人教版高中数学必修三知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.3 几何概型

第三章 概率
3.3 几何概型
知识
1．几何概型
（1）几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
（2）几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________多个.
②每个基本事件发生的可能性________.
（3）古典概型与几何概型的异同点
相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.?
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.
2．几何概型的概率公式
在几何概型中，事件的概率的计算公式为：________________.
3．均匀随机数的产生
（1）均匀随机数的定义
在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是上的均匀随机数.
（2）均匀随机数的特征
由均匀随机数的定义,可得随机数的特征：
①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.
（3）上的均匀随机数
利用计算器的RAND（ ）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.
用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示：
知识参考答案：
1．（2）①无限 ②相等
2．
重点
重点
理解几何概型的概念及基本特点，掌握概率的计算公式
难点
理解几何概型的概念及基本特点
易错
几何概型中测度的选取容易弄错，导致计算错误
1．与长度有关的几何概型的求法
求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.
注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率.
【例1】从区间中随机选取一个实数，则函数有零点的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,令，则.
若函数有零点，即方程有实根，即方程有大于零的实根.由根与系数的关系得，故方程的两个根同号，则，解得.又因为，解得或.综上所述，满足题意的的取值范围是.
故由几何概型可知函数有零点的概率是.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数有零点，通过换元，转化为方程有大于零的实根，由，且，解得，由几何概型可知函数有零点的概率是.
2．与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.
【例2】已知一个三角形的三边长分别是，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
∵三角形的三边长分别是，∴三角形的高，则三角形ABC的面积.
易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分，
三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为，故选D.
【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论.
3．与体积有关的几何概型的求法
用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.
【例3】已知在四棱锥中,底面,底面是正方形,,在该四棱锥内部或表面任取一点,则三棱锥的体积不小于的概率为______.
【解析】如图,取的中点分别为,连接当点在几何体内部或表面上时,.在几何体中,易知,
又,则所求概率为.
【名师点睛】本题主要考查几何概型、棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力.
4．随机模拟的应用
（1）求解不规则图形的面积：利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率，然后根据列等式求解.
（2）估算随机事件的概率：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟.应用随机模拟方法设计模拟试验，可用计算器产生随机数，通过随机数的特征来估计概率.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.
【例4】设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成区域的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为__________．
【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N个点,而在曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成的区域内的点有N1个,所以,又矩形的面积是1,所以由随机模拟方法得到S的近似值为.
【名师点睛】用随机模拟的方法构造几何概型求面积,即可求出所求面积的近似值.
【例5】（1）在边长为1的正方形内任取一点，求事件“”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数，，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对共有12对，请据此估计的近似值（精确到）．
【解析】（1）如图，在边长为1的正方形内任取一点，满足条件的点落在扇形内（图中阴影部分），由几何概型的概率计算公式，得，
故事件“”的概率为．
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，任取两个小于1的正实数，，所有基本事件构成区域，即正方形内部；
事件“以，与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域，即扇形以外正方形以内的阴影部分.
由（1）知，全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数，，可以看作在区域中任取56个点；满足“以，与1为边长能构成锐角三角形”的共有12对，即有12个点落在区域中，故其概率为，用频率估计概率，有，即，故，即的近似值为．
【方法点睛】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及几何概型及其概率的计算、几何概型的应用等知识点，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键．
5．几何概型中测度的选取不正确
【例6】在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
（1）在斜边AB上任取一点M,求AM（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM（2）在∠ACB的内部作射线，则所求概率为.
【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.
【正解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB=AC.
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB.
所以.
（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又，，所以.

【名师点睛】在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.
