图形变换之共顶点旋转 知识精讲 习题集
中考内容 中考要求
A B C
图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题
一、旋转
1、定义
把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．
【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．
2、每一组对应点所构成的旋转角相等．
2、性质
（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）
（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）
3、作图的重要条件
由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件
（1）旋转中心
（2）旋转方向及旋转角度．
4、作图的基本步骤
具体步骤分以下几步
连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．
转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．
连：即连接所得到的各点．
二、中心对称
1、中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）
【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．
2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．
2、中心对称的性质
关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．
3、中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）
4、中心对称与中心对称图形的区别与联系
中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．
5、关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．
6、中心对称图形与旋转对称图形的比较
名称 定义 区 别 联 系
旋转对称图形 如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形 旋转角度不一定是 旋转对称图形只有旋转才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形
中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形 必须旋转
7、中心对称图形与轴对称图形比较
名称 定义 基本图形 区别 举例
中心对称图形 如果一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形 绕某一点旋转 线段、平行四边形、矩形、菱形、圆
轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形 沿某一条直线翻折（对折） 线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆
三、共顶点旋转
1、共顶点旋转三角形
有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．
【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．
【例题】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．
【答案】∵是等边三角形，∴，．
∴，同理，．∴
在与 中，
∴，∴．
四、费马点与最值
1、三线共点问题
图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
2、与共用顶点，固定将绕点旋转过程中的，会出现的最大值与最小值，如图．
3、费马点的定义
到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题
4、费马点的结论
（1）平面内一点到△ABC三顶点的之和为，当点P为费马点时，距离之和最小．
（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以,,为边，向三角形外侧做正三角形,,然后连接,,,则三线交于一点,则点就是所求的费马点．
（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．
（4）当为等边三角形时,此时内心与费马点重合
【例题】下面简单说明如何找点使它到三个顶点的距离之和最小？这就是所谓的费尔马问题．
【解析】如图1，把绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以= PP′+ PB+ P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
1、利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形．
（2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角．
2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）
等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来
（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）
（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）
（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）
（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
（5）正方形共顶点旋转
3、旋转秘籍
（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．
（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
4、正方形等面积结论
（1）
（2）为中点，则
（3）为中点，
5、等边三角形手拉手共线的结论（和均为等边三角形，三点共线）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），
（7）为等边三角形
（8）平分
（9）
6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式
（1）基本模型：和均为等腰直角三角形
结论：，
（2）变式一：在上面模型的基础上连接，分别取、、的中点、、，连接、
结论：，
（3）变式二：在上面模型的基础上连接、，则和均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段
结论：，
（4）变式三：在上面模型的基础上分别取、的中点、，分别以、为边作正方形
结论：，
7、等边三角形共顶点旋转常见的变式
（1）基本模型：和均为等腰三角形
结论：，与所夹锐角为
（2）变式：在上面模型的基础上连接，分别取、、的中点、、，连接、
结论：，
8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式
（1）基本模型：和均为等腰三角形，
结论：，与的夹角等于
（2）变式：在上面模型的基础上连接，分别取、、的中点、、，连接、
结论：，
9、终极模型提炼：只要和相似，且，
结论：，
找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．
找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．
遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转．
下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
【答案】A
在中，，（），将线段绕点逆时针旋转60°得到线段．
（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，，判断的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结，若，求的值．
【答案】（1）；
（2）是等边三角形．
证明：连结，
∵
∴是等边三角形，．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（3）∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
