北师大版九年级数学上册第7讲 一元二次方程的解法(二)—公式法,因式分解法(提高)(知识讲解+巩固练习)

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名称 北师大版九年级数学上册第7讲 一元二次方程的解法(二)—公式法,因式分解法(提高)(知识讲解+巩固练习)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-09-24 22:38:04

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文档简介

一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高)
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,能熟练应用公式法解一元二次方程;
2. 正确理解因式分解法的实质,熟练运用因式分解法解一元二次方程;
3. 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性,渗透分类的思想.
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式    一元二次方程/,当/时,/. 2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式:/.     ①当/时,原方程有两个不等的实数根/;     ②当/时,原方程有两个相等的实数根/;     ③当/时,原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤   用公式法解关于x的一元二次方程/的步骤:     ①把一元二次方程化为一般形式;     ②确定a、b、c的值(要注意符号);     ③求出/的值;     ④若/,则利用公式/求出原方程的解;      若/,则原方程无实根. 要点诠释:
(1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用.
(2)一元二次方程/,用配方法将其变形为:/
①当/时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:/
② 当/时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:/
③ 当/时,右端是负数.因此,方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤   (1)将方程右边化为0;   (2)将方程左边分解为两个一次式的积;   (3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;   (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法    提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.
要点诠释: (1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;
(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
/1.解关于x的方程/.
【答案与解析】
(1)当m+n=0且m≠0,n≠0时,原方程可化为/.
∵ m≠0,解得x=1.
(2)当m+n≠0时,
∵ /,/,/,
∴ /,
∴ /,
∴ /,/.
【总结升华】解关于字母系数的方程时,应该对各种可能出现的情况进行讨论.
举一反三:
【变式】解关于/的方程/;
【答案】原方程可化为/
∵/
∴ /
∴ /
∴ /
/2. 用公式法解下列方程: (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)=4m;
【答案与解析】
方程整理为/,
∴ /,∴ a=1,b=-2,c=-13,
∴ /,
∴ //,
∴ /,/.
【总结升华】先将原方程化为一般式,再按照公式法的步骤去解.
举一反三:
【变式】用公式法解下列方程: /
【答案】∵/
∴/
∴/
∴/
类型二、因式分解法解一元二次方程
/3.(2019?荆门)已知3是关于x的方程x2﹣(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长为(  )
A.7 B.10 C.11 D.10或11
【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值;然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根,即等腰△ABC的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.
【答案】D
【解析】
解:把x=3代入方程得9﹣3(m+1)+2m=0,
解得m=6,
则原方程为x2﹣7x+12=0,
解得x1=3,x2=4,
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,
①当△ABC的腰为4,底边为3时,则△ABC的周长为4+4+3=11;
②当△ABC的腰为3,底边为4时,则△ABC的周长为3+3+4=10.
综上所述,该△ABC的周长为10或11.
故选:D.
【总结升华】本题考查了一元二次方程的解,考查了解方程,也考查了三角形三边的关系.
举一反三:
【变式】解方程(2018·茂名校级一模)
(1)x2-2x-3=0; (2)(x-1)2+2x(x-1)=0.
【答案】解:(1)分解因式得:(x-3)(x+1)=0
∴x-3=0,x+1=0
∴x1=3,x2=-1.
(2)分解因式得:(x-1)(x-1+2x)=0
∴x-1=0,3x-1=0
∴x1=1,x2=.
/4.如果/,请你求出/的值.
【答案与解析】
设/,∴ z(z-2)=3.
整理得:/,∴ (z-3)(z+1)=0.
∴ z1=3,z2=-1.
∵ /,∴ z=-1(不合题意,舍去)
∴ z=3.
即/的值为3.
【总结升华】如果把/视为一个整体,则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.此题看似求x、y的值,然后计算/,但实际上如果把/看成一个整体,那么原方程便可化简求解。这里巧设/再求z值,从而求出/的值实际就是换元思想的运用.
易错提示:忽视/,而得/或/.
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—巩固练习(提高)
【巩固练习】
一、选择题 1. (2019?天津)方程x2+x﹣12=0的两个根为(  )
A.x1=﹣2,x2=6 B.x1=﹣6,x2=2 C.x1=﹣3,x2=4 D.x1=﹣4,x2=3
2.整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根是( ).
