2019-2020学年高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算（25张）

课件25张PPT。3.1.3　空间向量的数量积运算1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.知识拓展1.当=0时,两个向量同向共线;当=π时,两个向量反向共线.若a∥b,则=0或π.
2.对空间任意两个非零向量a,b,有:
(1)=;
(2)=<-a,b>=π-;
(3)<-a,-b>=.【做一做1】 已知向量a=-3b,则=　　　　　.?
解析:∵a=-3b,∴a与b反向.
∴=π.
答案:π2.向量的数量积
(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.
零向量与任何向量的数量积为0.
特别地,a·a=|a||a|cos=|a|2.
(2)数量积满足的运算律:
①(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.(3)向量数量积的性质:
①若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0.
②若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
?
?
④|a·b|≤|a||b|.
归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.答案:A 【做一做2-2】 已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a-3b)=　　　　　.?答案:5 1.理解向量数量积的概念
剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是向量,而向量的数量积的结果是数量;
(2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab;
(3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(a·b)c≠a(b·c),a·b=a·c b=c.2.空间向量数量积的应用 (3)利用关系a⊥b?a·b=0可以证明空间中的两直线垂直. 题型一题型二题型三题型四数量积的运算
【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量表示出来,再代入向量的数量积进行运算.题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的几何意义,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.题型五题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】 已知正四面体OABC的棱长为1.求: 题型一题型二题型三题型四利用数量积证明垂直
【例2】 已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC.
求证:OA⊥BC.题型五题型一题型二题型三题型四反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量积为零的问题.题型五题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.题型五题型一题型二题型三题型四利用数量积求异面直线所成的角
【例3】 已知空间四边形O -ABC的各边及对角线的长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值.题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　　　　.答案:90° 题型五题型一题型二题型三题型四题型五利用数量积求两点间的距离或线段的长度 题型一题型二题型三题型四题型五反思求两点间的距离或线段长度的方法如下:
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,
∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D两点间的距离.题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析
易错点　对空间向量夹角的概念理解不清而致错 题型一题型二题型三题型四题型五错因分析本题的错因在于对两个向量夹角的概念理解不清,两个向量必须是首首相连或尾尾相连时,所成的角才是它们的夹角.对于平行向量要看它们的方向是相同还是相反,若相同,则夹角为0°;若相反,则夹角为180°.而上述解答没有考虑向量的方向,把三角形内角当作向量夹角,显然是错误的.故结果为a2的式子的序号是②.
答案:②