旋转的概念和性质
下图中，不是旋转对称图形的是（ ）．
【答案】
有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】本题很多考生容易做错，将答案选为，认为只有两个旋转点，但是一定要注意边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．
如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．
已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．
求作：旋转中心O点．
【答案】分两类：（1）A与C是对应点．（2）B与C是对应点，对（1）的作法：
首先，连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；
其次，连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．
同理可作出（2）的O′选点．
【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．
如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，则旋转中心的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线，故选C．
实验操作
（1）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出点及；
（2）如图，在菱形网格图（最小的菱形的边长为，且有一个内角为）中有一个等边，它的顶点、、都落在格点上，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在菱形网格图中画出．其中，点旋转到点所经过的路线长为__________．
【答案】（1）画出点，画出．
（2）如图所示：
旋转到点所经过的路线长为．
二、中心对称
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．
【答案】
【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．
三、共顶点旋转之全等
如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．
【答案】∵，∴，
又∵、分别是、的中点，
∴，∴，
∴
∴是等边三角形
在等边中，于点．
（1）如图，请你直接写出线段与之间的数量关系：__________；
（2）如图，若是线段上一个动点（点不与点、重合），连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，若点是线段延长线上一个动点，（）中的其他条件不变，按照（）中的作法，请在图中补全图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）．
（2）．
理由如下：∵线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，．
已知：等边中，点、、分别为边、、的中点，点在直线上，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转至，连接．
（1）如图，当点在点侧时，线段与的数量关系是__________；
（2）如图，当点在边上时，（）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图证明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点在点右侧时，请你在图中画出相应的图形，直接判断（）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
【答案】（1）；
（2）与的相等关系依然成立．
证明：连接、、，
∵、、分别是、、的中点，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，．
∵MD=，=60?，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）与的相等关系依然成立，
画出正确图形．
如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点．
（1）如图1，猜想_________；
（2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若，，且，求的长．
【答案】（1）．
（2）．
证明：如图，以是锐角为例．
∵是等边三角形，
∴，．
又由题意可知，，．
∴．
∴．
∴．
设与交于点，
∵，
∴．
（3）由题意可求，，．
又由（2）可证．
∴可证垂直平分，为等腰直角三角形．
∵，
∴，．
∴．
问题解决
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
（1）如图，固定，将绕点旋转，当点恰好落在边上时，设的面积为，的面积为，那么与的数量关系是__________；
（2）当绕点旋转到图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）如图，，点在其角平分线上，，交于点，若点在射线上，并且，请直接写出相应的的长．
【答案】（1）相等．
（2）证明：∵、分别是和中、边上的高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，，且，
∴．
（3）或．
将等腰和等腰按图1方式放置，，边与边重合，．将绕点逆时针方向旋转一个角度，的延长线交直线于点．
（1）如图2，与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）在旋转的过程中，当时，求出的长；
（3）在此旋转过程中，求点运动的路线长．
【答案】（1），，
（2）如图所示，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图4，取中点，连结、．
∵，
∴．
在此旋转过程中（），
由（2）知，当时，
最大，且，
此时，
∴点运动的路线是以为圆心，长为半径的弧与弧的和．
∴点运动的路线长为：．
如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．
（1）当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；
（2）当点在直线上时，连接，直接写出的度数；
（3）如图，如果，，，求点到的距离．
【答案】（1）证明：如图2，
∵四边形是正方形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）解：或．
（3）解：如图3，连接、．
由已知，可知．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∴．
∵，
∴，
．
过点作于点．
∵，
∴．
∴．
∴．
设点到的距离为．
∴．
∴．
即点到的距离为．
四边形是正方形，是等腰直角三角形，，．连接，为的中点，连接．
（1）如图1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的，绕点顺时针旋转，若，，当、、三点共线时，求的长及的值．
【答案】（1），；
（2）倍长至，连接、、、；
在与中，
∴（SAS）
∴，．
∴
∴．
∴．
在与中
∴ （SAS）
∴ ，
∴
∴为等腰
又∵为的中点
∴，，故（1）中的结论仍然成立；
（3）连接，则，
∴
∴
∴
∴
∴；
∴
∴
如图1，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系是__________；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，
①判断（）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；
②若，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）；
（2）①成立．以下给出证明：
如图，连接，
∵在中，为斜边中点，
∴，，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，且，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
②由①可得，当取得最大值时，取得最大值．
当旋转角为时，，最大值为．
如图，此时．
如图，在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中
