平行四边形 知识精讲+习题集
中考内容 中考要求
A B C
平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 会运用平行四边形的知识解决有关问题
一、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD．
二、平行四边形的性质
1、边：平行四边形的对边平行且相等．
2、角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．
4、对称性：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
5、周长：一组邻边之和的倍
6、面积：底乘以高．（为一边长，为这条边上的高）．
【注意】1、一般情况下平行四边形不是轴对称图形．
2、同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等．
如下图：，，且．
三、平行四边形的判定
1、边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3、对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【注意】边的判定中，一组对边相等，另一组对边平行不能判定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
四、三角形中位线
1、定义：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、性质：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的一半．
3、判定
（1）点、分别是三角形边、的中点，则．
（2）点是三角形边的中点，且，则点为中点．
【注意】也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边并交于第三边所得的线段也是中位线．以下是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．
1、中点坐标公式：所在线段两个端点的坐标和的一半．例如若和的中点的坐标为中点坐标公式法，常用于平行四边形的存在性问题．
2、平行四边形中，要求解面积时，直接作边上的高线，利用面积公式求解即可．如下图：
3、等面积问题
（1）对角线四等分平行四边形的面积．
如下图：
（2）过对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
如下图：平行四边形中，任意直线过对角线交点,则有：，直线平分平行四边形的面积．
【补充】两条平行线间的距离：在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
【注意】夹在两条平行线间的平行线段相等．
（3）给定两个任意平行四边形，则过这两个平行四边形对角线交点的直线平分这两个平行四边形的面积．如图
4、中位线的辅助线
5、平行四边形的相关辅助线
（1）过平行四边形的顶点向对边作高
（2）平行四边形相邻内角平分线互相垂直
（3）平移对角线
1、在平行四边形边的判定中，“一组对边相等，另一组对边平行”和“两组邻角互补”不能判定是平行四边形，有可能是等腰梯形．一组对边相等，一组对角相等，也不能判定．
2、一般的平行四边形不是轴对称图形．
3、中点公式中要注意是加号，不是减号．
4、中位线可以得到边长的位置和数量两种关系，平行第三边且为第三边的一半．
5、注意直角三角形斜边中线为斜边一半的逆定理要证明后再使用．
如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）在中，
∵是中点．
∴，又∵．
∴且
∴四边形为平行四边形
（2）过作于
在中
∵
∴
∵，
∴
∴，
在中，，
∴
在中，
定义
如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有______个平行四边形
【答案】个
如图3，一个平行四边形被分成面积为、、、四个小平行四边形，当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时．
① 与的大小关系为____________．
② 已知点与点、不重合时，图中共有________个平行四边形，
【答案】①；②
【解析】①（利用平行线处处距离相等，设出、、、对应的底和高，用底和高表示与即可发现结论）；②．
二、性质
以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
如图，平行四边形中，的垂直平分线交于，则的
周长是__________．
【答案】8
【解析】由中垂线定理可知AE=EC，则的周长为
如图，在平形四边形中，，为垂足．如果则__________．
【答案】
【解析】过A作交CD于点F，可得四边形AECF为矩形，从而有
则
如图，是平行四边形的对角线上的两点，．
求证：（1）≌；
（2）．
【答案】（1）∵，
∴，即．
又∵是平行四边形，
∴．
∴．
∴≌
（2）∵≌
∴．
∴．
平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是
【答案】
如图，在平行四边形中，的平分线交于，，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
如图，□中，对角线和长度之和为12，如果的周长为11，则的长为__________．
【答案】5
已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长多，则的长度为__________．
【答案】
【解析】如图，的周长为，的周长为
由平行四边形的对角线互相平分可得
∴．
若平行四边形的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是__________．
【答案】垂直
为平行四边形两个角平分线和的交点，，，平行四边形的周长为18，则__________
【答案】4
【解析】由于AM、BM均为角平分线，故，则由勾股定理可得AB=5
即可得BC=4
如图，已知：在平行四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．若，则__________．
【答案】∵四边形是平行四边形（已知）
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵平分，平分（已知）
∴，（角平分线定义）
∴，．
∴，（在同一个三角形中，等角对等边）
∴
∴，即=4
如图，已知平行四边形，是的角平分线，连接，若，，则__________．
【答案】2
如图，将平行四边形沿翻折，使点恰好落在上的点处，则下列结论不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
如图，已知平行四边形纸片的周长为，将纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，则的周长为_________．
【答案】10
如图，在平行四边中，、为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）．
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．
现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．
【答案】答案不惟一．
若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
【答案】16；11
已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8．6cm，ABD的周长为6cm，AB、BC的长为__________．
【答案】2．6cm；1．7cm
若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
【答案】21
平行四边形的两个邻边得长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则短边间的距离为__________
【答案】10
【解析】由平行四边形面积公式即可得=
如图，在平行四边形中，于，于，若，平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为__________．
【答案】48
【解析】连接AC，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和
可设，则，有，可得，
则平行四边形的面积为：