基础训练
1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
A　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
2．一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为
A． B． C． D．
3．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为
A． B． C． D．
4．在棱长为的正方体内任取一点，则点到点的距离小于等于的概率为
A． B． C． D．
5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为
A． B．
C． D．
6．在区间[–π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数 f（x）=x2+2ax–b2+π有零点的概率为
A． B．
C． D．
7．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=
A． B．
C． D．
8．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A–A1BD内的概率为___________．
9．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为___________．
能力提升
10．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n（n≥3，n∈N）边形内的概率为Pn，下列论断正确的是
A．随着n的增大，Pn减小
B．随着n的增大，Pn先增大后减小
C．随着n的增大，Pn增大
D．随着n的增大，Pn先减小后增大
11．某同学到公共汽车站乘车去学校，可乘坐8路、23路公共汽车，其中8路车每10分钟一班，23路车每15分钟一班，则该同学等车不超过8分钟的概率为___________．
12．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=，DC=2，BC=1．它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．
13．利用计算机随机模拟方法计算y=4x2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以执行以下算法步骤：
第一步，利用计算机产生两个在[0，1]内的随机数a，b；
第二步，对随机数a，b实施变换：，得到点A（a1，b1）；
第三步，判断点A（a1，b1）的坐标是否满足b1<4；
第四步，累计所产生的点A的个数m及满足b1<4的点A的个数n；
第五步，判断m是否小于M（一个设定的数），若是，则回到第一步，否则，输出n并终止算法．
若设定的M=150，且输出的n=51，请据此用随机模拟方法估计出区域Ω的面积（结果保留到小数点后两位）．
14．已知|p|≤3，|q|≤3，点（p，q）均匀分布．
（1）点M（x，y）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M（x，y）落在上述区域的概率；
（2）求方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率．
15．已知关于x的一元二次方程x2–2（a–2）x–b2+16=0．
（1）若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求该一元二次方程有两个正实数根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求该一元二次方程没有实数根的概率．
16．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：
组别
一
二
三
四
五
候车时间/min
[0，5）
[5，10）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
人数
2
6
4
2
1
（1）估计这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；
（3）若从第三、四组的6人中选2人进行进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
真题练习
17．（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
18．（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B．
C． D．
19．（2017?江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[–4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
10
17
18
A
B
C
D
C
B
D
C
A
B
1．【答案】A
【解析】四个选项中小明中奖的概率分别为，故应选A中的游戏盘．
2．【答案】B
【解析】设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则R=a，所以正三角形的面积为a2，圆的面积S=πR2=πa2．由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P==，故选B．
4．【答案】D
【解析】点到点的距离小于等于可以看作是随机的，点到点的距离小于等于可视作构成事件的区域，棱长为的正方体可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．，故选D．
5．【答案】C
【解析】设AC=x cm，则BC=（12–x）cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x（12–x）>20，解得26．【答案】B
【解析】由题意，知点（a，b）在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点，需满足4a2+4b2–4π≥0，即a2+b2≥π，a2+b2≥π表示以原点为圆心，为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2–π2=3π2，所以函数f（x）有零点的概率为=．
8．【答案】
【解析】设事件M为“此动点在三棱锥A–A1BD内”，则
P（M）=====．
9．【答案】
【解析】以O为起点的射线OA等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA落在阴影内的概率是=．
10．【答案】C
【解析】根据几何概型的概率计算公式有Pn=，而圆的面积固定，正n边形的面积随n的增大而增大，所以Pn也增大．
11．【答案】
【解析】设该同学到站x分钟后23路车到站，y分钟后8路车到站，则0≤x≤15，0≤y≤10，如图．若等车不超过8分钟，即8分钟内乘坐8路车或23路车，记为事件M，则事件M所对应的区域（如图中阴影部分）的面积为8×8+2×8+7×8=136，整个区域（矩形OABC）的面积为10×15=150，所以所求概率P（M）==．
12．【答案】1–．
【解析】过点D作DF⊥AB于点F，如图所示．
在Rt△AFD中，因为AD=，DF=BC=1，所以AF=1，∠A=45°，
所以梯形ABCD的面积S1=×（2+2+1）×1=．
扇形DAE的面积S2=π×（）2×=．
根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P===1–．
13．【答案】SΩ≈5.28．
【解析】因为，且，所以，
依题意区域Ω为如图所示的阴影部分，
设区域Ω的面积为SΩ，则≈，
所以≈，解得SΩ≈5.28．
14．【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）点M（x，y）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，
共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M有
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（3，3），共9个，
所以点M（x，y）落在已知区域的概率P1==．
（2）因为方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根，
所以Δ=（2p）2–4（–q2+1）≥0，解得p2+q2≥1，
又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点（p，q）所在区域的面积为36–π，
所以方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率P2=．
（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16．
设“该一元二次方程没有实数根”为事件B，
则构成事件B的区域Ω'={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a–2）2+b2<16}，其面积为S（Ω'）=×π×42=4π，
故所求的概率为P（B）==．
【名师点睛】几何概型和古典概型中每个基本事件发生的可能性都是相等的，古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型要求基本事件有无限个，且几何概型多与事件的区域面积（长度或体积）有关．
16．【答案】（1）10.5（min）．（2）32．（3）．
【解析】（1）这15名乘客的平均候车时间约为
×（2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1）=×157.5=10.5（min）．
（2）这15名乘客中候车时间少于10 min的频率为=，
所以这60名乘客中候车时间少于10 min的人数大约为60×=32．
17．【答案】A
【解析】如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，∴r12=r22+r32，∴SⅠ=×4r2r3=2r2r3，SⅢ=×πr12–2r2r3，SⅡ=×πr32+×πr22–SⅢ=×πr32+×πr22–×πr12+2r2r3=2r2r3，∴SⅠ=SⅡ，∴P1=P2，故选A．
18．【答案】B
【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选B．
19．【答案】
【解析】由6+x–x2≥0得x2–x–6≤0，得–2≤x≤3，则D=[–2，3]，则在区间[–4，5]上随机取一个数x，
则x∈D的概率P==，故答案为：．