人教A版高中数学必修1 函数的最值教学设计（第二课时）

1.教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．
2.教学难点：如何求一个具体函数的最值．

知识梳理
1．函数最大值定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
2.函数最小值的定义是：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
题型探究
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值

反思与感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
类型二 求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数的最值
解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，且f(0)＝f (2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.

设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
类型三 借助图像求最值
例3.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图像求最值
答案 2
解析 f(x)的图像如图：

则f(x)的最大值为f(2)＝2.
类型四 函数最值的应用
例4 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数的最值

达标检测
1.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数的最值
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
2．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞) B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图像求最值
答案 C

3、若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 D
4.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，
(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？
【解】 (1)如图所示：

∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12，
∴y＝x(24－2x)＝－2x2＋24x，(7≤x＜12)．
(2)由(1)得，y＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
∴AB＝6 m时，y最大为72 m2.