在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为__________．
【答案】
【解析】将其中的两块阴影部分拼到两块三角形空白区域，得到9块小平行四边形的面积为1，故15块的面积为
已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为，则□ABCD的面积为__________．
【答案】9
【解析】根据的长度之比可以算出，然后利用的长度之比，就可以算出的面积，进而算出□ABCD的面积
如图，点是平行四边形对角线上的两点，且，那么和相等吗？请说明理由
【答案】
【解析】因为是平行四边形
所以
所以，又因为，
所以
又因为，
所以，所以
已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．
【答案】
如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：（1）AO=BO；（2）OE=OF；（3）△EAM∽△EBN；（4）△EAO≌△CNO，其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3) C．（2）（4) D．（3）（4）
【答案】B
将两块全等的含角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为．
（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
（2）如图2，将沿射线方向平移到的位置，四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
（3）在沿射线方向平移的过程中，当点的移动距离为______时，四边形为矩形，其理由是_____________________________________；当点的移动距离为______时，四边形为菱形，其理由是___________________________．（图3、图4用于探究）
【答案】（1）是，AD∥BC，AD=BC；（2）是，因为始终有∥；
（3），此时；，．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．
【答案】（1）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OA=AC，OB=BD．
∵AC︰BD=2︰3，
∴OA︰OB=2︰3．
设OA=2x（x>0），则OB=3x．
∵AC⊥AB，∴∠BAC =90°．
在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2．
∵AB=2，∴（2x）2+22=（3x）2．
解得x=±（舍负）．
∴AC=2OA= ．
（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD．
∴S△AOD=S△AOB=AO·AB = ××2= ．
已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，
∴．
∴．
∴∠AGD=90°．∴AE⊥DF．
（2）由（1）知：AD∥BC,且BC= AD= 10，DC =AB=6，∠1=∠3,∠2=∠4．
∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC．
∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC．
∴BE=AB=6，CF=DC=6．∴BF=4．∴EF=2．
∵AD∥BC, ∴△EFG∽△ADG． ∴．
∴．∴EG=．∴AG=．
由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，
由勾股定理，得DG= ，FG= ∴DF=
在中，的平分线交直线于点，交直线于点．
（1）在图1中证明；
（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分 ∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）．
（3）解：分别连结、、．
∵
∴
∵且 ∴四边形是平行四边形．
由（1）得 ∴是菱形．
∴．
∴是等边三角形．
∴①
．
∴． ∴．②
由及平分可得． ∴．
在中，． ∴．③
由①②③得．
∴．
∴．
∴．
【解析】此题与第一讲的例3的第2问类似，第（2）问已知为等腰直角三角形，欲证为等腰直角三角形，只需证；第（3）问已知为等边三角形，欲证为等边三角形，只需证．
在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线．
小明的作图步骤如下：
第一步：连结；
第二步：过点作交的延长线于点；
第三步：取中点，作直线；
则直线即为所求．
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形，各顶点坐标为：，，，，．请你构造一条经过顶点的直线，将五边形分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式．
【答案】解：连结、，过点作交轴于，过点作交轴于，取的中点，连接即可．
直线的解析式是：，
则直线的解析式是：，
得到；
直线的解析式是：，
则直线的解析式是：，
得到；
的中点，
直线的解析式为：．
三、判定
如图，在平行四边形中，连接对角线，过两点分别作为垂足，求证：四边形是平行四边形
【答案】因为是平行四边形，所以且
所以
因为，所以
所以，所以
因为，所以
所以四边形是平行四边形
已知：如图，在平行四边形中，分别是的中点．求证：（1）≌；（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）∵四边形平行四边形，
∴．
又∵分别是的中点，
∴．
∴．
∴≌．
（2）由（1）知，≌． ∴．
∴四边形是平行四边形．
如图，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，与交于点，求证：四边形是平行四边形
【答案】先证四边形是平行四边形，得出，再证四边形是平行四边形，得，
所以四边形是平行四边形
如图，在平行四边形中，点、是对角线上的点，且，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
又∵
显然
∴且
∴
∴四边形是平行四边形．
已知：如图，∥，∥，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】∵∥，∴，∴
又∵，∴
∵∥
∴，∴≌
∴，∴是平行四边形
如图，在平行四边形的各边上，分别取，使，
，求证：四边形为平行四边形
【答案】利用，，证明
能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为（ ）．
（A）1∶2∶3∶4 （B）1∶4∶2∶3
（C）1∶2∶2∶1 （D）1∶2∶1∶2
【答案】
如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形．
【答案】易证，
∴四边形为平行四边形
四、中位线
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
【答案】连接，通过中位线就能证明四边形EFGH是平行四边形
如图，ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，A′B′C′的周长为_________．如果ABC、EFG、A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
【答案】16；
已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．
【答案】∵，，∴
已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
【答案】∵，，
已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
【答案】∵取中点，连接，，故四边形为平行四边形，故GF＝GC
已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．
【答案】∵取中点，连接，故，，∴∠AHF=，，∴∠AHF＝∠BGF
已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
【答案】延长交于点，故，
如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?