点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）．且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;
【答案】如图，延长BN交的延长线于点，连结、，过作⊥，
交于点．
∵ 四边形是矩形，
∴ ∥．
∴ ，
∵ 为的中点，
∴ ．
∴ △≌△．
∴ ,．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵．
∴ ．
∴ , ．
∵，
∴ ∠ =∠．
∴ △≌△．
∴ ,．
∵ ，
∴ ⊥．
∵
∴．
四、共顶点旋转之相似
如图，在中，，且，以为腰作等腰直角三角形,以为斜边作等腰直角三角形，连接交于点，求的度数．
【答案】方法一：如图1，平移线段使得点与点重合，连接
∴四边形是平行四边形，，，，，
,，为等腰直角三角形
．方法二：如图2，利用相似，过程略
在中，，在中，，点、分别在、上．
（1）如图①，若，则与的数量关系是_________；
（2）若，将绕点旋转至如图②所示的位置，则与的数量关系是_________；
（3）若，将绕点旋转至如图③所示的位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）．
【答案】（1）．
（2）．
（3）
过点作交于．
∵，，，
∴
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，．
∴
∴．
已知：，都是等边三角形，是与的中点，连接，．
（1）如图，当与在同一条直线上时，直接写出与的数量关系和位置关系；
（2）固定不动，将图中的绕点顺时针旋转（）角，如图所示，判断（）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）固定不动，将图中的绕点旋转（）角，作于点．设，线段，，，所围成的图形面积为．当，时，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
【答案】（1），．
（2）证明：连接，．
在等边三角形中，为的中点，
∴，，．
∴．
同理，，．
∴，．
∴．
∴．
延长交于点，交于点．
∴，．
∴．
∴．
（3）解：（ⅰ）当绕点顺时针旋转（）角时，
∵，
∴．
∴
∴
．
∴ （）．
（ⅱ）当绕点逆时针旋转（）角时，可证，
∴．
∴．
∴
．
∴（）．
综上，（）．
已知：如图，正方形的边长为，，分别平分正方形的两个外角，且满足，连结，，．
（）填空：与相似的三角形是__________，__________；（用含的代数式表示）
（）求的度数；
（）猜想线段，和之间的等量关系并证明你的结论．
【答案】解：（）与相似的三角形是，；
（）由（）可得．（如图）．
∵四边形是正方形，
∴，，．
∴．
∵，分别平分正方形的两个外角，
∴．
∴．
∴．
．
（）线段，和之间的等量关系是．（只猜想答案不证明不给分）
证法一：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．则．
∴，，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．可得．
∴在 F中，．
∴ ．
证法二：连接，作，与交于点．（如图）．可知，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，．
在R中，，
∴
．
五、费马点与最值
如图，是等边中的一个点，，则的边长是________．
【答案】如图，将绕点逆时针旋转，
则与重合，移到处，移到处，
∴．
∴是等边三角形，．
在中，，
∴，且．
∴是直角三角形，且．
又∵是等边三角形，，
∴是直角三角形．
∴，解得．
如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．
【答案】如图，将绕点旋转，使与重合，
即．∴为等腰，
∴，．
又∵，∴
则．∴．
如图点是正方形内部一点，，则=_________
【答案】
【解析】将绕点顺时针旋转，证明
为等腰直角，为直角三角形，
则
如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_________．
【答案】由旋转的概念知，由知，
所以勾股定理得
如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】（1）略
（2）①当点落在的中点时，的值最小
②如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小
理由如下：连接．由（1）知，
∴
∵，，∴是等边三角形
∴
∴
根据“两点之间线段最短”，得最短
∴当点位于与的交点处时的值最小，即等于的长
（3）过点作交的延长线于
∴
设正方形的边长为，则，，在中，∵
∴
解得，（舍去负值）∴正方形的边长为
阅读下列材料
对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点．
①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点
②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点
解决问题：
（1）如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，
证明：点为的费马点．（即证明）且
（2）如图，点为三角形内部异于点的一点，证明：
（3）若，，，直接写出的最小值
【答案】（1）详细证明过程略：[提示，如图]
在线段上取点，使得
第一阶段：如图一，先证明，可得，
因此，∴得证明
第二阶段：如图二，因为，，可证为等边三角形，则
第三阶段：如图三，证明,则，
∴，且
（2）详细证明过程略，如图四，以为边构造等边，连接，证明
则，根据两点之间线段最短，，则
（3）最小值为
已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧．
（1）如图，当时，求及的长；
（2）当变化，且其它条件不变时，求的最大值及相应的大小．
【答案】（1）过点作，且，连接，，证明，
即可求出,过点作，应用解直角三角形的知识即可求
出，过程略相信会有部分学生认为，前面的模型好理解，但是为什
么这个题的辅助线，我就想不到呢？老师，你是怎么思考的呢？其实这
就是对上述模型的理解，第一种理解方式，如图，已知的是两个等边或
等腰三角形，证明全等第二种理解方式，如图，一个三角形绕着一个顶
点旋转会形成两个等腰或等边或等腰直角三角形
下面给出连续的变化图，辅助线就是这样想出来的，属于第二种理解方式，包括例1，例2的辅助线也是从这个角度去出发，
（2）当时，取得最大值为
思考方式：如图，∵，固定不变，所以无论如何变化，，，这些条件始终不变，因此就将此问转变成“已知，的长度，求的最大值”，因此只有，，三点共线时，由此反求
如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）．
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
【答案】
下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）．
A．直角三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】D
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
【答案】第三问提示：点为中点，点位中点，利用勾股即可算出的长．
已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
【答案】（1）提示：直角三角形斜边上的中线；
（2）可用中点倍长即旋转；亦可用中位线法：要证与的关系，只需要将构造成线段的中点，辅助线如下图．
（1）如图，是等边内一点，若，，，求的度数．
（2）如图，是等边外一点，若，，，求的度数．
（3）如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长．
【答案】只要学过勾股定理的同学，看到，， 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．
（1）如图，过点作，，连接，．（等于将沿点逆时针旋转）．
，，，．
∴，，
（2）以为边向四边形的外面作正，则，，
∴，，，∴，．
（3）将绕点逆时针旋转，得到．
连接，则，，
，，
故是等边三角形，
从而，．
在中，，，，
故，．
过点作，交的延长线于点，
则，，
．
因此，在中，．
图形变换之对称 知识精讲 习题集
中考内容 中考要求
A B C
图形的轴对称 了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质 能运用轴对称的知识解决简单问题
一、轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
【注意】对称轴是直线而不是线段
3、轴对称的性质：
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；
