北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第21讲 实际问题与反比例函数(基础)

实际问题与反比例函数（基础）
【学习目标】
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.
【要点梳理】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的
系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
/1、（2019?广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　）
A．v=320t B．v=/ C．v=20t D．v=/
【思路点拨】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【答案】B；
【解析】解：由题意vt=80×4，则v=/．故选B．
【总结升华】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】（2018?广西）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A. /B. /C. /D. /
【答案】C；
提示：根据题意得：xy=10，∴y=/，
即y是x的反比例函数，图象是双曲线，
∵10＞0，x＞0，
∴函数图象是位于第一象限的曲线；
【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度/也随之改变．/与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（　）.
/　　A. 1.4　　　 B. 5　　　 C. 6.4　　　 D. 7
【答案】D；
提示：由题意知，当V＝5时，/ ∴，故.
类型二、利用反比例函数解决实际问题
/2、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80元，在营销中发现，该衬衣的日销售量(件)是日销售价元的反比例函数，且当售价定为100元时，每日可售出30件．
(1)请求出关于的函数关系式(不必写自变量的取值范围)；
(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其单价应是多少元?
【思路点拨】（1）因为y与x成反比例函数关系，可设出函数式，然后根据当售价定为100元/件时，每天可售出30件可求出的值．（2）设单价是元，根据每天可售出件，每件的利润是（－80）元，总利润为1800元，根据利润＝售价－进价可列方程求解．
【答案与解析】
解：(1)设所求函数关系式为，
则因为当＝100时＝30，所以＝3000，
所以；
(2)设单价应为元，则(－ 80)·＝1800，
解得＝200．经检验＝200是原方程的解，符合题意．
即其单价应定为200元／件．
【总结升华】本题考查反比例函数的概念，设出反比例函数，确定反比例函数，以及知道利润＝售价－进价，然后列方程求解的问题．
举一反三：
【变式】某运输队要运300吨物资到江边防洪．
(1)根据运输时间t(单位：小时)与运输速度v(单位：吨/时)有怎样的函数关系?
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2小时之内运到江边，则运输速度至少为多少?
【答案】
解：(1)由已知得vt＝300．
∴ t与v的函数关系式为．
(2)运了一半后还剩300－150＝150(吨)．
∴ t和v关系式变为，将t＝2代入，得，v＝75．
∴ 剩余物资要在2小时之内运完，运输速度为每小时至少运75吨．
/3、某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数．如图所示表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数关系式为 ( )
A． B． C． D．
/
【答案】A；
【解析】设，由于点B(3，2)在反比例函数图象上，则有，可求得U＝6．从而可求得函数关系式为．
【总结升华】从图象上可以看出，这是一个反比例函数关系的问题．电流I与电阻R成反比例关系，设，再求电压U.
/4、（2018?衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
/
【思路点拨】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=/，
将（4，8）代入得：8=/，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=/；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=/，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
【总结升华】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
【巩固练习】
一.选择题
1. （2018?河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（　　）
A./ B./C/D./
2. 日常生活中有许多现象应用了反比例函数，下列现象符合反比例函数关系的有（ ）
①购买同一商品，买得越多，花得越多；
②百米赛跑时，用时越短，成绩越好；
③把浴盆放满水，水流越大，用时越短；
④从网上下载一个文件，网速越快，用时越少.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. （2019?海南）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
/
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
4. 若为圆柱底面的半径，为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则与之间函数关系的图象大致是（ ）.
/
5. 如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流与电阻的函数关系图象大致是（ 　）
/
6. 下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A：小明完成100赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（）之间的关系.
B：菱形的面积为48，它的两条对角线的长为（）与（）的关系.
C：一个玻璃容器的/体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系.
D：压力为600N时，压强P与受力面积S之间的关系.
二.填空题
7．（2019春?灌云县期末）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　 　．
8. 由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R＝20时，电流强度I＝0.25A．则
(1)电压U＝______V； (2)I与R的函数关系式为______；
(3)当R＝12.5?时的电流强度I＝______A；
(4)当I＝0.5A时，电阻R＝______．
9. 一水桶的下底面积是桶盖面积的2倍，如果将其底朝下放在桌上，它对桌面的压强是500/．翻过来放，对桌面的压强是_____________．
10．一个水池装水12，如果从水管中每小时流出的水，经过可以把水放完，那么 与的函数关系式是______，自变量的取值范围是______．
11．（2018秋?甘州区校级月考）某种大米单价是y元/千克，若购买x千克花费了2.2元，则y与x的表达式是　　．
12.一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当V＝20时，，当V＝40时，______.
三.解答题
13. 池内装有12的水，如果从排水管中每小时流出的水是，则经过小时就可以把水放完．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)画出函数图象的草图．
14. （2018?温州模拟）去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y=/，求：
（1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值；
（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数y=/的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？
/
15.某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12小时可以完成．
(1)设每小时加工个零件，所需时间为小时，写出与之间的函数关系式，画出图象；
(2)若要在一个工作日(8小时)内完成，每小时要比原来多加工几个?
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】设y=/（k≠0），∵当x=2时，y=20，∴k=40，∴y=/，则y与x的函数图象大致是C.
2. 【答案】C；
【解析】②③④为反比例函数，①为正比例函数.
3.【答案】D．
【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，
∴y随x的增大而减小，
∴A，B错误，
设y=/（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，
∴y=/，
把y=2代入上式得：x=25，
∴C错误，
把x=50代入上式得：y=1，
∴D正确.
4.【答案】B；
【解析】侧面积一定，h,r成反比例，考虑到实际问题，选第一象限内的图象.
5．【答案】B；
【解析】应用物理学的知识：U＝I×R.
6.【答案】C；
【解析】因为m＝ρV，当V＝30时，m＝30ρ，故为正比例函数.
二.填空题
7.【答案】t=/．
【解析】∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，∴该水池的蓄水量为8×6=48（立方米），∵Qt=48，∴t=/．
8．【答案】(1)5； (2)； (3)0.4； (4)10.
9．【答案】1000/
【解析】压强与面积的乘积是一个定值.
10．【答案】；＞0；
11.【答案】；
12.【答案】0.68；
三.解答题
13.【解析】
解：(1)由已知条件，得．
(2)如图所示．
/
14.【解析】
解：（1）当x=5时，舒适度y=/=/=20；
（2）舒适度指数不低于10时，由图象y≥10时，0＜x≤10
所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟．
15.【解析】
解：(1)需加工的零件数为30×12＝360(个)．
与之间的函数关系式为．
图象如图所示．
/
(2)当＝8时，＝360÷8＝45，45－30＝15．
∴ 要在8小时内完成，每小时比原来要多加工15个．