园的面积为96，求的值；
（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是11和5，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值.

21．某旅游度假区内某个宾馆有120间标准房，当标准房价格为每间200元时，每天都客满，经市场调查，标准房价格与平均入住房数之间的关系如下：
日平均每间房价x（元） 210 220 230 240 250 260 270
日平均入住房间y（间） 114 108 102 96 90 84 78

（1）若日平均入住房数y（间）与日平均每间房价x（元）之间成一次函数关系，求出y关于x的函数关系式：
（2）如果不考虑其他因素，宾馆的标准房日平均每间房价为多少元时，客房的日营业收入最大，最大日营业额为多少元？
22．图1是青岛某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）


（1）求抛物线的表达式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离；
（3）一艘小船上平放着一些长4米，宽2米，且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过桥洞，问木板最高可堆多少米？（设船身底板与水面在同一平面）
23．若抛物线上，它与轴交于，与轴交于、，是抛物线上、之间的一点，

（1）当时，求抛物线的方程，并求出当面积最大时的的横坐标。
（2）当时，求抛物线的方程及的坐标，并求当面积最大时的横坐标。
（3）根据（1）、（2）推断的横坐标与的横坐标有何关系？



参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．
【详解】
∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，
∴长方形的另一边长为12?x，
∴y=(12?x)?x.
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.
2．B
【解析】
【分析】
表示出PB，BQ的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.
【详解】
解：由题意得：AP=tcm，则PB=(6-t)cm，BQ=2tcm，
故S△PQB=，
∴当t=3s时，△PQB的面积最大，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．
3．C
【解析】
【分析】
当时，求出与轴的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数．
【详解】
解：当时，，
则与轴的交点坐标为，
当时，，
△，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线与轴有1个点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个．
故选：．
【点睛】
此题考查了抛物线与轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标．
4．B
【解析】
【分析】
①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，③错误；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-2，④错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
轨迹为二次函数，把三点代入二次函数，利用待定系数法求解即可解决问题．
【详解】
由题意抛物线经过（0，1.8），（3，3），（6，2.7），则有：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴该铅球飞行到最高点时，水平距离是m．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，属于选择题中的压轴题．
6．D
【解析】
∴第一次降价后的价格是a×(1?x)，
第二次降价为a×(1?x)×(1?x)=a(1?x)2
∴y=a(1?x)2.
故选：D.
7．C
【解析】
【分析】
直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【详解】
A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【详解】
观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点睛】
本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】
根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】
解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】
解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
= ×12×6- （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
11．x<-1或x>5
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴得出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图像即可求出解集.
【详解】
由图可知对称轴x=2，∴抛物线与x 轴的另一个交点为x=-1，
∴不等式的解集是x<-1或x>5
【点睛】
此题主要考查抛物线的图像，解题的关键是熟知抛物线的图像与性质.
12．2或3
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质把h=30代入，求出即可．
【详解】
解：设该物体经过ts离地面的高度为30m
则整理得：
解得：t=2或3
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，利用直接代入解析式求出是解题关键．
13．2020
【解析】
【分析】
把点（m，0）代入抛物线y=x?-x-1求出m?-m的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
∵抛物线y=x??x?1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m??m?1=0，
∴m??m=1，
∴原式=1+2019=2020.
故答案为：2020.
【点睛】
此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解.
14．10
【解析】
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【详解】
∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x==10，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒．
故答案为10．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
15．（1）.（2）余下的可耕地面积为4602m2.
（3）此时水渠的宽度为2m.
【解析】
【分析】
(1)把两条路进行平移，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定；
(2)将x=1代入函数关系式y=2x2-200x+4800可得到关于y的方程，解方程即可得到结论；
(3)将y=4408代入函数关系式y=2x2-200x+4800可得到关于x的方程，解方程即可得到结论.
【详解】
(1)依题意得把三条路分别进行平移，长为80m的路移动到上方，长为60m的两条路移动到左方，
∴草坪就变成了边长为(80-2x)和(60-x)的长方形，
∴y=(80-2x)(60-x)=2x2-200x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于40，即0＜x＜40,
答：y与x之间的函数关系式为y=2x2-200x+4800(0＜x＜40).
(2)将x=1代入函数关系式得：y=2×12-200×1+4800=4602，
答：水渠宽为1m时，余下的可耕地面积为4602m2.
(3)将y=4408代入函数关系式得：4408=2x2-200x+4800
解得：x1=2，x2=98(不符合题意舍去)，
答：除去水渠剩余部分面积为4408m2，此时水渠的宽度为2m.
【点睛】
本题考查根据题意列函数关系式及函数关系式和方程之间的关系，解题的关键是寻找题目中的等量关系.
16．①见解析；②4个单位
【解析】
【分析】
①计算判别式的值得到△＝﹣16，然后根据判别式的意义得到结论；
②设抛物线沿y轴向下平移k（k＞0）个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点，利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+4﹣k，然后根据判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4（m2+4﹣k）＝0，从而解关于k的方程即可．
【详解】
①证明：△＝（﹣2m）2﹣4（m2+4）
＝﹣16＜0，
∴不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点；
②设抛物线沿y轴向下平移k（k＞0）个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+4﹣k，
△＝（﹣2m）2﹣4（m2+4﹣k）＝0，
解得k＝4，
即把该函数图象沿y轴向下平移4个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17．（1）；（2）飞行的最高高度为米.
【解析】
【分析】
（1）首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案；
（2）把表达式化为顶点式，即可得到.
【详解】
解：（1）由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
，
解得：，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：，
（2）由（1）知，表达式化为顶点式为：，
∴飞行的最高高度为：米.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
18．（1）；；;（2）110元;（3）安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列代数式即可；
（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；
（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．
【详解】
解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65-x）人，共生产甲产品2（65-x）130-2x件．在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120-2（x-5）=130-2x．
答案为：；；.
（2）由题意，得.
整理，得.
解得，（不合题意，舍去）.
（元）.
答：每件乙产品可获得的利润是110元.
（3）设生产甲产品m人.
由题意，得.
，
.
，m都是非负数
取时，，.
即当时，.
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元.
【点睛】
本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．
19．（1）喷出的水离地面的最大高度为米；（2）水的落地点距水管底部A的最远距离是米.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的最大值即可得解；
（2）当y=0时，水的落地点距水管底部A的最远距离，求出此时x的值即可.
【详解】
（1）∵，，，
∴，
∴喷出的水离地面的最大高度为米.
（2）当时，，
解得（不合题意，舍去），.
∴水的落地点距水管底部A的最远距离是米.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，理解点的横、纵坐标代表的实际含义．
20．（1）的值为8或12；（2）当时，的值最大，最大值为99
【解析】
【分析】
（1）根据面积可列出一元二次方程，即可求解；
（2）根据题意列出关于x的不等式组，再利用二次函数的性质进行求解.
【详解】
解：（1），，
的值为8或12
（2）依题意得，得