（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；
（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段垂直平分线：
1、定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
3、判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【注意】1、据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、垂直平分线中线段的中点的特殊性，常需要分类讨论．
三、角的平分线：
1、定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
2、性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3、判定：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【注意】根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3、角分线常见辅助线
（1）往角两边作垂线
用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
（2）往角两边截取相等的线段
在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题
（3）：过角平分线上的点作垂线
过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形
（4）：过角平分线上的点作角一边的平行线
可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。
【注意】往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆
四、等腰三角形的性质与判定：
1、对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；
2、三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
3、等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
【注意】等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：
1、等腰三角形两底角的平分线相等；
2、等腰三角形两腰上的中线相等；
3、等腰三角形两腰上的高相等；
4、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
4、判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
5、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；
（2）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。
因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。
6、判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【注意】等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等。
1、见等腰构造三线合一．
2、见垂直平分线构造等腰三角形．
3、角分线辅助线技巧．
4、四大轴对称模型：线段和最大最小问题、线段差最大最小问题、三角形周长最小问题，四边形周长最小问题
类型一、线段和最大最小问题
类型二、线段差最大最小问题
1、最小
2、最大
【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线
类型三、三角形周长最短
1、 2、
类型四、四边形周长最短
1、 2、 过桥类型 3、
轴对称秘籍：①作中垂线然后作对称，构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型
③对称轴是对称点的连线的中垂线
1、把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆．
2、把轴对称与全等混淆．
3、找轴对称图形的对称轴不全、不准．
4、在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解．
在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．
（1）依题意补全图；
（2）若，求的度数；
（3）如图，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）补全图形如图所示：
（2）连接，
依题可知，，，
．
∴．
（3）连接、、．
由对称性可知：，，
、、都是等腰三角形．
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴都是等腰直角三角形，
∴，．
在中，
．
∴．
题型一 轴对称图形
判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【答案】是轴对称图形的有：（2），（4），（6），（7），（9）；分别有条，条，条，条，条对称轴．
如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 （ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【答案】D
如图，直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：① ② ③ ④，其中正确的结论有_______．
【答案】①②③
题型二 翻折
如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是_________
【答案】D
将一个正方形纸片依次按图1a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（ ）
图1
图2
【答案】D
如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A、110° B、120° C、140° D、150°
【答案】B．
将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ）
A、大于90° B、小于90° C、等于90° D、不能确定
【答案】故选C．
如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为________．
【答案】．
如图1所示为三角形纸片ABC，AB上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线 SR、TQ、QR，其中Q、R、S、T四点会分别在BC、AC、AP、BP上，如图2所示．若、四边形PTQR的面积分别为16、5，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
把△ABC沿DE折叠，∠BDA、∠CEA与∠A的关系为：图① ：_____________________.
图② ：_____________________.
图① 图②
【答案】；
有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；
第二步：如图②，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP.
这样，就可以折出一个五边形.
若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当，，时，有下列结论：
①； ②；③； ④.
其中，正确结论的序号是______________（把你认为正确结论的序号都填上）.
【答案】①②③
如图, △DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B、C，且BE=CF.
（1）求证：AB=AC.（2）猜想 BC与EF的大小关系，并加以证明.
【答案】（1）过做平行线构造全等
（2）．
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠AED=90°，∠AEB=2∠DAE.求证：AE=BC.
如图２，在（1)的条件下,点F为线段AE上一动点，过点F作GF⊥AE交AD于G，过点G作GH⊥BC于H.判断AF=BH是否成立，并说明理由.
如图3，在（2）的条件下，AB=8，∠AEB=60°，直接写出FH的最小值.