【答案】取中点，连接，得到又、，
∴，
是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．
【答案】取的中点，连接易得，
为的中点，所以，从而可证得：．
在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．
【答案】过作交于
∵
∴，又∵，，
∴，
∴
∴，又∵
∴，故
∴且．
如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．
【答案】取中点，中点．连结、、、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，，，，
∴，∵，∴．
∴．同理可证．
∵，∴．
∴，
即，∴，∴．
如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：
（1）；（2）．
【答案】（1） 如图所示，根据题意可知且，
且，
所以．
而、分别是直角三角形、的斜边的中点，
所以，，
又已知，
从而．
（2）由（1）可知，
则由可得．
而、均为等腰三角形，
所以．
已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN
【答案】证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直），
∴△PQM≌△NRP， PM＝PN
在中，、分别为、边上的高，，求证：．
【答案】取、的中点，连结，∵，∴．
从而得，，，．
又因，故．
如图，，平分，平分，点在上．
探讨线段、和之间的等量关系．
探讨线段与之间的位置关系．
【答案】（1）；（2）
在线段上取点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∵
而
∴
在和中
∴
∴，
∴，
在中，，．点在边上（不与，重合），连结，为中点．
（1）若过点作于，连结、、，如图1．设，则__________；
（2）若将图1中的绕点旋转，使得、、三点共线，点仍为中点，如图2所示．
求证：；
（3）若，点在边的三等分点处，将线段绕点旋转，点始终为中点，求线段长度的最大值．
【答案】解：（1）；
（2）如图2，过点作的垂线交于点，设与的交点为．
由题意，，
∴．
∵、、三点共线，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵是中点，
∴是中点．
在中，，
∴．
（3）情况1：如图，当时，取的中点，连结和，
∵，，且，
∴，．
∵为中点，
∴，
∵，
∴．
∵为中点，为中点，
∴．
∴当且仅当、、三点共线且在线段上时最大，此时．
情况2：如图，当时，取的中点，连结和，
类似于情况1，可知的最大值为．
综合情况1与情况2，可知当点在靠近点的三等分点时，线段的长度取得最大值为．
如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝__________．
【答案】
如图，□中，和的周长分别为10和14，且平行四边形的周长为22，则对角线的长度之和为__________，和的长分别为__________．
【答案】；；
如图，在平行四边中，已知，，平分交边于点，则等于__________．
【答案】2
如图，平行四边形的周长是，的周长是，则的长为___________．
【答案】8cm
【解析】的长为，的长为，故的长为
如图，平行四边形中，于，于点，则平行四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】由于且，则，，
又有，可得．又由，可得
则平行四边形的面积为：
已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．
求证：（1）BE＝DF；（2）BE∥DF．
【答案】略
如图，已知：是的角平分线，在上截取，连接，求证：四边形是平行四边形
【答案】因为平分
所以
因为，所以
所以
因为，所以
因为，所以是平行四边形
如图，、分别是平行四边形的、边上的点，且．
（1）求证：≌；
（2）若、分别是、的中点，连接、，试判断四边形是怎样的四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）由是平行四边形可知，，
又，故≌
（2）由（1）可知，，
又，，∴
而∥，∴有
∴，∴∥
∴四边形为平行四边形
特殊平行四边形 知识精讲+习题集
中考内容 中考要求
A B C
特殊的平行四边形 会识别矩形、菱形和正方形 掌握矩形、菱形和正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形和正方形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形、菱形和正方形的知识解决有关问题
一、矩形的性质及判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质（矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）
（1）边：对边平行且相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
（5）周长：（、为一组邻边）．
（6）面积：（、为一组邻边）．
【注意】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．
这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．
3．矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）对角线相等的平行四边形是矩形．
（3）有三个角是直角的四边形是矩形．
二、菱形
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质（菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）
（1）边的性质：对边平行且四边相等．
（2）角的性质：邻角互补，对角相等．
（3）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
（5）周长：（为边长）
（6）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
（为一边长，为这条边上的高）；
（、为两条对角线的长）．
【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．
3．菱形的判定
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四边相等的四边形是菱形．
三、正方形
1．定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
2．性质（正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质）
（1）边：对边平行，四条边都相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
（5）周长：（为边长）．
（6）面积：（为边长）；
（为对角线长）．
【注意】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
正方形的判定
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．
（3）有一个角是直角的菱形是正方形．
1、中点四边形
（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形．
（2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形．
（3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形．
（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．