A.x1=-1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4
C.x1=1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
3.如果x2+x-1=0,那么代数式/的值为( )
A.6 B.8 C.-6 D.-8
4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
5.若代数式/的值为零,则x的取值是( ).
A.x=2或x=1 B.x=2且x=1
C.x=2 D.x=-1
6.(2018·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形周长是( ).
A.12 B.9 C.13 D.12或9
二、填空题
7.已知实数x满足4x2-4x+1=0,则代数式/的值为________.
8.已知y=x2+x-6,当x=________时,y的值是24.
9.若方程/可以分解成(x-3)与(x+4)的积的形式,则m=________,n=________.
10.若规定两数a、b通过“※”运算,得到4ab,即a※b=4ab,例如2※6=4×2×6=48.
(1)则3※5的值为 ;
(2)则x※x+2※x-2※4=0中x的值为 ;
(3)若无论x是什么数,总有a※x=x,则a的值为 .
11.(2018秋?王益区校级期中)阅读下面的材料,回答问题:
解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1,∴x=±1;
当y=4时,x2=4,∴x=±2;
∴原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用  法达到  的目的,体现了数学的转化思想.
(2)方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0的解为 .
12.(2019?柘城县校级一模)三角形两边的长分别是8和6,第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是   .
三、解答题
13. 用公式法解下列方程:
/ (2)/ .
14.(2018春·北京校级期中)用适当方法解下列方程:
(1)(2x-3)2=25 (2)x2-4x+2=0 (3)x2-5x-6=0
15.(1)利用求根公式计算,结合①②③你能得出什么猜想?
①方程x2+2x+1=0的根为x1=________,x2=________,x1+x2=________,x1·x2=________.
②方程x2-3x-1=0的根为x1=________,x2=________,x1+x2=________,x1·x2=________.
③方程3x2+4x-7=0的根为x1=_______,x2=________,x1+x2=________,x1·x2=________.
(2)利用求根公式计算:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且b2-4ac≥0)的两根为x1=________,
x2=________,x1+x2=________,x1·x2=________.
(3)利用上面的结论解决下面的问题:
设x1、x2是方程2x2+3x-1=0的两个根,根据上面的结论,求下列各式的值:
①/; ②/.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
【解析】x2+x﹣12=(x+4)(x﹣3)=0,则x+4=0,或x﹣3=0,解得:x1=﹣4,x2=3.故选D.
2.【答案】B;
【解析】∵ /,∴ /的根是/,/.
3.【答案】C.
【解析】∵ /,∴ /.
∴ .
4.【答案】B;
【解析】由常数项为0可得m2-3m+2=0,∴ (m-1)(m-2)=0,即m-1=0或m-2=0,
∴ m=1或m=2,而一元二次方程的二次项系数m-1≠0,∴ m≠1,即m=2.
5.【答案】C;
【解析】/且/,∴ /.
6.【答案】A ;
【解析】x2-7x+10=0,x1=2,x2=5,此等腰三角形的三边只能是5,5,2,其周长为12.
二、填空题
7.【答案】2;
【解析】用因式分解法解方程/得原方程有两个等根,即/,
所以/.
8.【答案】5或-6;
【解析】此题把/的值代入得到关于/的一元二次方程,解之即可.
如:根据题意,得/,整理得/,解得/,/.
9.【答案】 1 ; -12 ;
【解析】/,∴ m=1,n=-12.
10.【答案】(1)60;(2) /,/;(3) /.
【解析】(1)3※5=4×3×5=60;
(2)∵ /※/+2※/※4=/,∴ /,/;
(3)∵ /※//,/,
∴ 只有/,等式才能对任何/值都成立.
∴ /.
11.【答案】(1) 换元; 降次; (2) x1=﹣3,x2=2.
【解析】解:(1)换元,降次
(2)设x2+x=y,原方程可化为y2﹣4y﹣12=0,
解得y1=6,y2=﹣2.
由x2+x=6,得x1=﹣3,x2=2.
由x2+x=﹣2,得方程x2+x+2=0,
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7<0,此时方程无实根.
所以原方程的解为x1=﹣3,x2=2.
12.【答案】24或8/.
【解析】解:∵x2﹣16x+60=0,
∴(x﹣6)(x﹣10)=0,
解得:x1=6,x2=10,
当x=6时,则三角形是等腰三角形,如图①:AB=AC=6,BC=8,AD是高,
∴BD=4,AD=/=2/,
∴S△ABC=/BC?AD=/×8×2/=8/;
当x=10时,如图②,AC=6,BC=8,AB=10,
∵AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
S△ABC=/BC?AC=/×8×6=24.
∴该三角形的面积是:24或8/.
故答案为:24或8/.
/
 
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)∵/
∴/
∴/
∴/
(2)/,
即/,
令A=ab,B=/,C=ab.
∵ /
∴ /,
∴ /,
/,
∴ /,/.
14.【答案与解析】
解:(1)直接开平方得:2x-3=±5,
∴2x-3= 5或2x-3=-5
∴x1= 4,x2= -1
(2)∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b2-4ac=16-8=8.


(3)分解因式得:(x-6)(x+1)=0
∴ x-6= 0或 x+1=0
∴x1= 6,x2= -1.
15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数.
① -1 ; -1 ; -2 ; 1.
② / ;/ ; 3 ;-1.
③ / ; 1 ; / ; / .
(2)/ ; / ;/ ;/.
(3)/,/.
①/.
②/.