【答案】此题（1）（2）可过做平行线来构造矩形，类似于翻折问题．
（3）当时取的最小值．
题型三 垂直平分线
如图，已知，为的垂直平分线，求的度数．
【答案】
如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAM=__________
【答案】．
如图，的两边、的垂直平分线分别交于、，若,则的度数是________
【答案】
如图中，平分，且平分，于，于.
⑴说明的理由；
⑵如果，，求，的长.
【答案】⑴要证明，根据垂直平分线的性质，可连接、证明即可
⑵求、的长，可设，，根据题意得，解得
如图，，，则有（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
【答案】∵、∴点、在线段的垂直平分线上．
∴垂直平分．故选．
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
【答案】∵在垂直平分线上，∴，∴
∵，∴，
∴∠3=∠2．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠2，∴，
∴在的垂直平分线上．
如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．
求证：与互相垂直平分
【答案】连接，，，，
∵，
∴
∴是的中位线
∴
同理，，
∴，且
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴
∴平行四边形是菱形．
∴与互相垂直平分．
题型四 轴对称类最值
如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【答案】答案见右上图。
如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小。
【答案】答案见右上图。
如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小。
【答案】答案见右上图。
已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大。
【答案】答案见右上图。
求在直线上找一点，使得直线为的角平分线
【答案】答案见右上图。
如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使得的值最小，这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图，设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任意一点，那么折线的长最小为_____________.
【答案】
如图，直线分别与轴，轴交于、两点，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A. B. C． D.
【答案】A
在中，，，点在的内部．
（）如图，，，点、分别在、边上，则__________，
周长的最小值为_______；
（）如图，若条件不变，而，，，求的面积；
（）若，，，且，直接写出的度数．
【答案】解：（），周长的最小值为；
（）分别将、、沿直线、、翻折，
点的对称点分别是点、、，连接、，
则，，．
∴，，．
∵由（）知，，，
∴，，
．
∴是等边三角形，点、、共线．
∴，．
∵中，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（）．
说明：作于，于．
由（）知，．
∵，，
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
题型五 角分线辅助线
如图，在中，，为的平分线．求证：．
【答案】思路一、如图，在上截取，连接，可证，
因此可得，，，
∵ ∴ ∴ ∴ ∴
∴
思路二、略
如图，中，平分，，则________．
【答案】
在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．
【答案】为角平分线，将沿翻折，点落在点，连接，则，，∴可以将问题“”转化为“”，则用三边关系很容易能够解决
如图，在中，，，是上一点，交的延长线于，且．求证：是的角平分线．
【答案】延长、交于点，先证明，得，则，再证．
题型六 轴对称类辅助线
如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为、，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则= _________.
【答案】
如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若=8，则AB等于 _______．
【答案】
如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于E，，．设，．下列图象中，能表示y与x的函数关系是的【 】
【答案】A
如图，凸四边形ABCD中，AC⊥BD，OAAB+CD.
【答案】做的对称线以及的对称线，然后用三边关系．
如图，在中，，于，且，那么的度数是_______
【答案】
如图，在中，于，．求证：．
【答案】根据已知条件，可考虑将沿折叠，点落在的延长线上的点，因此将求证的结论转化为，因此只需证明即可，辅助线描述如下：
延长到点使得，连接，易证为线段的垂直平分线，
∴，∴，∵ ∴ ∴ ∴
也可以，延长至，使，连接．易证，所以，进而是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可知
如图，在中，，是外的一点，且，．
求证：．
【答案】延长至，使，连接,．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，故原题得证．
如图，已知，且．求证：是等腰三角形．
【答案】延长到，使得，连结．
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
则，
即
∵，
∴，
∴
∴，∴
∴是等腰三角形．
如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P（x，y），且S△MPN=S△AEM+S△NFB．
（1）S△AOB S矩形EOFP（填“＞”、“=”、“＜”），y与x的函数关系是 .
（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当时，求∠MON的度数；
（3）证明：∠MON的度数为定值．
【答案】24. 解：（1）；
与的函数关系是；
（2）当时，.
∴ 点的坐标为．
可得四边形为正方形．
过点作于.
∵ 在Rt△中，，
∴ ，为的中点．
∴ ．
在Rt△和Rt△中，
∴ Rt△≌Rt△．
∴ ．
同理可证．
∵ ，
∴ ．
即．
（3）过点作于.
依题意，可得 ，，，
.
∴，.
∴△∽△．
∴．
同理可证．
∵ ，
∴ ．
即．
已知抛物线l1分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，如图1所示，现将l1以y轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线l2.
