北师大版九年级数学上册第6讲 一元二次方程的解法（二）——配方法(提高)（知识讲解+巩固练习）

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）

【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：　　(1)配方法解一元二次方程：　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：　　　①把原方程化为的形式；　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1. （2019春?石景山区期末）用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．
【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【答案与解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，
系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，
移项得：x2﹣6x=1，
配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，
开方得：x﹣3=±，
则x1=3+，x2=3﹣．
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
举一反三：
【变式】 用配方法解方程
（1）2x2+3=5x （2）
【答案】（1）




.
（2）
①当时，此方程有实数解，
；
②当时，此方程无实数解.
类型二、配方法在代数中的应用
2. 用配方法证明的值小于0．
【思路点拨】
本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．
【答案与解析】



．
∵ ，∴ ，
即．故的值恒小于0．
【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．
举一反三：
【变式】试用配方法证明：代数式的值不小于．
【答案】
．
∵ ，∴ ．
即代数式的值不小于．
3. （2018春?宜兴市校级月考）若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是　　．
【答案】；
【解析】解：x2+2bx+4
=x2+2bx+b2﹣b2+4
=（x+b）2﹣b2+4；
∴m=﹣b，k=﹣b2+4，
则k﹣m=﹣（b﹣）2+．
∵﹣（b﹣）2≤0，
∴当b=时，k﹣m的最大值是．
故答案为：．
【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．
举一反三：
【变式】（1）2x2+6x?3的最小值是 ；（2）?x2+4x+5的最大值是 .
【答案】（1）；
所以2x2+6x?3的最小值是
（2）
所以?x2+4x+5的最大值是9.
4. 分解因式：．
【答案与解析】
．
【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．
一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（　　）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
3．（2018?河北模拟）把一元二次方程x2﹣6x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（　　）
A．8 B．6 C．3 D．2
4．不论x、y为何实数，代数式的值 ( )
A．总小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．不能为负数
5．已知，则的值等于（ ）
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2
6．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式　 　 　 的关系是(　　) A.△=M 　　　B. △＞M 　　　C. △＜M 　　　D. 大小关系不能确定

二、填空题
7．（1）x2-x+ =（ ）2； （2）x2+px+ =（ ）2.
8．（2018?忻州校级模拟）把代数式x2﹣4x﹣5化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，
则4m+k=　　．
9．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
10．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为____ ___，所以方程的根为_________．
11．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是___ ________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.
12．已知.则的值为 .
三、解答题
13. 用配方法解方程.（1）（2019?安徽）解方程：x2﹣2x=4． （2）（2018?大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．

14．分解因式．
15．（2018春?龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A．
【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．
2．【答案】C；
【解析】选项C：配方后应为．
3．【答案】D；
【解析】 x2﹣6x=﹣4，∴ x2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，
∴ m+n=5﹣3=2．故选D．
4．【答案】D；
【解析】．
5．【答案】A；
【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A.
6．【答案】A .
【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.故选A.
二、填空题
7．【答案】（1）；； （2）；.
【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
8．【答案】﹣1；
【解析】x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣4﹣5
=（x﹣2）2﹣9，
∴ m=2，k=﹣9，
∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．
故答案为﹣1．
9．【答案】4；
【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,
所以 解得或
所以.
10．【答案】（x-1）2=5； ．
【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.
11．【答案】；2或6.
【解析】3x2-2x-3=0化成；
即，a=2或6.
12.【答案】5；
【解析】原式
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
（2018?大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
（2）解：移项得x2﹣6x=4，
配方得x2﹣6x+9=4+9，
即（x﹣3）2=13，
开方得x﹣3=±，
∴x1=3+，x2=3﹣．
14. 【答案与解析】
．
15. 【答案与解析】
解：x2+4x+4y2﹣4y+1
=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4
=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．