2、对角线互相垂直的四边形
（1）中点四边形为矩形；如图1
（2）四边形面积等于对角线乘积的一半；即
（3）四边形对边的平方和相等． 即
3、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O．
（1）
（2）一组对角相等，即
（3）对角线平分一组对角，即平分．
（4）对角线互相垂直，即．
（5）一条对角线平分另一条对角线，即平分（）．
（6）
（7）筝形是轴对称图形，即所在直线为其对称轴．
【注意】这些性质需先证明后运用
4、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系
5、正方形共顶点旋转
6、正方形角含半角旋转
7、正方形与弦图
8、正方形等面积结论
（1）
（2）为中点，则
1、判定特殊平行四边形时，要注意是否在平行四边形的基础上．
2、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形的所有性质．正方形还是特殊的菱形和矩形，具有菱形和矩形的全部性质．正方形一般结合等腰直角三角形一起考察．
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为．写出一个函数使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为__________．
【答案】，答案不唯一
【解析】依题可知，，使它的图象与正方形有公共点，即可．
故答案为：，答案不唯一．
如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明：∵是平行四边形
∴，，
∴，．
∵平分，平分；
∴，；
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：作，
∵，；
∴为等边三角形；
∴，；
∵四边形为菱形；
∴点为中点；
∴；
可知：，．
∵；
∴；
∴．
在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．
（1）依题意补全图；
（2）若，求的度数；
（3）如图，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形如图所示：
（2）连接，
依题可知，，，
．
∴．
（3）连接、、．
由对称性可知：，，
、、都是等腰三角形．
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴都是等腰直角三角形，
∴，．
在中，
．
∴．
如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为__________．
【答案】20
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积．
小明发现：分别延长，交的延长线于点，可得是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形的面积．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边各边上分别截取，再分别过点作的垂线，得到等边，若，则的长为__________．
【答案】（1）；
（2）由（1）知，由拼成的新正方形的面积与正方形的面积相等．
∴这四个全等的等腰直角三角形的面积之和与正方形的面积相等．
∵，
∴正方形的面积
（3）．
一、矩形的定义和性质
矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
【答案】A
矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件__________时，四边形是矩形
【答案】
已知如图，四边形中，，分别是的中点，如
果则=_________．
【答案】5
如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，
则_________
【答案】
矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则BC＝______cm，周长为_______．
【答案】，
如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：≌.
【答案】∵四边形是矩形
∴.
在和中，
又∵，
∴≌.
如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，∴为等边三角形，
∴
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
【答案】
【解析】设根据，利用勾股定理列方程
如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知
，且，求的长．
【答案】
【解析】因为，且矩形中，所以，因为，所以
，是等边三角形，即，由条件易得是的中位线，
，所以
在下面所给的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形．
⑴请你在图①中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；
⑵请你在图②中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．
【答案】⑴如图,画法不唯一；⑵如图②过两个平行四边形的对称中心
二、矩形的判定
如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．
【答案】∵，∴∥
在和中
∴≌ ()
∵，∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是矩形
如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．
【答案】∵、、、分别是四边的中点
∴、为中位线
∴且
∴四边形为平行四边形
∵，∴
∴四边形是矩形．
如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．
【答案】∵四边形为平行四边形
∴，
∵、分别是、的平分线
∴
∴
同理
∴四边形是矩形．
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】⑴ ∵，
是的中点，∴
∵ ∴
∴，∵
∴
（2）四边形是矩形
∵，是的中点（利用全等）
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
又
∴四边形是矩形．
已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．
【答案】∵，∴
又∵，，∴，∴∥
又∵∥，∴是平行四边形，∴
∵，，∴
∴，∴四边形是平行四边形
又∵，∴平行四边形为矩形
本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形
已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：
【答案】过点作垂直，分别交、于、两点．
∵
又∵
∴
∴
如图所示，在矩形和矩形中，若，求证：．
【答案】∵，，∴
∵，
∴≌，
∵，，∴是平行四边形
又∵，∴是菱形
连接，则，，∴
从而证得≌，∴，
∴，∴∥，，∴
三、菱形的定义和性质
如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于___________．
【答案】
如图，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】提示：斜边上中线
已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．
【答案】或
如图，菱形中，，于点，且DF=DC，连接，则的度数为_________度．
【答案】15
四、正方形的定义和性质
如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数.