（1）求抛物线l2的解析式；
（2）在图1中，将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请直接（不需要写过程）写出矩形的周长；
（3）如图2，若抛物线l1的顶点为M，点P为线段BM上一动点（不与点M、B重合），PN⊥x轴于N，请求出PC+PN的最小值.
（4）如图2，若抛物线l1的顶点M，点P为线段BM上一动点（不与点M、B重合），PN⊥x轴于N，请写出＝__________．.
【答案】（4）2；（点到直线的距离垂线线段最短）
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____________；此时____________；
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(Ⅰ)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明；
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝x，则Q＝________(用x、L表示)．
(4)附加：如图④，△ABC是满足∠BAC=60°的任意三角形，其中BC=a，AC=b，AB=c.D是∠ABC与∠ACB平分线的交点.点M、N分别在AB、AC上，且∠MDN=60°.当点M在线段AB上运动，猜想△AMN的周长是否会发生变化？若不变，请直接写出△AMN的周长（用a,b,c表示）；若变化，请说明理由.
【答案】前三问答案略．
在上截，，则．
问题：已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；
可得到DBC与ABC度数的比值为 ；
(2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值
是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
【答案】解：(1) 相等；15；1：3。
(2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK//AC交CK于点K，
连结DK。∵BAC90，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，
∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，
∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，
∴BAC=2ACB=12021，
∵1(601)(12021)2=180，∴2=21，
∴DBC与ABC度数的比值为1：3。
如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
【答案】轴对称图形：1，3，4，6，8，10；
成轴对称的图形有：2，5，7，9．
如图，，角内有点，且，在角的两边有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为________．
【答案】5．
如图，是的外角的平分线上的点（不与重合）
求证：
【答案】在上截取一点使得，其他略
图形变换之平移 知识精讲 习题集
中考内容 中考要求
A B C
图形的平移 了解图形的平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前、后的图形，指出平移的方向和距离 能运用平移的知识解决简单问题
一、平移的定义和性质
定义
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变物体的形状和大小．
【注意】1、平移是几何变换的一种．通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中．
2、几何变换包括：平移、轴对称、旋转．
性质
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等．
多次连续平移相当于一次平移．
偶数次对称后的图形等于平移后的图形．
平移是由方向和距离决定的．
【注意】1、平移的两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．
2、平移的方向不仅仅限于水平或竖直，还可以沿着某条直线平移．
3、图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
4、要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．
二、简单的平移
1、平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．
2、平移变换的方法应用
平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来．
5．平移变换的主要功能
把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．
【注意】应用平移变换时
（1）把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．
（2）使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．
（3）当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．
1、常见的构造平移的方式
（1）构造平行线——平移线段，构造平移三角形．
（2）构造平行四边形或者等边三角形——平移图形．
2、几何图形平移时，一般先确定平移后的位置，过点构造平行线，再截取线段长度相等．
3、常见平移图形为平行四边形．
4、平面直角坐标系中图形的平移
（1）确定平移方向和距离．
（2）平移图形的对应顶点，再依次连接即可．
5、平移在图形面积、图形切割和拼凑中应用较为广泛．
6、平移法在应用时有三种情况
（1）平移条件：把条件中的某条线段或角平移；
（2）平移结论：把结论中的线段或角平移；
（3）同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移．
1、平移线段时，要注意确定平移的方向和距离．
2、在几何图形中，平移的方向和距离如果确定，则图形平移后的位置就确定了．注意平移和添加辅助线的区别．
一、简单平移
在方格中，将图1中的图形平移后位置如图2所示，则图形的平移方法中，正确的是（ ）．
A．向下移动格 B．向上移动格 C．向上移动格 D．向下移动格
