第1章提优测试卷
考试时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程一定是一元二次方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程时，原方程应变形为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的两实数根，则的值为 （ ）
A．—2 B． C． D．2
4．若一元二次方程的两根分别是，且，则的值为 （ ）
A．—25 B．—19 C．5 D．17
5．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C．且 D．且
6．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11或13 D．12或15
7．若方程和有一个公共根，则的值是 （ ）
A．—1 B．1 C．2 D．—1或2
8．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．以上结论都不正确
9．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
10．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法如下：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是 （ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
第10题 第17题
二、填空题(每题2分，共20分)
11．当__________________时，关于的方程是一元二次方程．
12．一元二次方程的根是______________________．
13．若关于的一元二次方程的两个根满足，则这个方程为____________．（写出一个符合要求的方程）
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的最小值为______________________．
15．规定：，如．若，则=_______________________．
16．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____________________________．
17．如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地
面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC＝1尺，CD＝EB=
10尺，人的身高BD＝5尺．设绳索长OA＝OB＝尺，则可列方程为____________________．
18．两个正方形中，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正
方形面积的2倍少32cm2，则大正方形的边长为_________________cm．
在Rt△ABC中，斜边AB＝5，BC＝，AC＝，且是方程的两实数根，则△ABC的面积为_________________________．
20．规定：用{M}表示大于M的最小整数，例如等，用表示不大于M的最大整数，例如等，若整数满足关系式：，则=__________．
三、解答题（共70分)
21．(18分)解下列方程：
（1） （2） （3）
（5） （6）
22．(8分)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）给取一个负整数值，解这个方程．
23．(8分)已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值．
24．(8分)某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进货)
25．(8分)某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，
单价每降低1元/个，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低元/个销售一周后，商店对剩余
旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每
个旅游纪念品的销售价格为多少元？
26．(10分)如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝，利用勾股定理，建立关于的方程模型，求出的值．
27．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线
A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动，当其中一个动点
到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请
说明理由．
第1章提优测试卷
1.C解析:由一元二次方程定义可知选项C正确.
2.B解析:移项,得x2-2x=5.配方,得x2-2x+1=5+
1,即(x-1)2=6
3.A解析:由根与系数关系,得m+n=2,mn=-1,所以
n
4.D解析:解方程x2-8x-33=0,得x1=11,x2=-3.
因为a>b,所以a=11,b=-3,所以a-2b=11-2×
3)=17
5.D解析:2-4ac=(-2)2-4(k+1)×1=4-4
4=-4k.因为一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两
个实数根,所以
4k≥0
解得k≤0且k≠-1.
k十1≠0,
6.A解析:解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4.当第
三边的长是2时,2+3<6,不能构成三角形,应舍去;当
第三边的长是4时,能构成三角形,三角形的周长为4
3+6=13
7.C解析:设两个方程的公共根是m,则m2+am+1=0
且m2-m-a=0,所以m2=-am-1且m2=m+a,
所以-am-1=m十a.整理,得(a+1)(m+1)=0.若
a+1=0,则a=-1,此时方程x2十ax+1=0即为
x2-x+1=0,无实数根,所以a≠-1,所以m+1=0,
即
1.代入方程m2+am+1=0,得a=2.
8.C解析:因为正八边形每个外角是45°,所以从正方形
木板上锯掉的角的形状是等腰直角三角形,因为正八边
形的台面的边长为x,正方形的边长为1,所以等腰直角
三角形的腰长为
2,所以
xY+(2
整理,得(1-x)2=2x2
9D解析:由题意,得b2-4ac=2k+1-4k>0,解得k<
由2十1≥0,得k≥
又k≠0,所以实数k的取
2
值范国是一2≤k<2且k≠0
21.(1)x1=2,x=“L
2,x:=1-2,
10.B解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC
AC-00以AB一AD+BD=AD+号:曲(2“了
内股定理,得AB2=AC2+BC',即(AD+日)=b2+
(5)x1=1,x=3
(2),所以AD+2AD·2×-62+4a,所22(1)由题意得b2-4ac=(-2)2-4(-k-2)>0,解得
以AD2十a·AD=b2,所以方程x2+ax=b2的一个
k>-3故k的取值范围为k>-3.