【答案】∵，，，
∴≌
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．
【答案】延长，交于点
可证及
可得
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则 的面积为_____________
【答案】
【解析】过作交延长线于，
五、菱形和正方形的判定
如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 若，求证：四边形是正方形．
【答案】⑴ ∵四边形是平行四边形，∴．
又∵是等边三角形，∴，即．
∴平行四边形是菱形．
⑵ ∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴．
四边形是菱形，∴
∴四边形是正方形．
如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．
⑴求证：四边形是菱形；
⑵连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
【答案】⑴ 是由绕点旋转得到
∴，
∴是等边三角形
∴
又∵是由沿所在
直线翻转得到
∴，
∴
∴点、、三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
⑵ 四边形是矩形．
由⑴可知：是等边三角形，于
∴，又∵
∴，
∴，∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证AM=DF+ME.
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，.
∵，∴， ∴.
又∵，，∴，
∴.
（2）证明：延长和相交于点.
∵为的中点，∴.
∵，，∴
又∵，，
∴≌， ∴.
∵四边形是菱形，
∵，∴.
又∵，，
∴≌， ∴.
∵，， ∴， ∴.
∵，，，
∴.
已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE.
【答案】过A作AG⊥BE于G，连结BD交AC于点O，
∴AGBO是正方形.
∴AG=AO=AC =AE
∴∠AEG=30°.
∵BE∥AC，
∴∠CAE =∠AEG =30?.
∴∠BAE=45?–30? =15?.
∴∠CAE = 2∠BAE.
如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）求证：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求的值．
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠CED =∠ADE.
又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.
∴∠DAG =∠ADE.
∴∠CED =∠DAG.
（2）∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，
∴∠AED=∠AGE.
∴AE=AG.
∵AG=4，
∴AE=4.
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=.
∴.
如图，在中，，平分，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积．
【答案】解：（1）∵且，
∴四边形的平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴，
∴四边形为矩形。
（2）∵为等边三角形且边长为4，
∴，，
∴，，，
又∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
过作于，
∴，
∴．
六、面积与折叠问题
已知：四边形的面积为．如图，取四边形各边中点，则图中阴影部分的面积为_________；如图2，取四边形各边三等分点，则图中阴影部分的面积为_________；取四边形各边的（为大于的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】，，
如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为________．
【答案】①AEPH 和PGCF 或ABGH 和EBCF 或AEFD和HGCD；②1.③24．
阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置，已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于
点，与边（含端点）或其延长线交于点，求点的坐标．
小明在解决这个问题时发现：要求点的坐标，只要求出线段的长即可．连接，
设折痕所在直线对应的函数表达式为，于是有，
所以在中，得到，在中，利用等角的三角函数值相等，
就可以求出线段的长（如图）．
（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；
（2）在图中，已知点落在边上的点处，请画出折痕所在的直线（要求：尺规作图）
图，保留作图痕迹，不写作法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；
（4）将矩形沿直线折叠，点在边上（含端点），直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）图略(作中垂线即可)．
（3）如图，过点作于，
∵解析式为，
∴坐标为，∴，
∴坐标为，
∴．
∵，
∴，．
∵点在上，且，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴点坐标为．
（4）．
以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：
五个边长为的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．
小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为，可得，．由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
五个边长为的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为．
具体要求如下：
（1）设拼接后的矩形的长为，宽为，则的长度为________．
（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；
（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．
【答案】（1），，，；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
【答案】C
如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形．
【答案】∵四边形是平行四边形，∴，
∵是的中点，∴
在和中
∴≌()，∴
∴，∴四边形是矩形
如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点
（1）求证：
（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由。
【答案】⑴证明：
⑵当为的中点时，四边形为矩形
若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为___________．
【答案】（如图1）或（如图2）．
如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由．
【答案】连接，交于．
∵四边形为正方形，∴，，
∵，∴
∴四边形为平行四边形
∵，∴四边形为菱形
如图，在四边形中，对角线交于点，．求的长和四边形的面积．
【答案】过点作于点．
在中，
．
在中，，
．
．
在中，，
四边形的面积是．