【答案】D
【解析】观察图形可知，平移的方法是将图形向下移动格．故选D．
下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到．沿轴向右平移得到，则平移的距离是__________个单位长度．
【答案】．
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连线围边的三角形称为格点三角形，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．把向左平移格后得到，画出的图形并直接写出的坐标为__________．
【答案】如图所示，；
如图，在由小正方形组成的的网格中，点、和四边形的顶点都在格点上．平移四边形，使其顶点与点重合，画出平移后的图形．
【答案】略
在图示的方格纸中．
（）画出关于对称的图形；
（）说明是由经过怎样的平移得到的？
【答案】（）如图所示：
（）观察图象可知，可由先向下平移个单位，再向右平移个单位得到；也可由先向右平移个单位，再向下平移个单位得到．
二、平移与操作
操作探究：
一动点沿着数轴向右平移个单位，再向左平移个单位，相当于向右平移个单位．用实数加法表示为．
若平面直角坐标系中的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”与“平移量”的加法运算法则为．
（1）计算：；
（2）若一动点从点出发，先按照“平移量”平移到点，再按照“平移量”平移到点；最后按照“平移量”平移到点，在图中画出四边形，并直接写出点的坐标；
（3）将（2）中的四边形以点为中心，顺时针旋转，点旋转到点，连结．若动点从点出发，沿的三边、、平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点的平移过程．
【答案】（1）；
（2）①如图所示：
②；
（3）．
已知线段、、、、、．．且．求证：．
【答案】可以把平移到，把平移到，显然可以构成一个边长为的等边三角形．从而．
如图，已知的面积为，．现将沿直线向右平移个单位到的位置．
（）当时，求所扫过的面积；
（）连结、，设，当是以为一腰的等腰三角形时，求的值．
【答案】（）设与交于点，则
∵，为中点为中点．
又∵，
∴．
∴所扫过面积．
（）①当时，．
②当时，取中点，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中，
．
此时，
综上可知，或．
如图，一个横截面为的物体，，，米，师傅要把此物体搬到墙边，先将边放在地面（直线上），再按顺时针方向绕点翻转到的位置（在上），最后沿射线的方向平移到的位置，其平移距离为线段的长度（此时，恰好靠在墙边）．
（）直接写出、的长；
（）画出在搬动此物体的整个过程中点所经过的路径，并求出该路径的长度．
【答案】（）米，米．
（）点的路径如图中的粗线所示，路径长为米．
三、平移与几何证明
在正方形中，、、三边上分别有点、、，且．求证：．
【答案】略
是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．
【答案】取的中点，连接易得，为的中点，
所以，从而可证得：．
如图，已知
（1）请你在边上分别取两点、（的中点除外），连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明．
【答案】（1）如图（1）相应的条件是：；
两对面积相等的三角形分别是：和，和．
（2）（方法1）：如图（2），分别过点、作、的平行线，两线交于点，与交于点．
所以，
在和中，又，可证
所以，
在中，
在中，，所以
即，所以
（方法2）：如图（3）取中点，连结并延长至，，
连结，，延长交于，可证得，
所以，，在中，
在中，，所以
所以，即
所以
如图所示，两条长度为的线段和相交于点，且，求证：．
【答案】考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．
作且，则四边形是平行四边形，从而．
（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
在中可得，
即．
由于，，
所以是等边三角形，故，所以．
已知：矩形内有定点，试证：．
【答案】过点、点分别作、的平行线，交于点，连接，，交于点．
∵∥，∥（根据定义可知其为平行四边形）
∴，
∵，
∴，（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形或用全等知识解决）
∴为平行四边形 ，∴
∵
∴，，，
∴
如图所示，在六边形中，，，，，，．又知对角线，厘米，厘米．请你回答：六边形的面积是多少平方厘米？
【答案】本题初看似乎无法下手求解，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是我们可将图形平移，使其拼成一个长方形，且、厘米、厘米的条件可以得到利用．为此，如图所示，将平移到的位置；将平移到的位置，则长方形的面积等于六边形的面积．易知长方形的面积等于（平方厘米），所以，六边形的面积是432平方厘米．
已知：AB，CD交于E，AB、CD夹锐角为45°，若∠B+∠C=225°，AC=3，DB=4，AB=5，求DC．
【答案】平移使的对应点为．
如图，在等腰△ABC中，延长边到点，延长边到点，连接，恰有．求证：．
【答案】平移使的对应点为．
如图所示，在中，，为上的一点，且；为上的一点，且．连接、交于点，求证：．
【答案】如图所示，过点作且使．
连接，则为平行四边形，
所以，．
又因为，
连接，则，
故．
而，
因此，
则，，
所以为等腰直角三角形．
因为，
故．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB延长线上的点，AE与BD相交于点F．
（1）若BE＝AC，AD＝CE，求∠AFD的度数；
（2）若BE＝ AC，AD＝ CE，求∠AFD的度数．
【答案】（1）将CA平移到EG，连接AG、BG、DG、EG，则四边形ACEG是平行四边形
又∵∠C＝90°，∴四边形ACEG是是矩形
∴∠CAG＝∠AGE＝∠BEG＝90°，AG＝CE＝AD
又∵EG＝AC＝BE，∴△ADG和△EBG都是等腰直角三角形
∴∠AGD＝∠BGE＝45°，∴∠DGB＝∠AGE＝90°
又∵ ＝ ＝ ，∴△DGB∽△AGE
∴∠BDG＝∠EAG
设AG与BD相交于点O，则∠AOF＝∠DOG
∴∠AFD＝∠AGD＝45°
（2）∠AFD＝30°，解法同（1）
图是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为和，其中，，，，，．将的斜边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上（移动开始时点与点重合）．
