4.2.2 圆与圆的位置关系 学案

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4.2.2圆与圆的位置关系
一、圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：

外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点.
2．圆与圆位置关系的判断
（1）几何法
位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示
两圆相离 0
两圆内含
两圆相交 2
两圆内切 1
两圆外切
其中和分别是圆和圆的半径, .
（2）代数法
联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 2 1 0
两圆的公共点个数 2 1 0
两圆的位置关系 . 相离或内含
知识参考答案：
一、2．（2）相交 外切或内切

【例1】求与圆外切，且与直线相切于点M(3，)的圆的方程.
【解析】设所求圆的方程为，由于该圆与圆外切，则圆心距等于半径之和，故有 ①.
又与直线相切于点M(3，)，则可知圆心与切点的连线与直线垂直，有 ②，
?③，解①②③得.
故所求圆的方程为.
【例2】已知两圆和.
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
【解析】（1）将两圆方程配方化为标准方程，
则圆的圆心为，半径；圆C2的圆心为，半径.
又，，.
∴，∴两圆相交．
（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.
（3）方法一：两方程联立，得方程组，
两式相减得③，把③代入②得，
∴.
∴，或.
∴交点坐标为和．
∴两圆的公共弦长为.
【例3】已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0相交,圆C过原点O,半径长为,圆心C在已知两圆公共弦所在的直线上,求圆C的方程.
【解析】设圆C1与圆C2交于A,B两点,两圆的方程相减,消去二次项得到一个二元一次方程x+3y-10=0,此方程为公共弦AB所在直线的方程.
又已知圆C的圆心C在两圆公共弦所在的直线上,即在直线AB上,设C(a,b),则a+3b-10=0　①,由|CO|=,得a2+b2=10　②,①②联立,解得a=1,b=3,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
【例4】已知圆，圆,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.
【解析】由已知得圆的圆心为,半径长，圆的圆心为,半径长.
设动圆的圆心为，半径长为.
∵圆与圆外切并且与圆内切，∴.
由两点间距离公式得，即，两边平方化简得的方程为.
【例5】求半径长为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程.
【正解】设所求圆的方程为，圆心为.又圆与直线相切且半径长为4，故圆心为或.圆的圆心为,半径长.若两圆相切，则或.作分类讨论：
当取时，或(无解),故,此时所求圆的方程为或.
当取时，或（无解）,∴，此时所求圆的方程为或.
综上所述，所求圆的方程为或或或.
【例6】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，
圆心为(－1,2)，半径为.
当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，
则＝.
所以k＝2±，即切线方程为y＝(2±)x.
当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，
则＝.所以a＝－1或a＝3，
即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
所以切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)设P(x1，y1)．因为|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x21＋y21＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，
即2x1－4y1＋3＝0.
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，
即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(－，)．





课时同步训练
1．圆与圆的位置关系为
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
2．圆O1：x2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为(　　)
A．x＋2y－5＝0
B．x－2y－5＝0
C．x＋2y＋5＝0
D．x－2y＋5＝0
3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0

4．已知是圆上的点，是圆上的点，则的最小值为
A．4 B．
C． D．2
5．若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是
A．x+y=0 B．x-y=0
C．x+y+2=0 D．x-y+2=0
6．3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条


8．若半径为1的圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．




9．已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)m=1时,圆C1与圆C2有什么位置关系?
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含?


10．已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，求动圆圆心C的轨迹方程．




11．若圆始终平分圆的周长，则，应满足的关系式是
A． B．
C． D．
12．若集合，，且，则a的取值范围是
A．a≤1 B．a≥5
C．1≤a≤5 D．a≤5
13．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
14．两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，则的值为 .

15.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离



1．【答案】B
【解析】两圆的圆心距为，半径分别为，且，所以两圆相交．故选B．
2答案：B
解析：两圆关于直线l对称，则直线l是两圆圆心O1(0,0)，O2(2，－4)的垂直平分线．

3．答案：C
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.

4．【答案】D
【解析】∵，∴圆内含于圆，则|MN|的最小值为.
5．【答案】D
【解析】圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心C的坐标为(-2,2).
因为圆O与圆C关于直线l对称,所以直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于OC,
又kOC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.故选D.
6．答案：C
解析：判断两圆的位置关系，即可知它们公切线的条数．外离、外切、相交、内切、内含的公切线的条数，分别有4条、3条、2条、1条、0条．这两圆外切，故选C.

7．【答案】1【解析】由两圆相交得，所以18.解：设动圆圆心O′(x，y)，则|O′O|＝2＋1＝3或|OO′|＝1，
∴x2＋y2＝9或x2＋y2＝1.

9．【解析】(1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距d==2.
又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,
∴r1-r2(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含,
圆C1可化为(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),
则d=<3-1,
即(m+1)2<0,显然不等式无解.
故不存在m使得圆C1与圆C2内含.
10.解：设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r.
由已知，得圆C1的圆心C1(3,0)，半径r1＝2；
圆C2的圆心C2(－3,0)，半径r2＝2.
依题意，得或.
∴|CC1|－|CC2|＝4或|CC1|－|CC2|＝－4.
即－＝±4，
整理得5x2－4y2－20＝0，
即为所求动圆圆心C的轨迹方程．

11．【答案】B
【解析】由题意得两圆的公共弦经过圆的圆心，两圆的公共弦所在直线方程为，则.
12．【答案】D
【解析】等价于B?A．当a>1时，集合A和B分别代表圆x2＋y2＝16和圆x2＋（y－2）2 ＝a－1上及内部的点，容易得出当B对应的圆的半径小于或等于2时符合题意，则013．【答案】D
【解析】由已知，圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16的圆心为(5，-7)，半径为4，由半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，可能外切或内切，设动圆圆心为G(x，y)．
当两圆内切时，有圆心距为半径之差，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，有(x－5)2＋(y＋7)2＝25. 故选D.
14．【答案】3
【解析】由题意知，线段的中点在直线上，且，解得，又，所以，所以.

15．【答案】B
【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．





















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