当时，随的增大而增大，
所以，当时，的值最大，最大值为99
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解.
21．（1）y关于x的函数关系式为；（2）宾馆的标准房日平均每间房价为200元时，客房的日营业收入最大，最大日营业额为24000元.
【解析】
【分析】
（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据日营业收入＝xy＝x（?0.6x＋240），利用配方法求出二次函数的最值即可．
【详解】
解：（1）设y关于x的函数关系式为，
将（210,114），（220,108）代入，
得解得
∴y关于x的函数关系式为；
（2）设客房的日营业收人为w元，
则.
答：宾馆的标准房日平均每间房价为200元时，客房的日营业收入最大，最大日营业额为24000元.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出日营业收入＝xy是解题关键．
22．（1）；（2）两盏景观灯之间的水平距离为（米）；（3）木板最高可堆4.84米.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式；（2）根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可求两盏景观灯之间的水平距离；（3）由题意知，木板最外侧与桥洞交点的横坐标为4或6，把或6代入解析式即可求解.
【详解】
解：（1）设抛物线的表达式为.
∵顶点坐标是（5,5），
∴.
∵图象经过点（0,1），
∴，∴，
∴.
（2）当时，，
解得，，
∴两盏景观灯之间的水平距离为（米）.
（3）由题意知，木板最外侧与桥洞交点的横坐标为4或6.
∴当或6时，，
∴木板最高可堆4.84米.
【点睛】
根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
23．（1）2；（2）－2；（3）的横坐标等于的横坐标的一半
【解析】
【分析】
（1）将k=4代入化成交点式，然后将C（0,4）代入确定a的值，求得B点坐标，连接OP；设，即可求出△BCP的面积表达式，然后求最值即可.
（2）设，将代入得，得到二次函数解析式；令y=0，求出直线BC所在的直线方程；过作平行于轴，交直线于，设、，求出△BCP的面积表达式，然后求最值即可.
（3）由（1）（2）的解答过程，进行推断即可.
【详解】
解：（1）时，
由交点式得，
代入得，
∴，
∵k=4
∴B点坐标;

连，设，



时，最大值为8，
∴的横坐标为2时有最大值.
（2）当时，，
设，
代入得，
∴.
令求得，
易求直线方程为，

过作平行于轴交直线于，
设、，


面积最大值为8，
此时P的横坐标为-2.
（3）根据（1）（2）得，面积最大时的横坐标等于的横坐标的一半.
【点睛】
本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于根据题意确定△BPC面积的表达式.



试卷第1页，总3页


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