（1）请回答李晨的问题：若，则__________；
（2）如图，李晨同学连接，编制了如下问题，请你回答：
①的最大度数为__________；
②当时，__________；
③当以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边时，__________；
④的面积的取值范围是__________．
[
【答案】（1）是等腰直角三角形，，，，．
（2）①，当且仅当点与点重合时，有最大值．
②过点作交于．
依题可知，为等腰直角三角形，为的直角三角形，，，，，，．
③设，，
，
解得，．
④，，．
阅读下列材料：
已知：如图，在中，，，，为边上的一动点，以，为边构造平行四边形，求对角线的最小值及此时的值是多少．
在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．
进而，小明构造出了如图的辅助线，并求得的最小值为．
参考小明的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当的长度最小时，__________；
（2）如图，延长到点，使=（为大于的常数）．以，为边作平行四边形，那么对角线的最小值为__________，此时__________；
（3）如图，如果为边上的一动点，延长到点，使（为大于的常数），以，为边作平行四边形，那么对角线的最小值为_______，此时______．
【答案】（1）；
（2），；
（3），．
在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段平移到，使点在上，点在上．
（1）如图，直接写出和的度数；
（2）在图中，证明：；
（3）如图，连接，判断的形状并加以证明．
【答案】（1），．
（2）证明：连结、．
∵线段绕点逆时针旋转得到线段 ，
∴，．
∴是等边三角形．
∴．
∵线段平移到，
∴，．
∴四边形是平行四边形，．
∵，，
∴．
∴
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：是等腰直角三角形．
证明：过点作于，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴为的中点．
∴为的垂直平分线．
∴．
∴．
∴是等腰直角三角形．
在平面直角坐标系中，已知点，点，点在上，且．
（）如图①，求点的坐标；
（）如图②，将沿轴向右平移得到，连接、．
①设，其中，试用含的式子表示，并求出使取得最小值时点的坐标；
②当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（）∵点，点，
∴，．
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴点的坐标为；
（）①如图，连接．
由题设知（），则．
在中，由，得．
∵是沿轴向右平移得到的，
∴，且．
∴，．
又，
∴在中，，
∴．
当时，可以取得最小值，
此时，点的坐标是．
②如图，过点作，并使．
易证，
∴，
∴．
当点、、在同一条直线上时，最小，
即此时取得最小值．
易证，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
已知，是直线上的点，．
（1）如图 ，过点作，并截取，连接、、，判断的形状并证明；
（2）如图，是直线上的一点，直线、相交于点，，求证：．
【答案】（1）是等腰直角三角形．
证明：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
．
∵，
∴．
即．
∴是等腰直角三角形．
（2）过点作，并截取，连接、．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
即．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
在中， ，为平面内一动点，，，其中，为常数，且．将沿射线方向平移，得到，点、、的对应点分别为、、，连接．
（1）如图 ，若点在内部，请在图中画出；
（2）在（）的条件下，若，求的长（用含，的式子表示）；
（3）若，则当线段的长度最大时，的大小为___________；当线段的长度最小时，的大小为___________（用含的式子表示）．
【答案】（1）如图所示：
（2）连接．
∵将沿射线方向平移，得到，
∴，；，．
∵，
∴四边形为矩形．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
∴．
（3）；．
下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
如图，点、、的坐标分别为、、，将先向下平移个单位，得；再将沿轴翻折，得．
（1）画出和；
（2）求线段长．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
（2）利用勾股定理可求．
在正方形中，、、、分别是、、、边上的点，且，求证：．
【答案】略
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB=COD =90．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．
图1 图2
小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中△BCE的面积等于__________．
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
如图3，已知△ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于__________．
【答案】解：△BCE的面积等于2．
如图（答案不唯一）：以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM．
以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．
如图，在四边形中，，为上一点，且，，连结、、，则的形状是__________．
（2）如图，在中，，、分别为、上的点，连结、，两线交于点．
①当，时，在图中补全图形，猜想的度数并给予证明．
②当时，的度数__________．
【答案】（1）等腰直角三角形．
（2）①．
证明：过点作，且．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
②．