正根是AD的长
(2)答案不唯一如:由k>-3,取k=-2,此时方程变
l1.≠2解析:由题意,得k-2≠0,所以k≠2
形为x2-2x=0,解得x1=0,x2=2.
12.x1=0,x2=3解析:由x2-3x=0,得x(x-3)=0,23.(1)由题意,得b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
所以
0
3
3.x2-3x+2=0(答案不唯一)解析:设方程ax2+
解得m≥-4,所以m的最小整数值为一2
bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.因为x1+x2=
(2)由题意得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2因
3,x1x21=2,所以一b=3,二=2取a=1,则b=-3
为(x1-x2)2+m2=21,所以(x1+x2)2-4x1x2+
21,所以[一(2m+1)]2-4(m2-2)
21.整
c=2,此时方程为x2-3x+2=0
理,得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.由(1),
4解析:由题意,得b2-4a=42-4(-k)≥0,解得
k≥-4,所以是的最小值为-4
所以m的值为2.
5.1或一3解析:由题意,得(2十x)x=3,所以x2+24.(1)设2月3月生产收入的月增长率为x由题意,得
2x=3,所以(x+1)2=4,所以x1=1,x2=-3
100+100(1+x)+1001+x)2=364解得x=0.2或
7
6z解析:因为方程2x2-2mx-4m+1=0有两个
x=-3.2(不合题意,舍去)故2月、3月生产收入的
增长率是20%
相等的实数根,所以b2-4ac=(-2m)2-4
(2)设使用新设备y个月后该厂所得累计利润不低
2(-4m+1)=4m2+8m-2=0,所以4m2+8m=2,
于使用旧设备的累计利润.由题意,得364+100(1+
20%)2(y-3)-640≥(90-5)y解得y≥12故使用新
所以m2+2m=2,所以(m-2)2-2m(m-1)=m2
设备12个月后,该厂所得累计利润不低于使用旧设备
4m+4-2m2+2m=-m2-2m+4=-(m2+2m)+
的累计利润
1
25.由题意,得200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+
(4-6)×[600-200—(200+50x)]=1250整理,得
7.102+(x-4)2=x2解析:由题意,得AE=CE
x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,则10-1=9(元)故
AC=BD-AC=4尺,所以OE=OA-AE=(x-4)
第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元
尺由勾股定理,得EB2+OE=OB2,即102+(x-26.(1)由题意,得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF所
4)2
以∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC.又∠BAC
6解析:设大正方形的边长为xcm,则小正方形的45,所以∠EAF=90又AD⊥BC,所以∠E
边长为(+4)m由题意得x=2(2x+4)
∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°,所以四边形AEGF
是矩形又AE=AD,AF=AD,所以AE=AF,所以四
32,解得x1=16,x2=0(不合题意,舍去).故大正方形
边形AEGF是正方形
的边长为16cm.
(2)设AD=x,则AE=EG=GF=x.因为BD=2,
6解析:因为斜边AB=5,所以a2+b2=25.因为a2+
DC=3,所以BE=2,CF=3,所以BG=x-2,CG
b2=(a+b)2-2ab,所以(a+b)2-2ab=25①因为a,
x-3在Rt△BC中,BG2+CG2=BC2,所以
b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两实数根,所
2)2+(x-3)2=52化简,得x2
6=0,解得
a+b=m-1②,ab=m+4③.由①②③解得m=-4
6,x2=-1(舍去),即x的值是6
或m=8.当m=-4时,ab=0,所以a=0或b=0(不27.(1)设两动点运动xs时,四边形PBCQ的面积是矩形
合题意,舍去)所以m=8,所以△ABC面积为-ab
ABCD面积的由题意,得BP=(6-2t)cm,CQ=
2×(8+4)=6.
tcm,矩形的面积为12cm2,则有÷(t+6-2t)×2
8或2解析:由题意,得(x+1)2+4x=17整理,得
x2+6x-16=0,解得
12×,解得t=2,即两动点运御了时满足题意
